误差理论与数据处理习题册(附答案详解).pdf
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第一章绪论例题例1在万能测长仪上,测量某一被测件的长度为50mm,已知其最大绝对误差为lflm,试问该被测件的真实长度为多少?
解:
L-50mm8-0.001mm故Lo-L+8-50.0000.00mm例2用两种方法测量长度为50的被测件,分别测得50.005;50.003/nmo试评定两种方法测量精度的高低。
解:
因对相同的被测量,可用绝对误差的大小来评定其两种测量方法之精度高低。
绝对误差小者,其测量精度高。
第一种方法的绝对误差为:
伪=(50.005-50.000)?
=0.005加加第二种方法的绝对误差为:
伪=(50.003-50.000)利=0.003加加V42=-3,L3=13,u4=-33,o5=一37,必=一23,。
7=-17仁忘%两个测回的权比Pp2)-2,219.250,=巧-双数据见上表)(3)求标准差(4)判断有无粗大误差1)按罗曼诺夫斯基准则,首先怀疑第9各测得值含有粗大误差,将其剔除,根据剩下的9个测得值计算算术平均值及标准差,得耳=10.0005mmcr9=0.12/jm选取显著度a=0.05,已知n=10查表得女(10,0.05)=2.43贝ijk%=2.43x0.00012=0.00029因|x9-x|=|10.001-10.0005|=0.00050.00029故第9个测得值含有粗大误差,应予剔除。
剩下9个测得值,再重上述步骤,由判别可知不再含有粗大误差。
2)按格罗布斯准则,按测得值的大小,顺序排列得x()=l0.0003,x
(2)=10.0004,)=10.0007,x(10)=10.001今有两测得值牛),%0)可怀疑,但由于亍X=10.00055-10.0003=0.00025x(10)-x=l0.001-10.00055=0.00045故应先怀疑“。
)是否含有粗大误差(一三_10.00110.00055_刎一a-0.0002-查表得%(10,0.05)=2.18则%=2.25%(10,0.05)=2.18故表中第9个测得值含有粗大误差,应予剔除。
剩下9个测得值,再重复上述步骤,判别x是否含有粗大误差。
r=10.0005a=0.1210.0005-10.00030.00012“67查表得%(9,0.05)=2.11%)=1.67/0(10,0.05)=0.477不含有粗大误差,而各外)皆小于2.11,故可认为其余测得值也不含有粗大误差。
3)按狄克松准则,将测得值从小到大顺序排列得x()=10.0003,彳=10.0004,为)=10.0007,升=10.001首先判别最大值xo),因n=10,故计算统计量x(“)x(,i)10.001-10.0007=!
-=-=0.511%)%10.001-10.0004查表得/0(10,0.05)=0.477则yu=0.5/0(10,0.05)=0.477故表中第9个测得值含有粗大误差,应予剔除。
再判别最小值X(D,计算统计量/.=-X-(-l)-x-(-2)-=-1-0-.-0-0-0-3-1-0-.-0-0-0-4-=0.25士玉.10.0003-10.0007则=0.25V%(10,0.05)=0.477故表中第5个测得值不含有粗大误差。
剔除测得值10.001后,再检查其余测得值,此时n=9,检查结果不含有粗大误差。
根据以上三个粗大误差判断准则,均判断第9个测得值含有粗大误差,故应将第9个测得值予以剔除。
(5)分析有无不变系统误差发现和消除不变系统误差的基本措施可用实验对比法,若不能从误差源上及在测量过程中消除不变系统误差,应确定修正值,对算术平均值进行修正。
本例除所用的10mm四等量块有一修正值-0.1加外,别无其他显著的不变系统误差。
(6)检查有无变化的系统误差用残余误差校核法进行检查ko+0.2+(-0.1)+0+(-0.2)=-o.1Z%=+0.1+0+0.1+(-0.1)=+0.1i=k+kn=、+4=-0.1+0.1=0/=1i=k+因为代数和值为零,故测量列中无变化系统误差。
(7)计算算术平均值的极限误差加地er/I0.12,、八)a-=尸pim=().04?
yjnV9因n较少,按t分布确定4m2,取显著度=0.0027,自由度/=n-l=9T=8,查t分布表得:
ta=4.28则4m2=土a/=4.28X0.04/77=0.17/T7(8)确定此测量方法总的极限误差加除了算术平均值的极限误差加皿2和4等基准量块的检定的极限误差不川外,作为随机量的温度误差,在有限次重复测量的短时间内不能充分反映在测量结果里,故计算时要另作考虑。
但由于被检量块与基准量块材料基本相同,其线膨胀系数相差甚微,同时被检量块基本尺寸较小,故其温度误差的影响可与忽略不计。
则总的极限误差不m为4m=)鼠+鼠2=VO.22+O.172工0.34加(9)最后测量结果元+4沁=1()。
5加加+(-0.00()mm().()()()3加加=10.()0040.0003mm习题2-1试述服从正态分布的随机误差的特性。
2-2试述标准差b、平均误差。
和或然误差的几何意义。
2-3什么叫真误差?
什么叫残余误差?
2-4什么叫母体均值?
什么叫子样均值?
2-5什么叫方差?
为什么算术平均值也有标准差?
2-6什么叫不等精度测量?
如何处理其测量结果?
2-7设误差服从正态分布,那么误差落在-2。
,+2。
中的概率如何?
若服从均匀分布,则概率又如何?
2-8试分别求出服从正态分布、反正弦分布、均匀分布误差落在-后。
,+/r中的概率。
2-9测量某物体重量共8次,测得数据(单位g)为236.45,236.37,236.51,236.34,236.39,236.48,236.47,236.40,试求算术平均值及其标准差?
2-10用别捷尔斯法,极差法和最大误差法计算习题2-9的标准差,并比较之。
2-11测量某电路电流共5次,测得数据(单位mA)为168.41,168.54,168.59,168.40,168.50。
试求算术平均值及其标准差、或然误差和平均误差?
2-12测定雨滴中带有电荷的概率分布密度函数为(式中x表示雨滴数)八%)=|产试求其标准差?
2-13试证明公式并论述它的实际意义及其应用。
yjn2-14在立式测长仪上测量某校对量具,重复测量5次,测得数据(单位mm)为20.0015,20.0016,20.0018,20.0015,20.0011。
试以99%的置信概率确定测量结果。
2-15对某工件进行5次测量,在排除系统误差的条件下,求得标准差b=0.005mm,若要求测量结果的置信概率为95%,试求其置信限?
2-16用某仪器测量工件尺寸,在排除系统误差的条件下,其标准差。
=0.004mm,若要求测量结果的置信限不大于0.005mm,当置信概率为99%时,试求必要的测量次数?
2-17用某仪器测量工件尺寸,已知该仪器的标准差b=0.001mm,若要求测量的允许极限误差不超过0.0015mm,而置信概率夕为0.95时,应测量多少次?
2-18若某量具的系统误差已排除,其测量的标准差为5加,而被测轴径的公差为15?
,试问应用该种量具进行测量是否合适,是否可采取其它技术措施?
并写出相应的测量结果。
2-19已知某仪器测量的标准差为0.5机。
若在该仪器匕对某一轴径测量一次,测得值为26.2025mm,试写出测量结果。
若重复测量10次,测得值(单位mm)为26.2025,26.2028,26.2028,26.2025,26.2026,26.2022,26.2023,26.2025,26.2026,26.2022,试写出测量结果。
若手头无改仪器测量的标准差值得资料,试由问中10次重复测量的测量值,写出上述、问的测量结果。
2-20测定澳的原子量共10次,测定结果如下:
79.2863,79.3055,79.3064,79,3197,79.3114,79.3150,79.3063,79.3141,79.2915,79.3108,试求测量结果及其平均误差。
2-21测定水的气化热共20次,测定结果(单位J)为542.98,542.91,542.03,542.68,542.32,543.08,541.23,542.12,540.64,541.82,541.48,540.96,542.37,541.66,542.15,541.73,541.36,541.79,541.34,541.84试求最可信赖值、平均误差和或然误差,并写出测定结果。
2-22应用基本尺寸为30mm的3等量块,检定立式测长仪的示值稳定性。
在一次调整卜作了9次重复测量,测得数据(单位mm)为30.0011,30.0008,30.0006,30.0008,30.0013,30.0008,30.0006,30.0004,30.0008若测量值服从正态分布,试确定该仪器的示值稳定性。
2-23某时某地由气压表得到的读数(单位Pa)为102523.85,102391.30,102257.97,102124.65,101991.33,101858.01,101724.69,101591.36,其权各为1,3,5,7,8,6,4,2,试求加权算术平均值及其标准差?
2-24测量某角度共两次,测得值为4=241336,a2=241324,其标准差分别为力=3.1,%=13.8,试求加权算术平均值及其标准差?
2-25在三台测角仪器上测量某角度时,若已知它们的标准差分别为%=0.04,巴=0.06,q=0-03,试确定三分仪器上所得测量值相应的权。
2-26用同一台仪器对同一距离进行两组测量,测得距离分别为227.80.1m和228.30.1m,两者总平均值为228.050.14m,试求此测量结果与两组测得值的权之比。
2-27甲、乙两测试者用正弦尺对一锥体的锥角a各重复测量5次,测得值如下:
a中:
7220,730,7235,7220,7215a乙:
7225,V225,70220,7250,7245试求其测量结果。
2-28对某被测量x进行间接测量得2x=43.24,3x=64.80,其权分别为9,4,试求x的测量结果及其标准差?
2-29对某被测量z进行间接测量得2z=1.44,3z=2.18,4z=2.90,其权分别为5,1,1,试求Z的测量结果及其标准差?
2-30试证明n个相等精度测得值的平均值的权为n乘以任一个测得值的权。
2-31重力加速度的20次测量具有平均值为9.811用/S2,标准差为0.014”./。
另外30次测量具有平均值为9.802w/?
标准差为0.022加/$2。
假设这两组测量属于同一正态总体。
试求此50次测量的平均值和标准差。
2-32200人的平均身高为1.7050.006m,而另一组300人的平均身高为1.7520.005mo试求这500人的平均身高及其标准差?
2-33某量的10个测得值的平均值为9.52,标准差为0.08;同一量的20个测得值的平均值为9.49,标准差为0.05。
当权为正比于测得值个数及反比于标准差的平方时,试求30个测得值的平均值及其标准差?
2-34测定某玻璃棱镜的折射系数,测得数据为1.53,1.57,1.54,1.54,1.50,1.51,1.55,1.54,1.56,1.53。
若测得数据的权为等权的及权为1,2,3,3,1,1,3,3,2,1时:
试求算术平均值及其标准差。
2-35对某量进行某次测量,测得数据为某量,15.0,15.2,14.8,15.5,14.6,14.9,14.8,15.1,15.0,试判断该测量列中是否存在系统误差?
2-36对一线圈电感测量10次,前4次是和一个标准线圈比较得到的,后6次是和另一个标准线圈比较得到的,测得结果如下(单位mH):
50.82,50,83,50.87,50.89;50.78,50.78,50.75,50.85,50.82,50.81。
试判断前4次与后6次测量是否存在系统误差?
2-37等精度测量某一电压10次,测得结果(单位V)为25.94,25.97,25.98,26.03,26.04,26.02,26.04,25.98,25.96,26.07。
测量完毕后,发现测量装置有接触松动现象,为判断是否因接触不良而引入系统误差,将接触改善后,又重新做了10次等精度测量,测得结果(单位V)为25.93,25.94,26.02,25.98,26.01,25.90,25.93,26.04,25.94,26.02o试用t检验法(a=0.05)判断两组测量值之间是否有系统误差?
2-38对某量进行12次测量,测得数据为20.06,20.07,20.06,20.08,20.10,20.12,20.11,20.14,20.18,20.18,20.21,20.19,试用两种方法判断该测量列中是否存在系统误差?
2-39对某量进行两组测量,测得数据如下:
X,.:
14.615.115.414.715.214.8yi:
14.714.815.014.915.315.2试用各种方法判断两种间有无系统误差?
2-40某量进行两组测量,测得数据如下X,.0.620.861.131.131.161.181.201.211.221.261.301.341.391.411.57yi0.991.121.211.251.311.311.381.411.481.501.591.601.601.841.95试用秩和检验法判断两组测量值之间是否有系统误差?
2-41为检定某杠杆千分表的示值误差,采用实验统计法,对20111m的量块作20次重复测量,测得数据如下(单位mm):
20,002,20.001,20,000,20.001,20.000,19.998,19.998,20,001,19.998,19.999,20.002,20.000,20.000,20.003,20.000,20.002,19.994,19.998,20.002,19.998o试判断并剔除粗大误差及确定千分尺示值误差。
2-42对某量进行15次测量测得数据为28.53,28.52,28.50,28.52,28.53,28.53,28.50,28.49,28.49,28.51,28.53,28.52,28.49,28.40,28.50,若这些测得值已经消除系统误差,试用莱以特准则、格罗布斯准则和狄克松准则分别判别该测量列中是否含有粗大误差的测量值?
2-43对某一个电阻进行200次测量,测得结果列表如下:
测得电阻(R/Q)12201219121812171216121512141213121212111210该电阻值出现次数1382143544019911绘出测量结果的统计直方图,由次可得到什么结论?
求测量结果并写出表达式。
写出测量误差概率分布密度函数式。
2-44在立式测长仪上,对某尺寸L作100次重复测量,测得其对基准尺寸的偏差Mi,经整理后如下表所列:
ALz/um-1.5-1-0.50+0.5+1+1.5+2+2.5n/次128144915911试写出测量结果试确定对基准尺寸的偏差值在0.7511nl范围内的概率。
2-45用三种方法测量某一锥体角度a,测得数据分别为%=4355122=5a2=435502%=10%=435508%=6试求出测量结果及标准差,并写出最终结果表达式。
2-46在卧式光学比较仪上,用4等量块检定100mm的千分尺校对杆,共测10次。
4等量块中心长度的实际偏差为+0.2um,检定的极限误差4加=0.6um。
测量时恒温条件为t=203o测量结果(单位mm)为100.0036,100.0031,100.0038,100.0040,100.0034,1000.0026,100.0035,100.0041,100.0037,100.0032。
试求次测量方法的极限误差,并写出最后结果。
第三章误差的合成与分配例题例1相对测量时需要用54.255mm的量块组成标准件,量块组由四量块研合而成,它们的基本尺寸如下:
4=40mm4=12mm。
3=1.25mm6=1.005mm经测量,它们的尺寸偏差及其测量极限误差分别为AQ=-0.7pm%加=-35即A2=+0.5pm%/2=025即Q,3=0.3|im茹心=20即?
4=+Nm诟献4=-20即试求量块组按基本尺寸使用时的修正值及给出相对测量带来的测量误差?
解:
量块组尺寸的系统误差为Q,=(4(2+)+(2+Ay?
2)+(4+八七)十+(+)=+0.4pm故量块组按基本尺寸使用时的修正值为0.4囚11。
加/=+,2j加2+,1而/3+1加”4=V0.352+0.252+0.202+0.202gm=0.51|im故量块组给相对测量带来的测量误差不会超过0.51pm。
例2望远镜的放大率D=/力,已测得物镜主焦距力巧=(19.80.2)cm,目镜的主焦距f2耍(0.8000.005)cm,求放大率的标准差?
解:
由误差传递公式a)222-z5D5DD=(7)%+(京)%+2(右)(右胡然期第因工、力的测量值的随机误差是相互独立的,所以相关系数肥=0修线=(-)2a,2+f2=()2(0.2)2cm2+()2(0.005)2cm2=0.086cm27D=0.294cm198Df./f,=24.750.8测量结果为D0=D+(TD=24.750.29例3应用交流电桥同时测量线路电容R和电容C,由下式计算阻抗Z,若重复测量15次,可得如下所列数据。
频率/=1。
6%,试求阻抗Z。
11解:
电阻的算术平均值:
R=ZR,.=x31963.0Q=2130.87。
15电阻偏差:
&=4-/?
电容算术平均值:
1H1C=G=X10284.4pFn15=685.63所=685.63x1Of/电容偏差:
AC,=C,-C电阻测量的标准差:
R/QcjpFA7?
./QAC,./pFA7?
2/Q2AC,2/pF2RRCJs12129.6689.0-1.27+3.371.6111.36-4.2822130.9687.0+0.03+1.3701.88+0.0432131.8687.0+0.93+1.370.861.88+1.2742128.2687.0-2.76+2.377.134.71-5.7952133.0683.0+2.13-2.634.546.92-5.6062131.1684.0+0.23-1.630.052.66-0.3772132.7686.4+1.83+0.773.350.59+1.4182127.5687.3-3.37+1.6711.362.79-5.6392130.8686.3-0.07+0.6700.45-0.05102129.7685.6-1.17-0.031.370+0.04112130.0683.6-0.87-2.030.764.12+1.77122131.5684.6+0.63-1.030.401.06-0.65132131.8682.3+0.93-3.330.8611.09-3.10142131.9685.9+1.03+0.271.060.07+0.28152132.5684.6+1.63-1.032.661.06-1.68z31963.010284.4-36.0150.64-22.34阻抗算术平均值:
(2130.87)2+(106x685.63xlO-12)2。
1V4540607+2127259QJ6667866Q2582.22Q传递系数:
KR%J二出二0825dR22582.22人=竺=-一二aczfC12582.22x(1()6了*(685.63x10-12)3相关系数:
,工(用一工2。
一02ZMAC,.22.34一场AR:
AC:
一,36.0lx50.64a0.52阻抗测量的标准差:
=A/KR%+KC(7C+2KRKCPRCOROC=7(0.825)2X(1.6)2+(-1.20X10I2)2(1.9X10-,2)2+2X0,825X(-1.20X1012)X(-0.52)X1.6X(1.9X10-12)Q=J1.74+5.20+3.13Q=J10.07Q3.2。
若已知阻抗Z的误差接近于正态分布,且置信系数取t=3时,则Alimz=t(rz=3x3.2。
=9.6QAlim=隼=、=2.5。
zJnV15则测量结果:
Z0=ZAlim=(2582.22.5)。
z例4分析用正弦间接测量锥度量规的锥角a的误差,并对测量结果进行处理(见图37)。
已知:
被测件为M3莫氏锥度量规,其锥角的公称值为d=25232;正弦尺两圆柱中心距L=100+(-0.005)0.002mm;量块为5等;千分尺的刻度值为1um,示值稳定性为0.5um;平板为1级。
1,平板2千分表3一被测锥度量规4正弦尺5量块组图3-1解:
列出间接测量的函数式HsinPo=7被测锥角对标准角度外的偏差(?
与给定距离/及圆锥母线在该长度上两点高度差=a-8之间的关系为A(p=-=2.06xl05y(,z)而被测圆锥角即为(P=(p0+A(p列出有关尺寸的直接测量或检定结果正弦的尺两圆柱中心距L=l00+(-0.005)0.002mm99.9950.002mm量
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