大学物理薛定谔方程课件.ppt
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大学物理薛定谔方程课件.ppt
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引言:
德布罗意波到底是什么波?
开始认为是某种场量,什么“场”暂且不知,权用“”表示,称之为“波函数”,一)自由粒子的波函数,设一自由粒子,不受外力作用,则粒子作匀速直线运动(设沿X轴),其动量、能量保持恒定。
恒定!
恒定!
从波动观点看来:
这种波只能是单色平面波,从不确定关系来研究:
整个X轴,其波函数为:
依德布罗意关系式,常写成复数:
二)波函数的统计解释(玻恩),代表什么?
看电子的单缝衍射:
大量电子的情况,极大值,极小值,中间值,较多电子到达,较少电子到达,介于二者之间,波强度大,,大,小,波强度小,,波强介于二者之间,粒子的观点,波动的观点,一个电子的情况,极大值,极小值,中间值,较多电子到达,较少电子到达,介于二者之间,波强度大,,大,小,波强度小,,波强介于二者之间,粒子的观点,波动的观点,在|2大的地方出现的粒子多,|2小的地方出现粒子少;波函数按波的形式去分配粒子的出现的概率。
2)某时刻空间某体元dv中出现粒子的概率正比于该地点波函数模的平方和体积元大小:
概率密度,1)波函数所代表的波是概率波。
微观粒子遵循的是统计规律,而不是经典的决定性规律。
牛顿说:
只要给出了初始条件,粒子的轨迹是已知的,(决定性的),量子力学说:
波函数不给出粒子在什么时刻一定到达某点,只给出到达各点的概率;一个粒子下一时刻出现在什么地方,走什么路径是不知道的(非决定性的),三)波函数的标准化条件,1)波函数具有有限性,在空间是有限函数,2)波函数是连续的,3)波函数是单值的,粒子在空间出现的概率只可能是一个值,4)满足归一化条件,(归一化条件),因为粒子在全空间出现是必然事件,问题的提出:
薛定谔,你能不能给我们讲一讲德布罗意的那篇论文呢?
瑞士联邦工业大学,一月以后:
薛定谔向大家介绍了德布罗意的论文。
你这种谈论太幼稚,都知道:
处理波要有一个波动方程才行啦!
瑞士联邦工业大学,德拜,又过了几个星期,薛定谔,我的同行提出,要有一个波动方程,今天我找到了一个:
可以解释氢原子能量:
光谱波长:
激发态寿命:
薛定谔,波函数,能解很多好东西。
若问这是为什么?
谁也不知道!
原来薛定谔方程是利用经典物理,用类比的办法得到的,或者说开始只不过是一个假定,后为实验证实。
一)薛定谔方程,(4),一作匀速直线运动的自由粒子沿X轴运动。
自由粒子非相对论条件下总动能:
其波函数为:
(1)式对t求导:
(1)式对x求二阶偏导数:
(1),(4)、(5)式比较:
自由粒子一维含时薛定谔方程,
(2),(3),(5),1)自由粒子薛定谔方程,(非相对论条件下讨论),2)势场中的薛定谔方程,若粒子处在势场中,势能为U(x,t),,将(5)式看成一般情况下的特例:
由(4)式:
势场中的一维含时薛定谔方程,总能量:
若为三维粒子,薛定谔方程为:
(12),引入拉普拉斯算符,三维含时薛定谔方程:
一般的薛定谔方程,哈密顿量算符,薛定谔方程,3)定态薛定谔方程(重点),势能只是坐标的函数与时间无关,,代入方程,分离变量把波函数写成坐标函数和时间函数的乘积,整理一下,等式左边是t的函数,右边是坐标的函数,但两边又相等,故等式左右两边均应与x、y、z、t无关,现记为E。
则:
其解:
指数应是无量纲的数,的单位是“焦耳秒”,故E的单位只能焦耳,实际上是粒子总能量E。
整理,定态薛定谔方程,若定态薛定谔方程已解出为:
则粒子的波函数:
对于定态,能量E有确定值,几率分布也不随时间变化。
二)薛定谔方程应用举例,1)一维势阱,提出一个理想模型,粒子限制在一个具有理想反射壁的区域,区域中粒子可自由运动,越出需无限大能量,无限深势阱,若是经典粒子,粒子如何运动?
许多情况,粒子束缚在一个很小空间,E可取任意值,且各处出现的几率一样,量子力学对粒子的分析:
粒子满足一维定态薛定谔方程:
粒子无法越过势阱故只须考虑0xa区间的波函数:
令:
其解的形式:
由边界条件:
代入式(5),(6),由(7)式:
B=0,由(8)式:
代入式(5),归一化条件,(定态波函数),nn(x)=2/asinxa,2nn2(x)=sin2xaa,能量本征值,本征函数,n=1,1(x)=2/asinxa,212(x)=sin2xaa,n=2,22(x)=2/asinxa,2222(x)=sin2xaa,nn(x)=2/asinxa,2nn2(x)=sin2xaa,几率密度,能量公式:
由式(3)、式(9),E1,2)粒子在空间不同的地方出现的几率是不同的。
结论:
1)能量是量子化的,且无0值。
对应原理,在某些极限的条件下,量子规律可以转化为经典规律.,势阱中相邻能级之差,能量,能级相对间隔,当时,能量视为连续变化.,例:
电子在的势阱中.,(近似于连续),当时,(能量分立),当很大时,量子效应不明显,能量可视为连续变化,此即为经典对应.,四、方势垒的穿透、隧道效应,一维方势垒是指粒子受到势能为,的作用,称为一维方势垒。
四、方势垒的穿透、隧道效应,入射波,反射波,透射波,透射系数,当U0-E=5eV时,势垒的宽度约50nm以上时,透射系数会小六个数量级以上。
隧道效应在实际上已经没有意义了。
量子概念过渡到经典了。
粒子的能量虽不足以超越势垒,但在势垒中似乎有一个隧道,能使少量粒子穿过而进入的区域,所以人们形象地称之为隧道效应.,隧道效应的本质:
来源于微观粒子的波粒二相性.,量子围栏照片,五、一维线性谐振子,粒子的势能函数,薛定谔方程,重点:
1.德布罗意关系式,2.海森伯不确定关系式,时间与能量间的不确定关系,3.波函数的概率密度,t时刻在(x,y,z)附近单位体积中出现微观粒子的概率为,波函数归一化条件,dV体积内粒子出现的概率为,粒子在某一体积内出现的概率为,波函数的标准化条件:
单值、有限和连续,4.玻尔理论的三个假设,假设一定态假设,假设三轨道角动量量子化假设,假设二频率假设,等价,习题册上需做题目:
选择题:
36,37,38,39,40,填空题:
42,53,69,
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