大学物理-第二章-薛定谔方程.ppt
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一、薛定谔方程(一、薛定谔方程(SScchrhrdingerdingersequationsequation)1926年薛定谔提出年薛定谔提出一个质量为一个质量为m的微观粒子在外场中的微观粒子在外场中沿沿x轴方向运动时,其势能轴方向运动时,其势能U=U(x,t),这这时波动方程为:
时波动方程为:
“波动力学波动力学”理理论论其核心内容其核心内容:
物质波的波动方程物质波的波动方程(适用于低速运动粒子的情况)(适用于低速运动粒子的情况)称为称为薛定谔方程薛定谔方程ErwinSchrdinger一般形式的薛定谔方程一般形式的薛定谔方程2.12.1薛定谔得出的波动方程薛定谔得出的波动方程用用“算符算符”代表物理量、代表物理量、用求用求“特征值特征值”的办法的办法求物理量的具体取值。
求物理量的具体取值。
这是量子力学中处这是量子力学中处理问题的基本数学手段。
理问题的基本数学手段。
称为能量算符称为能量算符_动量算符动量算符量子力学用量子力学用“算符算符”代表物理量代表物理量_坐标算符坐标算符_角动量算符角动量算符拉普拉斯算符拉普拉斯算符一般的一般的薛定谔方程薛定谔方程上述方程简写上述方程简写哈密顿算符哈密顿算符p说明说明1)薛定谔方程是非相对论量子力学的基本方程,其地位类)薛定谔方程是非相对论量子力学的基本方程,其地位类似于经典力学中的牛顿定律;似于经典力学中的牛顿定律;薛定谔方程薛定谔方程是作为假设提出来的,它的正确性是作为假设提出来的,它的正确性被无数事实所证实被无数事实所证实2)由于方程是线性的,满足薛定谔方程的波函数服从叠加原理由于方程是线性的,满足薛定谔方程的波函数服从叠加原理(量子力学第一原理)(量子力学第一原理)设:
下列波函数均满足薛定谔方程:
设:
下列波函数均满足薛定谔方程:
都是可能存在的状态都是可能存在的状态则:
则:
也是可能存在的状态也是可能存在的状态3)一维情况:
一维情况:
一般形式的薛定谔方程一般形式的薛定谔方程自由粒子的薛定谔方程自由粒子的薛定谔方程对对自由粒子自由粒子,其势能,其势能U(x,t)=0,则波函数满足的波动方程为:
则波函数满足的波动方程为:
定态薛定谔方程定态薛定谔方程在在稳定的外力场稳定的外力场中,微观粒子的势能中,微观粒子的势能U与时间与时间t无关无关,即:
,即:
U=U(x)哈密顿算符本征方程哈密顿算符本征方程(能量本征方程)(能量本征方程)其一维的势能图如下图所示,其一维的势能图如下图所示,其形状与陷阱相似,故称为势阱。
其形状与陷阱相似,故称为势阱。
质子在原子核中的势能曲线也是势阱质子在原子核中的势能曲线也是势阱.为了计算简化,提出了一个理想的势阱模型为了计算简化,提出了一个理想的势阱模型无限深势阱无限深势阱2.22.2一维无限深方势阱中的粒子一维无限深方势阱中的粒子势函数势函数(0xa)由于势能与时间无关,所以只需解一维由于势能与时间无关,所以只需解一维定态薛定谔方程定态薛定谔方程0xU(x)=0a(x0或或xa)按照经典理论,处于无限深势阱中的粒子,其能量可取任意按照经典理论,处于无限深势阱中的粒子,其能量可取任意的有限值,粒子在宽度为的有限值,粒子在宽度为a的势阱内各处的概率是相等的。
的势阱内各处的概率是相等的。
但从量子力学来看,这些问题又是什么样的情况呢?
但从量子力学来看,这些问题又是什么样的情况呢?
p势阱外:
势阱外:
对于对于E为有限值的粒子,要使上述方程成立,唯有为有限值的粒子,要使上述方程成立,唯有(x0或或xa)p势阱内:
势阱内:
(0xa)0xU(x)=0a其解为:
其解为:
由于由于在阱壁上波函数必须单值、连续,在阱壁上波函数必须单值、连续,应有:
应有:
得:
得:
p势阱外势阱外(x0或或xa):
p势阱内势阱内(0xa):
称为量子数(称为量子数(quantumnumber)0xU(x)=0a称为量子数称为量子数(quantumnumber)综上:
综上:
(0xa)(x0或或xa)将波函数归一化:
将波函数归一化:
即:
即:
u此结果的物理意义:
此结果的物理意义:
在在0xa的区域的区域:
1)1)势阱中的粒子在各处的概率密度势阱中的粒子在各处的概率密度(0xa)(x0或或xa)其中:
其中:
an=1n=2n=3a各处的概率密度的分布类似于弦上的驻波各处的概率密度的分布类似于弦上的驻波当当时,在时,在处粒子出现的概率最大处粒子出现的概率最大当当时,在时,在处粒子出现处粒子出现的概率最大的概率最大nn时,粒子在势阱内的概率趋于均匀时,粒子在势阱内的概率趋于均匀与经典结论一致与经典结论一致2)2)势阱中粒子的能量(能量本征值)势阱中粒子的能量(能量本征值):
由:
由:
说明势阱中粒子的能量是量子化的,说明势阱中粒子的能量是量子化的,整数整数n称为能量量子数称为能量量子数。
能级图为能级图为u粒子的能量不能连续取值,只能取分立值粒子的能量不能连续取值,只能取分立值讨论:
讨论:
u粒子的最小能量不能等于零粒子的最小能量不能等于零因为因为所以所以n最小取最小取1,粒子的最小能量为粒子的最小能量为说明不存在这种状态说明不存在这种状态粒子的最小能量状态称为粒子的最小能量状态称为基态基态最小能量最小能量零点能零点能完全静止的粒子是不存在的完全静止的粒子是不存在的!
u粒子的能量不能连续取值,只能取分立值粒子的能量不能连续取值,只能取分立值讨论:
讨论:
由由3)3)在一定条件下,量子力学解可趋近于经典力学的情况:
在一定条件下,量子力学解可趋近于经典力学的情况:
a.a.当量子数当量子数n足够大时:
足够大时:
b.b.当当m或或a足够大时,同样得到上述结论足够大时,同样得到上述结论粒子能量趋于连续分布粒子能量趋于连续分布当当能量的量子化效应就不显著,能量的量子化效应就不显著,可认为能量是连续,可认为能量是连续,所以经典物理可以看作是所以经典物理可以看作是量子物理中量子数量子物理中量子数时的极限情况时的极限情况当当时,均匀分布,量子时,均匀分布,量子经典经典n=1n=2n=3aa各处的概率密度的分布类似于弦上的驻波各处的概率密度的分布类似于弦上的驻波无限深势阱中粒子的每一个能量本征值对应于无限深势阱中粒子的每一个能量本征值对应于德布罗意波德布罗意波的一个特定波长的驻波。
的一个特定波长的驻波。
波长量子化波长量子化2.32.3势垒穿透势垒穿透方势垒方势垒经典理论或量子力学,粒子都经典理论或量子力学,粒子都可以穿过区域可以穿过区域进入区域进入区域。
从经典理论看,由于粒子动能必须为正值,从经典理论看,由于粒子动能必须为正值,所以不可能进入区域所以不可能进入区域和区域和区域。
但从量子力学分析,粒子仍可以穿过区域但从量子力学分析,粒子仍可以穿过区域进入区进入区域域。
在区域在区域:
设波函数为设波函数为薛定谔方程薛定谔方程在区域在区域:
设设在区域在区域:
设设根据波函数要求是根据波函数要求是单值、有限、连续单值、有限、连续条件解得条件解得粒子有一定的概率穿透势垒。
粒子能穿透比其动能粒子有一定的概率穿透势垒。
粒子能穿透比其动能更高的势垒的现象,称为更高的势垒的现象,称为隧道效应隧道效应在粒子总能量低于在粒子总能量低于势垒壁高势垒壁高的情况下的情况下“隧道效应隧道效应”
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