职业中专第一册数学总复习.ppt
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1395146864513951468645qqqq:
783661577783661577第一章:
方程与不等式第一章:
方程与不等式1数的基本知识1.数的分类实数(集)(R)有理数(集)无理数(集)整数负分数(集)(集)正整数零负整数(集)(Q)(Z)(N+、N*)负正分数自然数(集)(N)2.倒数与相反数的概念相反数:
倒数:
乘积是1的两个数互为倒数倒数只有符号不同的两个数互为相反数相反数1的倒数是什么?
0有没有倒数?
1没有没有3.数轴与数规定了原点、正方向原点、正方向和单位长度单位长度的直线叫做数轴4.绝对值几何定义:
一个数a的绝对值就是数轴上表示a的点与原点的距离,数a的绝对值记作|a|.代数定义:
一个正数正数的绝对值是它它本身本身.一个负数负数的绝对值是它的相反数它的相反数.零零的绝对值等于零零.数的乘方数的乘方数的开方数的开方平方根平方根立方根立方根n次方根次方根整式的运算整式的运算常用乘法公式常用乘法公式平方差公式:
平方差公式:
完全平方公式:
完全平方公式:
因式分解方法与步骤:
分组分解法提取公因式公式法(乘法公式的逆运算)配方法十字相乘法分式的运算分式的运算一元一次方程一元一次方程例子:
二元一次方程组二元一次方程组例子一元二次方程一元二次方程一元一次不等式一元一次不等式一元一次不等式组一元一次不等式组用数轴表示不等式组的解一元二次不等式的概念及解法不等式中只含有一个未知数,且最高次数为二次的不等式叫做一元二次不等式.他的一般形式是一元二次不等式与一元二次函数的关系及解法如下表第二章第二章集集合合一般地,某些指定的对象组成的全体就是一个集合(简称集),用大写字母A、B、C表示。
集合中的每个对象都称为这个集合的元素。
用小写字母a、b、c表示。
若a是集合A的元素就说a属于A,记作aA,否则aA。
集合元素的三个特征:
确定性、互异性、无序性。
确定性、互异性、无序性。
集合与元素的关系属于、不属于集合的分类空集与数集空集:
不含任何元素的集合,记作,如方程x2+1=0的解集为数集:
以数为元素的集合。
常用数集详见第一章数的分类数的分类一、交集一、交集二、并集二、并集三、补集三、补集名称闭区间开区间左闭右开区间左开右闭区间定义x|axbx|axbx|axbx|axb符号a,b(a,b)a,b)(a,b图示定义x|xax|xbx|xax|xb符号a,+)(-,b(a,+)(-,b)图示第三章函数在某一个变化过程中有两个变量x与y,如果对于x在某个实数集合D中的每一个值,按照某个对应关系(或称对应法则)f,y都有唯一确定的值与它相对应,那么我们就说y是x的函数(function),记作y=f(x),xD其中,x称为自变量,x的取值范围(即集合D)称为函数的定定义域域(domain),与x的值相对应的y的值称为函数值,当x取遍D中所有值时,所得到的函数值y的集合称为函数的值域域(range)1、函数的两大要素、函数的两大要素2、求函数的定义域的方法、求函数的定义域的方法y=2x2-3x+1函数三种表示方法:
函数三种表示方法:
解析法、列表法、图像法一、偶函数:
一、偶函数:
定义域关于原点对称对称一般地,设函数y=f(x)的定义域为D,如果对于任意的xD,都有f(-x)=f(x),则称y=f(x)为偶函数,如y=x2为偶函数。
二、奇函数二、奇函数:
定义域关于原点对称对称一般地,设函数y=f(x)的定义域为D,如果对于任意的xD,都有f(-x)=-f(x),则称y=f(x)为奇函数,如y=三、非奇非偶函数三、非奇非偶函数:
定义域关于原点不对称不对称如果一个函数既非奇函数,又非偶函数,则称为非奇非偶函数.小结:
根据定义讨论函数的奇偶性的步骤小结:
根据定义讨论函数的奇偶性的步骤第一步,求函数的定义域并判断定义域是否关于第一步,求函数的定义域并判断定义域是否关于XX轴对称轴对称;第二步,若第二步,若定义域关于定义域关于XX轴对称,则判断轴对称,则判断f(-x)值,)值,若若对于任意的xD,都有f(-x)=f(x),则称y=f(x)为偶函数,如y=x2若若对于任意的xD,都有f(-x)=-f(x),则称y=f(x)为奇函数,如y=若若定义域关于定义域关于XX轴不对称,则为轴不对称,则为非奇非偶函数第三步,第三步,写出结论写出结论增函数、减函数增函数、减函数一般地,设函数y=f(x)的定义域上某个区间为I:
如果对于任意的x1,x2I,当x1x2时,都有f(x1)f(x2)我们就说函数y=f(x)在区间I上是单调增函数,简称增函数增函数,其图像沿x轴的正方向上升上升,如图3-15a所示.如果对于任意的x1,x2I,当x10,a1)a10a1图像性质
(1)定义域是(0,+),值域是(-,+)
(2)当x=1时,y=0(3)在(0,+)内是增函数(4)当x1时,y0当0x1时,y0(3)在(0,+)内是减函数(4)当x1时,y0当0x1时,y01.角的定义及组成一条射线绕着端点O从一位置OA旋转到另一个位置OB所形成的图形称为角,如图按逆时针逆时针方向旋转形成的角称为正角正角按顺时针顺时针方向旋转形成的角称为负角负角如果一条射线没有作任何旋转,我们也认为它形成了一个角,称为零角零角的始边与终边重合,若是零角,则=0.象象限限角角以平面直角坐标系xOy的原点O为角的顶点,让角的始边与x轴的正半轴重合,这时角的终边在第几象限,就说这个角是第几象限角。
如果一个角的终边落在坐标轴上,就认为这个角不属于任何象限,如90角与180角不属于任何一个象限。
在在0360范围内范围内,表示各象限角的范围表示各象限角的范围.在同一直角坐标系中,画出30、390、750、-330角,并寻找它们的共同点30=30+0360390=30+1360750=30+2360-330=30+(-1)360小结:
共同点是所有所有角的终边相同角的终边相同,可以用=30+k360,kz表示.终边相同的角的表示终边相同的角的表示:
一般地,与角终边相同的角(含在内的一般表达式为=+k360,kz用集合表示为|=+k360,kz思考:
第一象限的角的集合如何表示?
|0+k36090+k360,kz定义:
长度等于半径的弧所对的圆心角为1弧度的角.用弧度作为单位来度量角和单位制称为弧度制.图46在半径为r的圆中,长度为l的圆弧所对的圆心角的大小是|=rad.角度与弧度的换算角度与弧度的换算360=2rad.180=rad.1rad=57.3注:
弧度单位通常忽略不写.用弧度制表示下列各角:
60,-270.例2把下列各角用角度制表示:
,.在直角三角形中,如图所示。
M是直角,锐角的对边是a,邻边是b,斜边是c,则有sin=cos=tan=在直角坐标中,如图所示。
在锐角的终边上任取一点P(原点除外),过点P作x轴的垂线,垂足为M,这样就得到了直角三角形OPM,设点P的坐标为(x,y)则角的对边MP的长是y,邻边OM的长是x,斜边OP的长是r,其中r=(r0)由此得到sin=cos=tan=推广到任意角就有任意角的三角函数如图所示,在任意角的终边上任取一点P,设P的坐标为(x,y)OP=r,则r=(r0)图411sin=称为角的正弦cos=称为角的余弦tan=称为角的正切特殊角的三角函数的值.角度制角度制030456090180270弧度制弧度制0sin010-1cos10-10tan01不不存在存在0不不存在存在根据任意角的三角函数的定义,我们知道,角的终边上点P坐标值的符号决定了角的三角函数的符号各三角函数在各个象限的符号列表如下:
记忆口诀:
一正二正弦,三正切四余弦一正二正弦,三正切四余弦.含义:
第第一一象象限限全全为为正正,第第二二象象限限除除正正弦弦为为正正外外,其其余余均均为为负负,第第三三象象限限除除正切为正外,其余均为负,第四象限除余弦为正外,其余均为负正切为正外,其余均为负,第四象限除余弦为正外,其余均为负同角三角函数的基本关系诱导公式诱导公式sin(2k+)=sin,kZcos(2k+)=cos,kZ(公式一)tan(2k+)=tan,kZ公式作用公式作用:
将任意角的三角函数化为0,2内的角的三角函数。
一、有关一、有关+2k(kz)的诱导公式)的诱导公式二、有关二、有关-的诱导公式的诱导公式例如:
sin1500=sin(4360+60)=sin60sin(-)=-sincos(-)=cos(公式二)tan(-)=-tan公式作用公式作用:
将负角的三角函数化为正角的三角函数。
例如:
例如:
sin(-30)角-与角的终边关于x轴对称证明:
由图416可知角-与角的终边关于x轴对称,在角的终边上取一点P,使OP=1,设P的坐标为(x,y),则P(x,-y)必在角-的终边上,且OP=1图416三、有关三、有关-的诱导公式的诱导公式sin(2-)=-sincos(2-)=cos(公式三)tan(2-)=-tan公式作用公式作用:
将任意负角的三角函数转化为正角的三角函数。
sin(+)=-sincos(+)=-cos(公式四)tan(+)=tan四、四、的三角函数的简化公式的三角函数的简化公式sin(-)=sincos(-)=-cos(公式五)tan(-)=-tan证明公式四图417证明.将任意角的终边按逆时针旋转弧度,就得到的终边,显然角的终边与角的终边关于原点对称,在角终边上取一点P,使OP=1,设点P的坐标为(x,y),则P(-x,-y)必在角的终边上,且OP=1,所以求下列各三角函数的值:
(1)sin
(2)cos135(3)tan小结:
求任意角的三角函数的步骤正弦函数正弦函数y=sinx的图像与性质的图像与性质正弦函数y=sinx的图像先用描点法画出y=sinx在区间0,2上的图像.由于sin(2k+x)=sinx,kz.所以y=sinx在区间2k,2k+2上的图像与在区间0,2上的图像形状完全一样,只要将y=sinx在0,2的图像向左向右平移即可.正弦函数y=sinx的性质
(1)定义域R
(2)值域-1,1x=+2k(kz)ymax=1x=+2k(kz)ymin=-1(3)周期性T=2最小正周期(4)奇偶性奇函数(5)单调性在区间2k-,2k+内单调递增,区间2k+,2k+内单调递减(6)与x轴主点x=kkz用五点法画出函数用五点法画出函数ysinx+1在在0,2上的简图上的简图.分分析析比比较较函函数数ysinx+1和和函函数数ysinx可可以以看看出出,对对同同一一个个x值值,函函数数ysinx+1的的值值比比函函数数ysinx的的值值大大1.所以,函数所以,函数ysinx+1的图像与函数的图像与函数ysinx的图像形状一样,但在坐标系中的位置不同的图像形状一样,但在坐标系中的位置不同.x02sinx010-10sinx+112101已知函数y=-2sinx
(1)用五点法画出这个函数在一个周期0,2上的图像
(2)求出它的最大值和最小值(3)判断它的奇偶性(4)指出这个函数在0,2上的单调区间解
(1)列表:
x02y0-2020描点,连线得到函数y=-2sinx在一个周期0,2上的图像,如图423所示
(2)根据函数的图像和函数的周期性,可知当x=2k+(kZ)时,函数有最大值,ymax=2;当x=2k+(kZ)时,函数有最小值,ymin=-2(3)函数f(x)=-2sinx的定义域为R因为f(-x)=-2sin(-x)=2sinx=-f(x)所以这个函数是奇函数(4)根据图像,可知这个函数在0,2上的单调增区间为,单调减区间为0,和,2余弦函数余弦函数y=cosx的图像与性质的图像与性质余弦函数y=cosx的图像先用描点法画出y=cosx在0,2内的图像x0y10.870.50-0.5-0.87-1-0.87-0.500.520.871曲线可由y=cosx在0,2内图像向右、向左平移2k(kz)个单位得到y=cosxx0,2由五个关键点确定图像形状。
(0,1),(,0),(,-1),(,0),(2,1)余弦函数y=cosx的性质
(1)定义域R
(2)值域-1,1x=2k(kz)时,ymax=1,x=(2k+1)(kz)时ymin=-1(3)周期性T=2(4)奇偶性偶函数(5)单调性2k,2k+区间上为减函数,2k+,2k+2区间上为增函数(6)与x轴的交点当x=k+(kz)时,y=cosx=0用五点法画出y=2cosx在0,2上的简图列表x02y=2cosx20-202描点并连线(图427)图427正切函数正切函数y=tanx的图像的图像x_-0y=tanx-1.73-1-0.5800.5811.73xtanx-1.73-1-0.5800.5811.73多面体定义:
多面体定义:
由若干个平面多边形所围成的几何体称为多面体.棱棱柱柱:
一般地,有两个面互相平行,且不在这两个面的棱都相互平行的多面体称为棱柱.棱柱中的元素:
棱柱中的元素:
底面、高、侧面、侧棱、顶点.如图53.棱柱的表示方法.如ABCDE-A1B1C1D1E即用底面的顶点表示.棱柱的分类棱柱的分类按侧棱的条数分:
按侧棱的条数分:
三棱柱、四棱柱、五棱柱等.按侧棱与底面的关系分按侧棱与底面的关系分正正棱棱柱柱:
底面为正多边形的直棱柱称为正棱柱.如正三棱柱正四棱柱如图51中的
(1)、(11)、(12)、(13)正正棱棱柱柱特特征征:
底面是全等的正多边形,侧面是全等的矩形侧棱与底面垂直棱棱锥锥定定义义:
一般地,有一个多边形的面,且不在这个面上的棱却有一个公共点的多面体如图51中的
(2)、(3)、(7)、(10)和(16).棱锥元素:
棱锥元素:
底面、侧面、侧棱、顶点棱棱锥锥表表示示方方法法:
如图54SABCDE.即用顶点和底面多边形的字母表示.正棱锥的定义及特征正棱锥的定义及特征底面是正多边形,侧面是全等的等腰三角形,称这样的棱锥为正棱锥,如图51中的(3)、(7)、(10)、(16)分别是正四棱锥、正三棱锥、正五棱锥和正六棱锥.注:
三棱锥称四面体,正三棱锥称正四面体.圆柱圆柱定义:
一般地,以矩形的一边所在的直线为旋转轴,其余三边旋转一周而成的曲面所围成的几何体称为圆柱.如图55,用轴线o表示.圆柱中的元素:
轴、底面、高、侧面、母线.特征:
母线处处相等底面平行.全等.圆锥圆锥定义:
一般地,以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴,其余两边旋转一周而成的曲面所围成的几何体称为圆锥.如图5-6.用圆锥o表示.圆锥中的元素:
轴、高、底面、侧面、母线特征:
母线处处相等.球定义:
一般地,以定圆的直径所在的直线为旋转轴,定圆旋转一周而成的曲面称为球面;球面所围成的几何体称为球体.如图5-7.用球o表示.球的元素:
球心、直径、半径三视图以主观图、俯视图和左视图方式来表现空间几何体的结构叫做空间几何体的三视图(长对正、高平齐、宽相等长对正、高平齐、宽相等)画水平放置的三角形的直观图直观图步骤图示1在已知三角形ABC中,作CDAB,垂足为D2画对应的水平线段AB=AB;在AB上取点D,使AD=AD;过D作射线DC,使BDC=45,并取DC=DC3连结AC和BC,并擦去辅助线CD和不必要的字母D得到的三角形ABC就是三角形ABC的水平放置的直观图球的表面积和体积球的表面积和体积直观图表面积设球的半径为R,则S球=4R2体积V球=R3
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