高一数学必修二空间点、直线、平面之间的位置关系复习课件.ppt
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空间点、直线、平面之间空间点、直线、平面之间的位置关系的位置关系图形图形符号语言符号语言文字语言文字语言(读法读法)点在直线上点在直线上点不在直线上点不在直线上点在平面内点在平面内点不在平面内点不在平面内点、线、面的基本位置关系点、线、面的基本位置关系(11)符号表示:
)符号表示:
(22)集合关系:
)集合关系:
线线、点点、面面直线直线交于点交于点图形图形符号语言符号语言文字语言文字语言(读法读法)平面平面与与相交于直线相交于直线直线直线在平面在平面内内直线直线与平面与平面无公共点无公共点直线与直线与平面平面交于点交于点返回平面几何中的平面几何中的“”“”在空间中仍适用在空间中仍适用公理公理11如果一条直线上的两点在一个平面内如果一条直线上的两点在一个平面内,那那么这条直线在此平面内么这条直线在此平面内.公理公理2过不在一条直线上的三点过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面有且只有一个平面.“不共线的三点确定一个平面不共线的三点确定一个平面”公理公理33如果两个不重合的平面有一个公共点,如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线那么它们有且只有一条过该点的公共直线.AABBCCABPP判断线面位置判断线面位置判断面面位置(判断面面位置(相交相交或或平行平行)确定平面依据确定平面依据不同在不同在任何任何一个平面内的两一个平面内的两条直线叫做异面直线条直线叫做异面直线。
没有没有只有一个只有一个没有没有共面共面不共面不共面共面共面平行平行相交相交异面异面位置关系位置关系公共点个数公共点个数是否共面是否共面异面直线的定义异面直线的定义异面直线的画法异面直线的画法说明说明:
画异面直线时画异面直线时,为了为了体现体现它们不共面的特点。
它们不共面的特点。
常借常借助一个或两个平面来衬托助一个或两个平面来衬托.如图:
aabaAbb
(1)(3)
(2)aa与与bb是是相交相交直线直线aa与与bb是是平行平行直线直线aa与与bb是是异面异面直线直线aabbMM答:
答:
不一定不一定:
它们可能异面,可能相交,也可能平行。
:
它们可能异面,可能相交,也可能平行。
分别在两个平面内的两条直线是否一定异面?
分别在两个平面内的两条直线是否一定异面?
aabbaabb思考思考异面直线的判定方法:
异面直线的判定方法:
(1)定义法:
由定义判定两直线不可能在定义法:
由定义判定两直线不可能在同一平面内同一平面内.
(2)判定定理:
过平面外一点与平面内一点判定定理:
过平面外一点与平面内一点的直线,和平面内不经过该点的直线是异的直线,和平面内不经过该点的直线是异面直线面直线已知已知:
直线直线AB和和a是异面直线是异面直线aAB按是否在按是否在同一平面内分同一平面内分同在一个平面内同在一个平面内相交直线平行直线不同在任何一个平面内不同在任何一个平面内:
异面直线有一个公共点有一个公共点:
按公共点个数分按公共点个数分相交直线无公共点无公共点平行直线异面直线空间直线与直线之间的位置关系空间直线与直线之间的位置关系公理公理4平行于同一条直线的两条直线互相平行平行于同一条直线的两条直线互相平行.注:
注:
1.直线直线a,b,c两两平行,可记为两两平行,可记为a/b/c.2.公理公理4所表述的性质,叫做所表述的性质,叫做空间平行线的传递性空间平行线的传递性.3.证明空间两直线平行证明空间两直线平行的方法:
的方法:
(1)定义法:
一要证两直线在同一平面内;二要证定义法:
一要证两直线在同一平面内;二要证两直线没有公共点两直线没有公共点(反证法反证法)
(2)公理法公理法平行公理平行公理ABCA1B1C1等角定理等角定理1:
如果一个角的两边和另一如果一个角的两边和另一个角的两边分别对应平行个角的两边分别对应平行,那么这两那么这两个角相等或互补个角相等或互补.DD1EE1推论推论:
如果一个角的两边和另一个角的两边如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行且方向相同,那么这两个角相等分别平行且方向相同,那么这两个角相等.等角定理等角定理等角定理等角定理定理:
空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个定理:
空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补。
角相等或互补。
问:
这两个角什么时候相等,什么时候互补?
问:
这两个角什么时候相等,什么时候互补?
如图所示,如图所示,a,b是两条是两条异面直线,异面直线,在空间中任选一点在空间中任选一点O,过过O点分别作点分别作a,b的平行线的平行线a和和b,abPabO则这两条线所成则这两条线所成的锐角的锐角(或直角),(或直角),称为称为异面直线异面直线a,b所成的角所成的角.?
任选任选Oa若两条异面直线所成角为若两条异面直线所成角为90,则称它们互相垂直则称它们互相垂直.异面直线异面直线a与与b垂直也记作垂直也记作ab.平平移移两条异面直线所成的角两条异面直线所成的角注注1:
异面直线异面直线a、b所成角,只与所成角,只与a、b的相互位置有关,的相互位置有关,而与点而与点O位置无关位置无关.一般常把点一般常把点O取在直线取在直线a或或b上上.abOa注注2:
异面直线所成角的取值范围:
异面直线所成角的取值范围:
注注3:
求异面直线所所成角的步骤:
求异面直线所所成角的步骤:
一作、二证、三求解一作、二证、三求解aa1b1O分别平行于两条异面直线的两条相交直线所成的分别平行于两条异面直线的两条相交直线所成的锐角(直角)叫做两异面直线所成的角锐角(直角)叫做两异面直线所成的角为了简便,在求作异面直线所成的角时为了简便,在求作异面直线所成的角时,O点点常选在其中的一条直线上常选在其中的一条直线上(如线段如线段的的端点端点,线段的线段的中点中点等等)baOABGFHEDC例例2如图,正方体如图,正方体ABCD-EFGH中中,O为侧面为侧面ADHE的中心,求的中心,求
(1)BE与与CG所成的角?
所成的角?
(2)FO与与BD所成的角?
所成的角?
解解:
(1)如图如图:
BFCG,EBF(或其补角或其补角)为异面直线为异面直线BE与与CG所成的角,所成的角,又又BEF中中EBF=45,所以所以BE与与CG所成的角是所成的角是45ooO连接连接HA、AF,依题意知依题意知O为为AH中点中点,HFO=30o
(2)连接连接FH,所以所以FO与与BD所成的夹角是所成的夹角是30o四边形四边形BFHD为平行四边形,为平行四边形,HFBDHFO(或其补角或其补角)为异面直线为异面直线FO与与BD所成的角所成的角HDEA,EAFBHDFB=则则AH=HF=FAAFH为等边为等边例例3如图如图,已知长方体已知长方体ABCD-EFGH中中,AB=,AD=,AE=2
(1)求求BC和和EG所成的角是多少度所成的角是多少度?
(2)求求AE和和BG所成的角是多少度所成的角是多少度?
解答:
解答:
(1)GFBCEGF(或其补角)为所求或其补角)为所求.RtEFG中,求得中,求得EGF=45o
(2)BFAEFBG(或其补角)为所求或其补角)为所求,RtBFG中,求得中,求得FBG=60oABGFHEDC2例例4如图,在长方体中,已知如图,在长方体中,已知AA1=AD=a,AB=a,求AB1与BC1所成的角的余弦值.CBADA1B1C1D1aa三点共线的证明三点共线的证明如图所示,平面ABD平面BCD直线BD,M、N、P、Q分别为线段AB、BC、CD、DA上的点,四边形MNPQ是以PN、QM为腰的梯形求证:
三直线BD、MQ、NP共点共点、共线和共面问题分析先证两直线交于一点,再证该点在第三条直线上证明四边形MNPQ是梯形,且MQ、NP是腰,直线MQ、NP必相交于某一点O.O直线MQ,直线MQ平面ABD,O平面ABD.同理,O平面BCD,又平面ABD平面BCD直线BD,O直线BD,从而三直线BD、MQ、NP共点规律总结由已知条件,直线MQ、NP必相交于一点O,因此,问题转化为求证点O在直线BD上由公理3,就是要寻找两个平面,使直线BD是这两个平面的交线,同时点O是这两个平面的公共点即可“三点共线”及“三线共点”的问题都可以转化为证明“点在直线上”的问题
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