数理统计课后答案-第六章.pdf
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习题六习题六6.16.1随机选取15位学生,把他们分成三组,每组5人,每一组用一种方法教学。
一段时间后,对这15位学生进行统考,统考的成绩如下:
方法成绩甲7562715873乙8185689290丙7379607581问:
这三种教学方法的效果有无显著差异?
(显著水平05.0=)解解这可以看作是一个单因子方差分析问题。
教学方法就是因子A,设三组学生的成绩分别为i),(2iN,3,2,1=i。
检验三种教学方法的效果有无显著差异,相当于要检验假设0H:
321=。
计算结果见下表:
水平观测值(成绩)iXiSS1A甲75627158738.678.2182A乙81856892902.838.3623A丙73796075816.732.27193.604=ASS8.852=eSS方差分析表为:
来源平方和自由度均方F值分位数A93.604=ASS21=r465.302256.4=AF89.3)12,2(95.0=F误差8.852=eSS12=rn067.71总和73.1457=TSS141=n对显著水平05.0=,查F分布表,可得89.3)12,2(),1(95.01=FrnrF,因为89.3256.4=AF,所以拒绝0H:
321=,结论是:
这三种教学方法的效果有显著差异。
比较各水平的均值,还可以看出,乙组学生的成绩最高,甲组学生的成绩最低。
6.26.2对某地区3所小学五年级男生的身高(单位:
cm)进行抽查,测得数据如下:
小学身高第一小学128.1134.1133.1138.9140.8127.4第二小学150.3147.9136.8126.0150.7155.8第三小学140.6143.1144.5143.7148.5146.4问:
这3所小学五年级男生的身高是否有显著的差异?
(显著水平05.0=)解解这可以看作是一个单因子方差分析问题。
不同的小学就是因子A,设3所小学五年级男生的身高分别为i),(2iN,3,2,1=i。
检验三种教学方法的效果有无显著差异,相当于要检验假设0H:
321=。
计算结果见下表:
水平观测值(身高)iXiSS1A128.1134.1133.1138.9140.8127.47333.13301.1492A150.3147.9136.8126.0150.7155.85833.14483.6123A140.6143.1144.5143.7148.5146.44667.144413.3788.465=ASS25.799=eSS方差分析表为:
来源平方和自由度均方F值分位数A88.465=ASS21=r94.23237.4=AF68.3)15,2(95.0=F误差25.799=eSS15=rn28.53总和13.1265=TSS171=n对显著水平05.0=,查F分布表,可得68.3)15,2(),1(95.01=FrnrF,因为68.337.4=AF,所以拒绝0H:
321=,结论是:
这3所小学五年级男生的身高有显著差异。
比较各水平的均值,还可以看出,第二小学五年级男生的身高最高,第一小学五年级男生的身高最低。
6.36.3单因子的方差分析中,若每个水平下对指标的观测次数是不同的,水平iA下指标的观测值记忆为()12,.,1,2,.,iiiinXXXir=.试分析,此时如何进行方差分析?
解解当因子水平的各观测次数可能不同时,因子水平iA下观测次数为in,且1riinn=。
此时,()=211111111,iiinnnrriijiijiijijjijiiXXSSXXXXXnnr,()()()=222111111,iiinnrrrrTijeijiAiiijijiiSSXXSSXXSSSSnXX可以证明离差分解公式:
TeASSSSSS=+,以及在012:
.rH=成立时有()()=1AAeSSrFSSnr()1,Frnr对于给定的显著性水平0,H的拒绝域为()11,AFFrnr。
6.46.4对某厂早,中,晚三班的产量统计如下:
班次产量早班279334303338198中班229274310晚班210285117问在显著性水平0.05=下能否认为不同班次的产量无显著性差异?
解解方差分析的前提为早、中、晚班的产量均服从正态分布,相互独立且方差相等,i()=2,1,2,3.iNi=0123:
H()()=14365.53121.886930453.28AAeSSrFSSnr查表()()()=,所以拒绝01H,密度的不同对于木材的抗压强度有显著的影响;因为)4,2(94.660.195.0FFB=,所以拒绝01H,品种的不同对于小麦产量有显著的影响;因为)6,2(14.533.295.0FFB=tsrrFFA,所以拒绝01H,浓度的不同对产品收率有显著的影响。
因为)1(,1(49.371.01=tsrsFFB,所以接受02H,温度的不同对产品收率没有显著的影响。
因为)1(),1)(1(00.383.01=tsrsrFFAB,所以拒绝03H,浓度与温度的交互作用对产品收率没有显著的影响。
6.86.8某化工厂为了提高塑料大红R颜料的收率,对合成过程中的酰氯化反应条件进行3因子3水平正交试验,所取的因子和水平分别为:
因子A是酰氯化温度,1A是85C,2A是95C,3A是105C;因子B是SOCl2用量,1B是4.2ml,2B是4.6ml,3B是5.0ml;因子C是催化剂用量,1C是0.2ml,2C是0.5ml,3C是0.8ml。
选用正交表)3(49L,将因子CBA,依次安排在第3,2,1列。
按照设计做试验,各次试验中,塑料大红R颜料的收率(单位:
)为:
表头ABC列号试验号123收率111172.0212282.8313377.5421273.5522380.4623187.7731370.7832187.2933282.8要求进行不考虑交互作用的正交试验设计,列出方差分析表,检验因子CBA,的作用是否显著(显著水平05.0=),并且找出最优水平组合。
解解
(1)选正交表。
按照3=r,3m,n尽可能小的原则,选用)3(49L。
(2)设计表头。
将因子CBA,依次安排在第3,2,1列。
(3)按照设计做试验,取得试验观测值。
试验得到的观测值见下表。
(4)求各列与各水平对应的均值和各列的平方和。
计算结果见下表。
表头ABC列号试验号1234观测值(收率)kX1111172.02122282.83133377.54212373.55223180.46231287.77313270.78321387.29332182.8jX14333.770667.723.824.78jX25333.804667.837.794.80jX32333.806667.822.764.794.7911=nkkXnXjSS54.1796.24222.5600.6TSS4.791=mjjSS(5)列方差分析表,作显著性检验。
来源平方和自由度均方F值分位数A54.17=ASS21=r77.892.2=AF0.19)2,2(95.0=FB96.242=BSS21=r48.12149.40=BF0.19)2,2(95.0=FC22.56=CSS21=r11.2837.9=CF0.19)2,2(95.0=F误差00.6=eSS22228=00.3总和72.322=TSS81=n因为),(0.1992.21eAAffFF=,所以因子B(SOCl2用量)作用显著。
因为),(0.1937.91eCCffFF=,所以因子C(催化剂用量)作用不显著。
(6)寻找最优水平组合。
对于因子A,因为1A的均值4333.7711=X,2A的均值5333.8021=X,3A的均值2333.8031=X,其中5333.8021=X最大,所以2A是最优水平。
对于因子B,因为1B的均值0667.7212=X,2B的均值4667.8322=X,3B的均值6667.8232=X,其中4667.8322=X最大,所以2B是最优水平。
对于因子C,因为1C的均值3.8213=X,2C的均值7.7923=X,3C的均值2.7633=X,其中3.8213=X最大,所以1C是最优水平。
把3个因子的最优水平组合起来,就得到最优水平组合),(122CBA,即酰氯化温度为95C,SOCl2用量为4.6ml,催化剂用量为0.2ml。
6.96.9在梳棉机上纺粘锦混纺纱,为了提高质量,减少棉结粒数,进行3因子2水平正交试验。
所取的因子和水平分别为:
因子A是金属针布,1A是日本产品,2A是青岛产品;因子B是产量水平,1B是6kg,2B是10kg;因子C是锡林速度,1C是238转/分,2C是320转/分。
在进行正交试验设计时,考虑金属针布与锡林速度的交互作用CA。
选用正交表)2(78L,将因子CBA,依次安排在第4,2,1列。
按照设计做试验,各次试验中,得到棉结粒数为:
表头ABC列号试验号124棉结粒数11110.3021120.3531210.2041220.3052110.1562120.5072210.1582220.40要求进行考虑交互作用的正交试验设计,列出方差分析表,检验因子CBA,以及交互作用CA是否显著(显著水平05.0=),并且找出最优水平组合(棉结粒数越少越好)。
解解
(1)选正交表。
按照2=r,4m,n尽可能小的原则,选用)2(78L。
(2)设计表头。
根据题意和查交互作用表,可将因子CBA,安排在第1,2,4列,交互作用CA安排在第5列。
(3)按照设计做试验,取得试验观测值。
试验得到的观测值见下表。
(4)求各列与各水平对应的均值和各列的平方和。
计算结果见下表。
表头ABCCA列号试验号1234567观测值(棉结粒数)kX111111110.30211122220.35312211220.20412222110.30521212120.15621221210.50722112210.15822121120.40jX10.28750.32500.30000.20000.35000.28750.3125jX20.30000.26250.28750.38750.23750.30000.2750=X0.29375jSS0.00031250.00781250.00031250.07031250.02531250.00031250.0028125TSS=0.1071875(5)列方差分析表,作显著性检验。
来源平方和自由度均方F值分位数A=ASS0.000312511=r0.0003125=AF0.27=)3,1(95.0F10.1B=BSS0.007812511=r0.0078125=BF6.82=)3,1(95.0F10.1C=CSS0.070312511=r0.0703125=CF61.36=)3,1(95.0F10.1CA=ACSS0.02531251)1(2=r0.0253125=ACF22.09=)3,1(95.0F10.1误差=eSS0.00343757-1-1-1-1=30.0011458总和=TSS0.107187571=n因为),(1.1027.01eAAffFF=,所以因子A(金属针布)作用不显著。
因为),(1.1082.61eBBffFF=,所以因子C(锡林速度)作用显著。
因为),(1.1009.221eACACffFF=,所以A与C的交互作用CA显著。
(6)寻找最优水平组合。
对于因子A,因为1A的均值2875.011=X,2A的均值3000.021=X,其中2875.011=X最小,所以1A是最优水平。
对于因子B,因为1B的均值3250.012=X,2B的均值2625.022=X,其中2625.022=X最小,所以2B是最优水平。
对于因子C,因为1C的均值2000.014=X,2C的均值3875.024=X,其中2000.014=X最大,所以1C是最优水平。
如果不考虑交互作用,把3个因子的最优水平简单地组合起来,可以得到最优水平组合),(121CBA。
下面考虑交互作用。
对于交互作用CA,各种双因子水平组合的均值为:
组合均值组合均值),(11CA25.0220.030.0231=+=+XX),(21CA325.0230.035.0242=+=+XX),(12CA15.0215.015.0275=+=+XX),(22CA45.0240.050.0286=+=+XX其中,15.0最小,所以),(12CA是CA的最优双因子水平组合。
把上面得到的各个单因子和双因子的最优水平组合,综合起来考虑(特别考虑到单因子A不显著,交互作用CA十分显著),可以确定,3个因子的最优水平组合为),(122CBA,即金属针布应选用青岛产品,产量水平应选用10kg,锡林速度应选用238转/分。
6.106.10某农药厂生产一种农药,为了提高产品收率,进行4因子2水平正交试验。
所取的因子和水平分别为:
因子A是反应温度,1A是60C,2A是80C;因子B是反应时间,1B是2.5小时,2B是3.5小时;因子C是某两种原料的配比,1C是1.1/1,2C是1.2/1;因子D是真空度,1D是500mmHg,2D是600mmHg。
在进行正交试验设计时,考虑反应温度与反应时间的交互作用BA。
选用正交表)2(78L,将因子DCBA,依次安排在第7,4,2,1列。
按照设计做试验,各次试验中,得到农药产品的收率(单位:
%)为:
表头ABCD列号试验号1247收率11111862112295312129141221945211291621219672211838222288要求进行考虑交互作用的正交试验设计,列出方差分析表,检验因子DCBA,以及交互作用BA是否显著(显著水平05.0=),并且找出最优水平组合。
解解
(1)选正交表。
按照2=r,5m,n尽可能小的原则,选用)2(78L。
(2)设计表头。
根据题意和查交互作用表,可将因子DCBA,安排在第1,2,4,7列,交互作用BA安排在第3列。
(3)按照设计做试验,取得试验观测值。
试验得到的观测值见下表。
(4)求各列与各水平对应的均值和各列的平方和。
计算结果见下表。
表头ABBACD列号试验号1234567观测值(收率)kX11111111862111222295312211229141222211945212121291621221219672211221838221211288jX191.5092.0088.0087.7590.2589.7589.75jX289.5089.093.0093.2590.7591.2591.25=X90.5jSS8.018.050.060.50.54.54.5=TSS146.0(5)列方差分析表,作显著性检验。
来源平方和自由度均方F值分位数A=ASS8.011=r8.0=AF3.2=)2,1(95.0F18.5B=BSS18.011=r18.0=BF7.2=)2,1(95.0F18.5C=CSS60.511=r60.5=CF24.2=)2,1(95.0F18.5D=DSS4.511=r4.5=DF1.8=)2,1(95.0F18.5BA=ABSS50.01)1(2=r50.0=ABF20.0=)2,1(95.0F18.5误差=eSS5.07-1-1-1-1-1=22.5总和=TSS146.071=n因为),(5.1820.31eAAffFF=,所以因子A(反应温度)作用不显著。
因为),(5.1820.71eBBffFF=,所以因子C(原料配比)作用显著。
因为),(5.1880.11eCDffFF=,所以A与B的交互作用BA显著。
(6)寻找最优水平组合。
对于因子A,因为1A的均值5.9111=X,2A的均值5.8921=X,其中5.9111=X最大,所以1A是最优水平。
对于因子B,因为1B的均值0.9212=X,2B的均值0.8922=X,其中0.9212=X最小,所以1B是最优水平。
对于因子C,因为1C的均值75.8714=X,2C的均值25.9324=X,其中25.9324=X最大,所以2C是最优水平。
对于因子D,因为1D的均值75.8917=X,2D的均值25.9127=X,其中25.9127=X最大,所以2D是最优水平。
如果不考虑交互作用,把4个因子的最优水平简单地组合起来,可以得到最优水平组合),(2211DCBA。
下面考虑交互作用。
对于交互作用BA,各种双因子水平组合的均值为:
组合均值组合均值),(11BA5.9029586221=+=+XX),(21BA5.9229491243=+=+XX),(12BA5.9329691265=+=+XX),(22BA5.8528883287=+=+XX其中,5.93最大,所以),(12BA是BA的最优双因子水平组合。
把上面得到的各个单因子的最优水平和双因子的最优水平组合,综合起来考虑(特别考虑到单因子A不显著,交互作用BA十分显著),可以确定,4个因子的最优水平组合是),(2212DCBA,即反应温度为80C,反应时间为2.5小时,两种原料的配比为1.2/1,真空度为600mmHg。
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