2023年广东省普通高中学业水平合格性考试数学真题试卷含详解.pdf
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2023年广东省普通高中学业水平合格性考试数学(时间:
90分钟,总分:
150分)一、选择题:
本大题共12小题,每小题6分,共72分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设集合M=,2,N=TQ1,则MDN=()C./(x)=3vD./(x)=A0,1B.0,1,2)C.-1,0,1,2)D.-1,0,12.下列函数中,在其定义域上是增函数的是()A./(X)=-XB./(x)=f3.已知X、y0,且Xy=36,则尤+y的最小值是()A.10B.12C.13D.154.不等式(x-5)(x+2)0的解集是()人.工|工5Cx-2x55已知向量4=(2,0),Z?
=(1,一2),则+/?
二A.(1,2)C.(2,1)二6.下列函数可能是对数函数的是();B.xx2D.x-5x(),且孙=36,则+y的最小值是()A.10B.12C.13D.15【答案】B【分析】利用基本不等式可求得+y的最小值.【详解】因为X、y0,且孙=36,由基本不等式可得+y2而=12,当且仅当X=y=6时,等号成立,故X+y的最小值是12.故选:
B.4.不等式(x5)(x+2)0的解集是()A.xx58.划2C.x-2x5D.x-5x2【答案】A【分析】根据二次不等式与二次函数图象的关系得结论.【详解】y=(x-5)(x+2)的图象是开口向上的抛物线,它与X轴的两交点分别是(-2,0),(5,0),不等式的解为x5,故选:
A.5.已知向量=(2,0),人=(-1,-2),则+方=()A.(1,2)B.(1,-2)C.(2,1)【答案】B【分析】由向量加法的坐标运算计算.【详解】由题意“+b=(21,02)=(1,2),故选:
B.D.(-3,2)6,下列函数可能是对数函数的是()【分析】利用对数函数的图象可得合适的选项.【详解】对数函数的定义域为(0,+8),ABCD四个选项中最有可能是对数函数的是A选项.故选:
A.7.已知角的顶点与原点重合,始边与X轴的非负半轴重合,终边经过P(l,i),则Iana的值为()A.BB.3C,D.3232【答案】D【分析】根据正切函数的定义计算.【详解】由题意tana=1故选:
D.8.某人连续投篮两次,则他至少投中一次的对立事件是()A.至多投中一次B.两次都投中C只投中一次D.两次都没投中【答案】D【分析】根据对立事件的定义判断.【详解】至少投中1次的反面是没有一次投中,因此选项D正确.故选:
D.9.要获得/(x)=SinX+:
只需要将正弦图像()A.向左移动Z个单位6B.向右移动W个单位671C.向左移动一个单位671D.向右移动一个单位6【答案】A【分析】根据三角函数图象变换的概念判断.【详解】把y=sinx的图象向左平移个单位,所得图象的函数解析式为y=sin(x+L).66故选:
A.10.已知a和夕是两个不同平面,A-.all,B:
a和“没有公共点,则A是8的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【分析】根据面面平行的定义判断.【详解】两个平面平行的定义是:
两个平面没有公共点,则这两个平面平行,因此A是B的充要条件.故选:
C.H.已知函数=若=U则/()的值是()11A2B.1C.D.102【答案】D【分析】根据分段函数的定义求值.详解a=/(A)=Ig5=T,/()=/(-1)=2-1=1.故选:
D.12.若/+。
2=。
2,则。
乃,C三个数称之为勾股数,从3,4,12,13中任取两个,能和5组成勾股数的概率是()【答案】B【分析】用列举法写出所有基本事件,得出的逆反应概率事件的基本事件,计数后计算即得.【详解】从3,4,12,13中任取两个的基本事件有(3,4),(3,12),(3,13),(4,12),(4,13),(12,13)共6个,其中能和5组成勾股数的有(3,4),(12,13)两个基本事件,所以所求概率为P=.故选:
B.二、填空题:
本大题共6小题,每小题6分,共36分.13.已知复数z=T+(m2)i,要让Z为实数,则实数机为.【答案】2【分析】由复数的定义求解.【详解】Z为实数,则加一2=0,m=2故答案为:
2.14.函数/(x)=COS2x的最小正周期是.【答案】兀_2【分析】根据周期公式T=L即可求出函数的周期.【详解】解:
/(x)=cos2x,Qa)=2,.T=-=,即函数/(x)=CoS2x的最小正周期是.故答案为:
兀.15.棱长为2的正方体的内切球的直径为.【答案】2【分析】根据正方体的几何性质可得结果.【详解】棱长为2的正方体的内切球的直径为2.故答案:
2.16.已知向量和b的夹角为90,忖=2,W=G,则力=.【答案】0【分析】利用平面向量数量积的定义可求得。
的值.【详解】由平面向量数量积的定义可得b=W4cos90=0.故答案为:
0.17.已知某校高一高二高三的人数分别为400、450、500,选派该校学生参加志愿者活动,采用分层抽样的方法选取27人,则高二抽取的人数为.【答案】9【分析】由分层抽样的定义按比例计算.450【详解】由题意高二抽取的人数为-27=9.400+450+5故答案为:
9.18.函数AX)是偶函数,当x0时,f(x)=x(l+x),则/
(1)=.【答案】2【分析】根据函数的奇偶性求出解析式后即可代入求解.【详解】因为当x0时,/(x)=x(l+x),所以当x0,所以JD=-X(I-),函数/()是偶函数,所以/(X)=/(-%)=-(l-),所以/(-1)=1(1+1)=2,故答案为:
2三、解答题:
本大题共4小题,第1921题各10分,第22题12分,共42分.解答需写出文字说明,证明过程和演算步骤.19.在.ABC中,内角A、B、C的对边分别为、b、c,b=2,c=-,6=60.3求C;
(2)求a.【答案】(I)C=30_463【分析】
(1)利用正弦定理求出SinC,结合大边对大角定理可求得角C的值:
(2)求得A=90,利用勾股定理可求得”的值.【小问1详解】Cb空XB解:
由正弦定理可得二一=-一,所以,.csinBVxV1.sinCsinBSinC=-=-=-b22因为则0C60,故C=30.【小问2详解】解:
由
(1)可知A=180-(B+C)=90,所以,20.甲和乙射箭,两人比赛分数结果如下:
甲868659乙6778104求甲和乙分数的平均数和方差,并说明甲和乙发挥的情况.【答案】答案见解析【分析】根据平均数和方差公式可求得甲和乙分数的平均数和方差,结合平均数与方差的大小关系可得出结论.【详解】解:
甲分数的平均数为漏8+6+8+6+5+96=7,方差为*=(8-7)2+(6-7)2+(8-7)2+(6-7)2+(5-7)2+(9-7)2乙分数的平均数为X乙=66+7+7+8+10+4=-=7,6方差为*=(6-7)2+(7-7)2+(7-7)2+(8-7)2+(10-7)2+(4-7)210-=-,63所以,4=花,端或,故甲乙分数的平均数相同,但甲比乙发挥更为稳定.21.某企业十年内投资一个项目,2022年投资200万,之后每一年的投资额比前一年增长10%.
(1)求该企业在2024年该项目的头投资金额;
(2)该企业在哪一年的投资金额将达到400万元?
(参考数据:
log12=7.4)【答案】242万元;
(2)2030年.【分析】
(1)根据增长率的定义求解;
(2)结合指数函数模型列方程求解.【小问1详解】由题意2023年投资额为200x(l+10%)=220,2024年投资额为220x(1+10%)=242(万元);【小问2详解】设第鹿年投资金额将达到400万元,即200x(l+10%)T=400,LrIT=2,-I=Iog.2=7.4,n=8.4,因此在第9年即2030年投资金额将达到400万元.22.如图,圆的直径为AB=4,直线以垂直圆所在的平面,C是圆上的任意一点.
(1)证明BCL面C;
(2)若尸4=2底,4。
=2,求/58与面以(7的夹角.【答案】
(1)证明见解析;
(2)45.【分析】
(1)由已知线面垂直得R4LBC,由圆性质得ACIBC,再由线面垂直的判定定理得证线面垂直;
(2)由
(1)得/BPC是依与平面P4C所成的角,然后求出尸CBC,再利用直角三角形得结论.【小问1详解】证明:
B4_L平面ABC,BCU平面ABC,PA,BC,同理B4LAC,AB是圆直径,C在圆周上,因此AClBC,又P4AC=A,PAAeU平面PAC,.8。
平面R4C;【小问2详解】由
(1)BCl平面PAC,.NBPC是依与平面PAC所成的角,又PCU平面PAC,.6CLPC,由已知PC=JPA2+AC2=2乖I,BC=42-22=23-所以N6PC=45,PB与平面PAC所成的角是45.
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