数列极限.ppt
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第一章二、收敛数列的性质三、极限存在准则一、数列极限的定义1.2数列的极限数列的极限一、数列的定义定义:
叫叫数列,记作记作.nxnx称为称为通项(一般项).按一定顺序排列的无穷多个数按一定顺序排列的无穷多个数12,nxxxLL例如2,4,8,2,;nLL1111,;2482nLL2n12n11,1,1,
(1),;n+-LL1
(1)n+-;,,13221nn1nn2.2.数列是自变量取正整数数列是自变量取正整数n的函数记为的函数记为Nnnfxn,)(注:
注:
1.1.数列对应着数轴上一个点列数列对应着数轴上一个点列.可看可看作一动点在数轴上依次取作一动点在数轴上依次取1x2x3x4xnx12,.nxxxLL,1,43,32,21nn1nnxn)(1n,2,8,4,2nnnx2)(n,)1(,1,1,11n1
(1)nnx+=-=-趋势不定趋势不定收敛发散1111,;2482nLLnxnn021“当当n无限增加时无限增加时,xn与与a无限接近”能定量刻画无限接近”能定量刻画吗?
吗?
描述性定义:
xn为数列,为数列,a为常数,如果当为常数,如果当n无限无限增加增加否则称数列否则称数列发散发散.时,时,xn与与a无限接近,称无限接近,称xn的极限是的极限是a.记作:
记作:
为数列,为数列,nxa为常数为常数,0NZ+$当当nN时时,总有总有记作记作:
此时也称数列收敛此时也称数列收敛,否则称数列发否则称数列发散散.axnnlim或或)(naxnaxn则称该数列则称该数列的极限为的极限为a,分析定义:
nx二、数列极限的定义二、数列极限的定义naxaxnnn或limaaa)(axan(,)nxaee畚畚UU1Nx2Nxnxaee-N时时,(,)nxaeeUU几何解释:
注:
2.N与与有关有关,但不唯一但不唯一.1.为任意给定的正数,从而刻画了为任意给定的正数,从而刻画了nx与与a的接近程度,的接近程度,N刻画刻画n增大的增大的程度程度分析定义用来证明极限的存在性。
分析定义用来证明极限的存在性。
例1.证明证明:
0)1(1limnnn例2.设设证明等比数列证明等比数列0limnnq,1q三、收敛数列的性质性质1:
收敛数列的极限唯一.性质2:
收敛数列一定有界.推论:
无界数列必定发散.推论:
若数列有两个子数列收敛于不同的极限,则原数列一定发散.性质3:
收敛数列的任一子数列收敛于同一极限.lim,lim,nnnnaabb=四四.极限的四则运算法则极限的四则运算法则则则注:
定理中的注:
定理中的
(1)
(1)与与
(2)
(2)可以推广到有限个数列的情形可以推广到有限个数列的情形.定理定理(有理运算法则有理运算法则)设设bababbcbcCababababannnnnnnnnnnnlim03lim,lim2lim1时,当有特别,当222312limnnn+L例例2例3例例122212
(1)(21)6nnnn+=L113212111limnnnnnnn1lim2)1(321limnnn练习:
)12()12(1531311limnnn练习:
nnnn4lim练习:
1132323lim.33)3)
(2)(1(lim.23191311lim.1nnnnnnnnnnnn练习:
五五.极限存在准则极限存在准则准则准则I:
迫敛准则(夹逼准则):
迫敛准则(夹逼准则)设有设有数列数列an,bn,cn满足满足:
.limlim2;,N1ababcaNnNnnnnnnn时,当则则数列数列cn收敛于收敛于a,即即.acnnlim注注意意:
.,的极限容易求且相等与并且与键是构造出利用迫敛准则求极限关nnnnbaba迫敛准则给出了判定数列收敛的方法,而且提供了求极限的一种方法.例1).12111(lim222nnnnn求求解解,11112222nnnnnnnnnnnnnn111limlim2又又,122111lim1limnnnnn,1由迫敛定理得由迫敛定理得.1)12111(lim222nnnnn练习:
明证11211lim222nnnnnn证证:
利用迫敛准则利用迫敛准则.nnnnn222121122nnnp+22nn且且22limnnnnp+1lim1nnp=+1=22limnnn211limnn1nnlimnnnn22212111由由nnnn1321lim2:
求极限例nnnn!
lim练习:
求极限2.单单调有界准则调有界准则满足条件满足条件如果数列如果数列nx,121nnxxxx单调增加单调增加,121nnxxxx单调减少单调减少单调数列单调数列准则准则II(单调有界准则单调有界准则)单调有界数列必有极限单调有界数列必有极限。
121nnxxxxM+LLmxxxxnn121)(limMaxnn)(limmbxnnxxab1x2xnx1nx+Mm1nx+nx2x1x例3.设,),2,1()1(1nxnnn证明数列极限存在证明数列极限存在.nx记此极限为e,ennn)1(lim1e为无理数,其值为590457182818284.2e即ennn)1(lim1重要极限:
nnnnnmnm111li.211li.141:
求例nnnnnnnnmnmnm55li.311li.211li.1522:
求例nnnnnnmnm21li.2321li.1求练习:
内容小结1.数列极限的“N”定义及应用2.收敛数列的性质:
唯一性唯一性;有界性有界性;任一子数列收敛于同一极限任一子数列收敛于同一极限四则运算性质四则运算性质3.数列极限存在准则迫敛准则;单调有界准则迫敛准则;单调有界准则nnnnnnnnnnnnnnnnnnmnnnmnmnnnmnmmmnnnnm3222211312li.82li.4111li.72221li.311li.63131311li.22323li.53)3)
(2)(1(li.1作业:
作业:
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- 数列 极限
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