北大应用多元统计分析第五章Bayes(贝叶斯)判别法及广义平方距离判别法.ppt
- 文档编号:18944307
- 上传时间:2024-05-02
- 格式:PPT
- 页数:88
- 大小:1.41MB
北大应用多元统计分析第五章Bayes(贝叶斯)判别法及广义平方距离判别法.ppt
《北大应用多元统计分析第五章Bayes(贝叶斯)判别法及广义平方距离判别法.ppt》由会员分享,可在线阅读,更多相关《北大应用多元统计分析第五章Bayes(贝叶斯)判别法及广义平方距离判别法.ppt(88页珍藏版)》请在冰点文库上搜索。
应用多元统计分析讲义第五章应用多元统计分析讲义第五章1应用多元统计分析第五章第五章判判别别分分析析北大北大数学学院数学学院应用多元统计分析讲义第五章应用多元统计分析讲义第五章2第五章第五章判别分析判别分析目目录录5.15.1距离判别距离判别5.25.2Bayes(Bayes(贝叶斯贝叶斯)判别法及判别法及广义平方距离判别法广义平方距离判别法5.3Fisher(5.3Fisher(费歇费歇)判别判别北大北大数学学院数学学院应用多元统计分析讲义第五章应用多元统计分析讲义第五章3第五章第五章判别分析判别分析什么是判别分析什么是判别分析判别分析是用于判断样品所属类型的一种统计分判别分析是用于判断样品所属类型的一种统计分析方法析方法.在生产、科研和日常生活中经常遇到如何根据观在生产、科研和日常生活中经常遇到如何根据观测到的数据资料对所研究的对象进行判别归类的问题测到的数据资料对所研究的对象进行判别归类的问题.例如例如:
在医学诊断中在医学诊断中,一个病人肺部有阴影一个病人肺部有阴影,医生要判医生要判断他是肺结核、肺部良性肿瘤还是肺癌断他是肺结核、肺部良性肿瘤还是肺癌.这里肺结核病这里肺结核病人、良性瘤病人、肺癌病人组成三个总体人、良性瘤病人、肺癌病人组成三个总体,病人来源于病人来源于这三个总体之一这三个总体之一,判别分析的目的是通过测得病人的指判别分析的目的是通过测得病人的指标标(阴影的大小阴影的大小,边缘是否光滑边缘是否光滑,体温多少体温多少)来判断他应来判断他应该属哪个总体该属哪个总体(即判断他生什么病即判断他生什么病).北大北大数学学院数学学院应用多元统计分析讲义第五章应用多元统计分析讲义第五章4第五章第五章判别分析判别分析什么是判别分析什么是判别分析在气象学中在气象学中,由由气象资料气象资料判断明天是阴天还是晴天判断明天是阴天还是晴天,是有雨还是无雨是有雨还是无雨.在市场预测中在市场预测中,由由调查资料调查资料判断下季度判断下季度(或下个月或下个月)产产品是畅销、平常或滞销品是畅销、平常或滞销.股票持有者根据某种股票近期的变化情况判断此股票持有者根据某种股票近期的变化情况判断此种股票价格下一周是上升还是下跌种股票价格下一周是上升还是下跌.在环境科学中在环境科学中,由由气象条件气象条件,污染浓度等污染浓度等判断该地区判断该地区是属严重污染是属严重污染,一般污染还是无污染一般污染还是无污染.在地质勘探中在地质勘探中,由由岩石标本的多种特征岩石标本的多种特征判断地层的判断地层的地质年代地质年代,是有矿还是无矿是有矿还是无矿,是富矿还是贫矿是富矿还是贫矿.在体育运动中在体育运动中,由由运动员的多项运动指标来运动员的多项运动指标来判定游判定游泳运动员的泳运动员的苗子苗子是适合练蛙泳是适合练蛙泳,仰泳还是自由泳等仰泳还是自由泳等北大北大数学学院数学学院应用多元统计分析讲义第五章应用多元统计分析讲义第五章5第五章第五章判别分析判别分析什么是判别分析什么是判别分析判别分析是应用性很强的一种多元统计方法判别分析是应用性很强的一种多元统计方法,已渗透到各个领域已渗透到各个领域.但不管是哪个领域但不管是哪个领域,判别分析问题判别分析问题都可以这样描述都可以这样描述:
设有设有k个个m维总体维总体G1,G2,Gk,其分布特征已知其分布特征已知(如已如已知分布函数分别为知分布函数分别为F1(x),F2(x),Fk(x),或知道来自各或知道来自各个总体的训练样本个总体的训练样本).对给定的一个新样品对给定的一个新样品X,我们要判断我们要判断它来自哪个总体它来自哪个总体.在进行判别归类时在进行判别归类时,由假设的前提由假设的前提,判别的依据及处判别的依据及处理的手法不同理的手法不同,可得出不同判别方法可得出不同判别方法.如距离判别如距离判别,Bayes判别判别,Fisher判别或典型判别判别或典型判别,逐步判别逐步判别,序贯判别等序贯判别等.本章介绍几个常用的判别方法本章介绍几个常用的判别方法.北大北大数学学院数学学院应用多元统计分析讲义第五章应用多元统计分析讲义第五章6第五章第五章5.1距离判别法距离判别法距离判别的基本思想是距离判别的基本思想是:
样品和哪个总体距离最近样品和哪个总体距离最近,就判它属就判它属哪个总体哪个总体.距离判别也称为直观判别法距离判别也称为直观判别法.我们在具体讨论距离判别法之前我们在具体讨论距离判别法之前,应给应给出合理的距离的定义出合理的距离的定义.北大北大数学学院数学学院应用多元统计分析讲义第五章应用多元统计分析讲义第五章7第五章第五章5.1距离判别法距离判别法马氏距离马氏距离已知有两个类已知有两个类G1和和G2,比如比如G1是设备是设备A生产的产生产的产品品,G2是设备是设备B生产的同类产品生产的同类产品.设备设备A的产品质量高的产品质量高(如考察指标为耐磨度如考察指标为耐磨度X),其平均耐磨度其平均耐磨度1=80,反映设反映设备精度的方差备精度的方差2
(1)=0.25;设备设备B的产品质量稍差,其的产品质量稍差,其平均耐磨度平均耐磨度2=75,反映设备精度的方差反映设备精度的方差2
(2)=4.今有一今有一产品产品X0,测得耐磨度测得耐磨度x0=78,试判断该产品是哪一台试判断该产品是哪一台设备生产的设备生产的?
直观地看,直观地看,x0与与1(设备设备A)的绝对距离近些,按距的绝对距离近些,按距离最近的原则是否应把该产品离最近的原则是否应把该产品X0判断为设备判断为设备A生产生产的的?
北大北大数学学院数学学院应用多元统计分析讲义第五章应用多元统计分析讲义第五章8第五章第五章5.1距离判别法距离判别法马氏距离马氏距离考虑一种相对于分散性的距离考虑一种相对于分散性的距离.记记X0与与G1,G2的相对平方距离为的相对平方距离为d21(x0)或或d22(x0),则:
则:
d21(x0)=16=42d22(x0)=2.25=1.52因为因为d2(x0)=1.54=d1(x0),按这种距离准则应判按这种距离准则应判X0为设备为设备B生产的生产的.(x0-1)22
(1)(78-80)20.25(x0-2)22
(2)(78-75)24北大北大数学学院数学学院应用多元统计分析讲义第五章应用多元统计分析讲义第五章9第五章第五章5.1距离判别法距离判别法马氏距离马氏距离设备设备B生产的产品质量较分散,出现生产的产品质量较分散,出现x0为为78的可能性仍较大;的可能性仍较大;而设备而设备A生产的产品质量较集中,出生产的产品质量较集中,出现现x0为为78的可能性较小的可能性较小.判判X0为设备为设备B的产品更合理的产品更合理.这种相对于分散性的距离就是本节介这种相对于分散性的距离就是本节介绍的马氏距离绍的马氏距离.北大北大数学学院数学学院应用多元统计分析讲义第五章应用多元统计分析讲义第五章10第五章第五章5.1距离判别法距离判别法马氏距离马氏距离一般地一般地,我们假设我们假设G1的分布为的分布为N
(1),21),G2的分布为的分布为N
(2),22),则利用相对距离的定义则利用相对距离的定义,可以找出分界点可以找出分界点*(不不妨设妨设
(2)
(1),当当
(2)x
(1)时时,令令而按这种距离最近的判别准则为:
而按这种距离最近的判别准则为:
北大北大数学学院数学学院应用多元统计分析讲义第五章应用多元统计分析讲义第五章11第五章第五章5.1距离判别法距离判别法利用马氏距离对两个一维正态总体判别归类示意图利用马氏距离对两个一维正态总体判别归类示意图利用马氏距离对两个一维正态总体判别归类利用马氏距离对两个一维正态总体判别归类令令:
(*=79为到两总体相为到两总体相对距离相等的分界点对距离相等的分界点)x0=78*=79判判x0G2.北大北大数学学院数学学院应用多元统计分析讲义第五章应用多元统计分析讲义第五章12第五章第五章5.1距离判别法距离判别法马氏距离马氏距离定义定义5.1.1(5.1.1(马氏距离马氏距离)设总体设总体G为为m维总体维总体(考察考察m个指标个指标),均值向量为,均值向量为=(=(11,22,m),协方差阵为协方差阵为=(=(ij),则样品则样品X=(=(x1,x2,xm)与总体与总体G的马氏距离定义为的马氏距离定义为北大北大数学学院数学学院应用多元统计分析讲义第五章应用多元统计分析讲义第五章13第五章第五章5.1距离判别法距离判别法多总体样本特征量多总体样本特征量设有设有k个总体个总体Gi(i=1,k),已知来自已知来自Gi(i=1,.,k)的训练样本为的训练样本为:
其中其中ni是取自是取自Gi的样品个数的样品个数,则均值向量则均值向量i的估的估计量为计量为北大北大数学学院数学学院应用多元统计分析讲义第五章应用多元统计分析讲义第五章14第五章第五章5.1距离判别法距离判别法多总体样本特征量多总体样本特征量总体总体Gi的协方差阵的协方差阵i的估计的估计Si为为并称并称St为组内协差阵为组内协差阵.称为组内离差阵称为组内离差阵,北大北大数学学院数学学院应用多元统计分析讲义第五章应用多元统计分析讲义第五章15第五章第五章5.1距离判别法距离判别法多总体样本特征量多总体样本特征量当假定当假定11=k=时时,反映分散性的协方反映分散性的协方差阵差阵的估计的估计S为为并称并称S为合并样本协差阵为合并样本协差阵;问题是对任给定的问题是对任给定的m维样品维样品X=(x1,x2,xm),要判断它来自哪个总体要判断它来自哪个总体.其中其中北大北大数学学院数学学院应用多元统计分析讲义第五章应用多元统计分析讲义第五章16第五章第五章5.1距离判别法距离判别法两总体判别两总体判别:
1=2时的判别方法时的判别方法最直观的想法是分别计算样品最直观的想法是分别计算样品X到两个总体的距到两个总体的距离离d21(X)和和d22(X)(或记为或记为d2(X,G1)和和d2(X,G2),并按距离最近准则判别归类并按距离最近准则判别归类,即判别准则为:
即判别准则为:
判判XG1,当当d2(X,G1)d2(X,G2)时时,待判待判,当当d2(X,G1)=d2(X,G2)时时.这里的距离指马氏距离这里的距离指马氏距离.利用马氏距离的利用马氏距离的定义及两总体协差阵相等的假设,可以简化定义及两总体协差阵相等的假设,可以简化马氏距离的计算公式马氏距离的计算公式.北大北大数学学院数学学院应用多元统计分析讲义第五章应用多元统计分析讲义第五章17第五章第五章5.1距离判别法距离判别法两总体判别两总体判别:
1=2时的判别方法时的判别方法对给定样品对给定样品X,为比较为比较XX到各总体的马氏距离,到各总体的马氏距离,只须计算只须计算Yi(X):
北大北大数学学院数学学院应用多元统计分析讲义第五章应用多元统计分析讲义第五章18第五章第五章5.1距离判别法距离判别法两总体判别两总体判别:
1=2时的判别方法时的判别方法Ci因为函数因为函数Yi(X)是是X的线性函数的线性函数(i=1,2),=1,2),故故北大北大数学学院数学学院应用多元统计分析讲义第五章应用多元统计分析讲义第五章19第五章第五章5.1距离判别法距离判别法两总体判别两总体判别:
1=2时的判别方法时的判别方法若考察这两个马氏距离之差若考察这两个马氏距离之差,经计算可得经计算可得:
北大北大数学学院数学学院应用多元统计分析讲义第五章应用多元统计分析讲义第五章20第五章第五章5.1距离判别法距离判别法两总体判别两总体判别:
1=2时的判别方法时的判别方法即即北大北大数学学院数学学院应用多元统计分析讲义第五章应用多元统计分析讲义第五章21第五章第五章5.1距离判别法距离判别法两总体判别两总体判别:
1=2时的判别方法时的判别方法则判别准则还可以写为:
则判别准则还可以写为:
判判XG1,当当W(X)0时时,判判XG2,当当W(X)0时时待判待判,当当W(X)=0时时.W(X)是是X的线性函数的线性函数,即即W(X)=a(X-X*)=Y1(X)-Y2(X),其中其中a=S-1(X
(1)-X
(2),W(X)也称为线性判别函数也称为线性判别函数,a为判别系数为判别系数.北大北大数学学院数学学院应用多元统计分析讲义第五章应用多元统计分析讲义第五章22第五章第五章5.1距离判别法距离判别法两总体判别两总体判别:
1=2时的判别方法时的判别方法W(X)把把m维空间维空间Rm划分为叁部分划分为叁部分:
D1=X:
W(X)0,D2=X:
W(X)0,D0=X:
W(X)=0.则则D1,D2,D0是是Rm的一个划分的一个划分.显然显然,判别方法的最终结果是得到判别方法的最终结果是得到Rm中的一中的一个划分个划分.由判别函数由判别函数W(X)得到划分得到划分D1,D2,D0当样品当样品X落入落入D1时判时判XG1,当样品当样品X落入落入D2时时,判判XG2,当样品当样品X落入落入D0时时,待判待判.北大北大数学学院数学学院应用多元统计分析讲义第五章应用多元统计分析讲义第五章23第五章第五章5.1距离判别法距离判别法两总体判别两总体判别:
1=2时的判别方法时的判别方法例如例如m=2时时,直线直线W(X)=0把平面分为两个区域把平面分为两个区域D1,和和D2.W(X)=0D1=X=(x1,x2):
W(X)0D2=X=(x1,x2):
W(X)22,则则a为正数为正数,W(x)的符号取决于的符号取决于x或或x.北大北大数学学院数学学院应用多元统计分析讲义第五章应用多元统计分析讲义第五章25第五章第五章5.1距离判别法距离判别法两总体判别两总体判别:
1=2时的判别方法时的判别方法(m=1时的时的错判率错判率)用这种判别法会发生错判用这种判别法会发生错判,如如XX来自来自G11,但却落入但却落入D22,被判为属被判为属G22.错判的概率为下图中阴影左半部分错判的概率为下图中阴影左半部分的面积的面积,并记为并记为P(2P(2|1).1).类似有类似有P(1P(1|2).2).分界点分界点=77.5北大北大数学学院数学学院应用多元统计分析讲义第五章应用多元统计分析讲义第五章26第五章第五章5.1距离判别法距离判别法两总体判别两总体判别:
1=2时的判别方法时的判别方法(m=1时的时的错判率错判率)上例中上例中,当当1=80,2=75,=2时时分界点分界点=(80+75)/2=77.5,故错判概率为故错判概率为P(2|1)=PX77.5|XG1(XN(80,4)N(80,4)=P(X-80)/2(77.5-80)/2=PU77.5|XG2(XN(75,4)N(75,4)=P(X-75)/2(77.5-75)/2=PU1.25(UU=(=(XX-75)/2N(0,1)-75)/2N(0,1)=1-(1.25)=0.1056=P(2|1)北大北大数学学院数学学院应用多元统计分析讲义第五章应用多元统计分析讲义第五章27第五章第五章5.1距离判别法距离判别法两总体判别两总体判别:
1=2时的判别方法时的判别方法(m=1时的时的错判率错判率)一般地一般地,经计算可得经计算可得:
由错判概率的公式及上图可见由错判概率的公式及上图可见,当两总体均当两总体均值靠得很近值靠得很近(即即|11-22|很小很小)时时,则错判概率则错判概率很大很大,这时作判别分析是没有意义的这时作判别分析是没有意义的.因此只有因此只有当两总体的均值有显著性差异时当两总体的均值有显著性差异时,作判别分析作判别分析才有意义才有意义.北大北大数学学院数学学院应用多元统计分析讲义第五章应用多元统计分析讲义第五章28第五章第五章5.1距离判别法距离判别法两总体判别两总体判别:
简例简例11简例简例11:
记二维正态总体记二维正态总体N2(i),)为为Gi(i=1,2)(两总体两总体协差阵相同协差阵相同),已知来自已知来自Gi(i=1,2)的样本数据阵为的样本数据阵为
(1)试求两总体的样本组内离差阵试求两总体的样本组内离差阵A1,A2和合并和合并样本协差阵样本协差阵S.
(2)今有样品今有样品x0=(2,8),试问按马氏距离准则样试问按马氏距离准则样品品x0应判归哪一类应判归哪一类.北大北大数学学院数学学院应用多元统计分析讲义第五章应用多元统计分析讲义第五章29第五章第五章5.1距离判别法距离判别法两总体判别两总体判别:
简例简例11
(1)
(1)解解:
北大北大数学学院数学学院应用多元统计分析讲义第五章应用多元统计分析讲义第五章30第五章第五章5.1距离判别法距离判别法两总体判别两总体判别:
简例简例11而且而且北大北大数学学院数学学院应用多元统计分析讲义第五章应用多元统计分析讲义第五章31第五章第五章5.1距离判别法距离判别法两总体判别两总体判别:
简例简例11
(2)
(2)解一解一:
计算马氏距离计算马氏距离北大北大数学学院数学学院应用多元统计分析讲义第五章应用多元统计分析讲义第五章32第五章第五章5.1距离判别法距离判别法两总体判别两总体判别:
简例简例11
(2)
(2)解二解二:
计算线性判别函数计算线性判别函数Yi(X)()(i=1,2)=1,2)北大北大数学学院数学学院应用多元统计分析讲义第五章应用多元统计分析讲义第五章33第五章第五章5.1距离判别法距离判别法两总体判别两总体判别:
简例简例11北大北大数学学院数学学院应用多元统计分析讲义第五章应用多元统计分析讲义第五章34第五章第五章5.1距离判别法距离判别法两总体判别两总体判别:
简例简例11
(2)
(2)解三解三:
计算线性判别函数计算线性判别函数W(X)北大北大数学学院数学学院应用多元统计分析讲义第五章应用多元统计分析讲义第五章35第五章第五章5.1距离判别法距离判别法两总体判别两总体判别:
12时的判别方法时的判别方法当两总体协差阵不等时,按距离判别准则先分别计当两总体协差阵不等时,按距离判别准则先分别计算算X到两个总体的距离到两个总体的距离d2(X,G1)和和d2(X,G2),然后按距然后按距离最近准则判别归类离最近准则判别归类.或者类似地计算判别函数或者类似地计算判别函数W(X),并用于判别归类并用于判别归类.令令W(X)=d2(X,G2)-d2(X,G1)=Z(X)-Z0,其中其中Z(X)为为X的二次函数的二次函数(因因12),Z0是一常数是一常数(具体表达式省略了具体表达式省略了).判别准则仍可以写为:
判别准则仍可以写为:
判判XG1,当当W(X)0时时,或者或者判判XG2,当当W(X)0时时,待判待判,当当W(X)=0时时.判判XG2,当当W(X)0时时.北大北大数学学院数学学院应用多元统计分析讲义第五章应用多元统计分析讲义第五章36第五章第五章5.1距离判别法距离判别法两总体判别两总体判别:
12时的判别方法时的判别方法当当m=1,两总体为正态总体时,记两总体为正态总体时,记Gi的均值为的均值为i,方差为方差为2i(i=1,2),这时马氏距离的平方根为这时马氏距离的平方根为北大北大数学学院数学学院应用多元统计分析讲义第五章应用多元统计分析讲义第五章37第五章第五章5.1距离判别法距离判别法两总体判别两总体判别:
12时的判别方法时的判别方法分界点分界点*把区间把区间(2,1)分为两部分分为两部分:
D1=1x*和和D2=2x*时时,判判XG2,当当1x*时时,北大北大数学学院数学学院应用多元统计分析讲义第五章应用多元统计分析讲义第五章38第五章第五章5.1距离判别法距离判别法应用例子应用例子例例5.1.15.1.1(盐泉含钾性判别盐泉含钾性判别)某地区经某地区经勘探证明勘探证明AA盆地是一个钾盐矿区盆地是一个钾盐矿区,BB盆地是盆地是一个钠盐矿区一个钠盐矿区,其他盐盆地是否含钾盐有其他盐盆地是否含钾盐有待作出判断待作出判断.今从今从A,BA,B两盆地各抽取两盆地各抽取55个盐个盐泉样品泉样品;从其他盆地抽得从其他盆地抽得88个盐泉样品个盐泉样品,18,18个盐泉的特征数值见表个盐泉的特征数值见表5.1.5.1.试对后试对后88个待个待判盐泉进行含钾性判别判盐泉进行含钾性判别.北大北大数学学院数学学院应用多元统计分析讲义第五章应用多元统计分析讲义第五章39第五章第五章5.1距离判别法距离判别法应用例子应用例子北大北大数学学院数学学院应用多元统计分析讲义第五章应用多元统计分析讲义第五章40第五章第五章5.1距离判别法距离判别法应用例子应用例子解一解一AA盆地和盆地和BB盆地看作两个不同的总盆地看作两个不同的总体,并假定两总体协差阵相等体,并假定两总体协差阵相等.本例中变量本例中变量个数个数m=4,=4,两类总体各有两类总体各有55个训练样品个训练样品(n11=n22=5),=5),另有另有88个待判样品个待判样品.用用SAS/STATSAS/STAT软件中的软件中的DISCRIMDISCRIM过程进行过程进行判别归类判别归类.
(1)
(1)首先首先用用DATA步生成步生成SAS数据集数据集D511.SASSAS程序如下:
程序如下:
北大北大数学学院数学学院应用多元统计分析讲义第五章应用多元统计分析讲义第五章41第五章第五章5.1距离判别法距离判别法应用例子的应用例子的sassas程序程序datad511;inputx1-x4group$;x1-x4group$;cards;13.852.797.8049.60A13.852.797.8049.60A2.181.061.2220.60B2.181.061.2220.60B8.853.385.1726.10.8.853.385.1726.10.15.002.705.0264.00.15.002.705.0264.00.;procprint;run;北大北大数学学院数学学院应用多元统计分析讲义第五章应用多元统计分析讲义第五章42第五章第五章5.1距离判别法距离判别法应用例子的应用例子的sassas程序程序
(2)
(2)调用调用DISCRIMDISCRIM过程对含钾和不含钾的过程对含钾和不含钾的AA、BB两两类盆地的类盆地的1010个样品特征测量值用距离判别的方法,个样品特征测量值用距离判别的方法,建立线性判别函数,并对已知类别的样品和待判建立线性判别函数,并对已知类别的样品和待判样品进行判别归类样品进行判别归类.procdiscrimdata=d511simlpepcovwsscppsscpdistancelist;classgroup;varx1-x4;run;北大北大数学学院数学学院应用多元统计分析讲义第五章应用多元统计分析讲义第五章44第五章第五章5.1距离判别法距离判别法应用例子的结果分析应用例子的结果分析选项选项WSSCP产生的结果产生的结果两总体的样本离差阵两总体的样本离差阵A1和和A2北大北大数学学院数学学院应用多元统计分析讲义第五章应用多元统计分析讲义第五章45第五章第五章5.1距离判别法距离判别法应用例子的结果分析应用例子的结果分析选项选项PSSCP产生的结果产生的结果选项选项PCOV产生的结果产生的结果合并的样本组内离差阵合并的样本组内离差阵A=A1+A2合并样本协差阵合并样本协差阵S=A/(n1+n2-2)北大北大数学学院数学学院应用多元统计分析讲义第五章应用多元统计分析讲义第五章46第五章第五章5.1距离判别法距离判别法应用例子的结果分析应用例子的结果分析组间组间马氏距离马氏距离dd22(1,2)=37.03(1,2)=37.03检验检验H0:
(1)=
(2)的的F统计量统计量F=14.46p=0.0059北大北大数学学院数学学院应用多元统计分析讲义第五章应用多元统计分析讲义第五章47第五章
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 北大 应用 多元 统计分析 第五 Bayes 贝叶斯 判别 广义 平方 距离