第二章Z变换例题.ppt
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第二章Z变换例题.ppt
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第二章Z变换例题重要概念:
连续系统:
傅里叶变换拉普拉斯变换离散系统:
傅里叶变换Z变换重点:
Z变换收敛域,零极点的概念,Z变换的基本性质和定理,单位取样响应h(n)的Z变换-系统函数与系统稳定性之间的关系。
例1求以下序列的Z变换,并求出对应的零极点和收敛域:
(1)
(2)(3)(4)分析:
中,n的取值范围是的有值范围,z变换的收敛域是满足的z值范围。
解:
(1)由z变换的定义可知:
收敛域为即极点为零点为
(2)由z变换的定义可知:
收敛域为:
极点为零点为:
(3)由z变换的定义可知:
收敛域为极点为零点为(4)由z变换的定义可知:
与的收敛域相同,所以的收敛域是极点零点例2假如的z变换表示式为下式,问可能有多少不同的收敛域,它们分别对应什么序列?
分析:
有限长序列的收敛域为特殊情况:
右边序列的收敛域为Rx-|z|因果序列Rx-|z|;左边序列的收敛域为特例双边序列的收敛域为有三种收敛域:
圆内,圆外,环状。
(需单独讨论。
)解:
对X(z)的分子和分母因式分解,得从上式得出,X(z)的零点为1/2,极点为j/2,-j/2,-3/4。
所以X(z)的收敛域为:
(1)为双边序列。
(2)为左边序列。
(3)为左边序列。
例3用长除法,留数定理法,部分分式法求下列X(z)的z反变换。
分析:
(1)长除法:
对右边序列,分子分母都按z的降幂排列。
对左边序列分子分母都按z的升幂排列。
(2)部分分式法:
若X(z)用z的正幂表示,则按X(z)/z写成部分分式,然后求各极点的留数,最后利用已知变换关系求z反变换可得x(n)。
(3)留数定理法:
要化成的形式与抵消。
围线内极点留数时不取“”,围线外极点留数时要取“”,解:
()长除法可知极点z=1/2,而收敛域为,故x(n)为因果序列,所以分子分母按降幂排列。
即所以:
(b)留数定理法:
设为内的逆时针方向闭合曲线。
当时在内有1/2一个单极点,则又因为x(n)是因果序列,故n0时x(n)=0,问相应的定理是什么?
讨论一个序列x(n),其Z变换为X(z)的收敛域包括单位圆,试求其x(0)值。
分析:
求如何由双边序列z变换X(z)求序列初值x(0)。
把序列分成因果序列和反因果序列两部分(它们求初值的表达式不同),分别求x(0)将两部分的x(0)相加即得所求。
解:
当序列满足n0,x(n)=0时有所以有若序列x(n)的z变换为所以X(z)的极点为z1=2,z2=1/2由题知,X(z)的收敛域包括单位圆,则其收敛域为因而,时有值的左边序列,时有值的右边序列。
则得例5有一信号y(n)与另两个信号的关系是其中已知利用Z变换的性质求y(n)的z变换Y(z)。
分析
(1)移位定理
(2)时域卷积定理解:
根据题目条件可得又由移位定理得而所以收敛域例6已知用下列差分方程描述一个线性移不变因果系统
(1)求这个系统的系统函数,并指出其收敛域;
(2)求此系统的单位抽样响应;(3)此系统为不稳定系统,请找出一满足上述差分方程的稳定的(非因果)系统的单位抽样响应。
分析:
系统函数求收敛域,要先求零极点。
收敛域为z平面某个圆外,则为因果系统(不一定稳定)收敛域若包括单位圆,则为稳定系统(不一因果)。
解:
(1)对题中的差分方程两边作z变换,得所以可求得零点为极点为又因为是因果系统,所以是其收敛域。
因为所以式中由于H(z)的收敛域不包括单位圆,故这是个不稳定系统(3)若要系统稳定,则收敛域应包括单位圆,因此选H(z)的收敛域为,则式中第一项对应一个非因果序列,而第二项对应一个因果序列。
所以有此系统是稳定的,但不是因果的。
第三章DFT例题重要概念DFT的定义DFT的周期性,对称性频率域采样定理;DFT的应用圆周卷积与线性卷积例1试求以下有限长序列的N点DFT
(1)
(2)分析:
利用有限长序列的DFT的定义解:
(1)因为所以
(2)因为所以例2设有两个序列各作15点DFT,然后将两个DFT相乘,再求乘积的IDFT,设所得结果为f(n),问f(n)的那些点对应应该得到的点。
分析:
本题相当于在时域作圆周卷积。
设线性卷积结果系列为N点,若作L点圆周卷积,则应将线性卷积结果以L点为周期作周期延拓,混叠相加,然后再取主值区间(n=0L-1)的序列,该序列即为L点圆周卷积结果。
混叠点数为N-L,故在-处发生混叠,n=N-L到N=L-1点处,圆周卷积结果相当于线性卷积结果。
解序列x(n)的点数为,y(n)的点数为,故的点数应为又f(n)为x(n)与y(n)的15点圆周卷积,即L=15。
所以混叠点数为N-L=20-15=5。
即线性卷积以15为周期延拓形成圆周卷积序列f(n)时,一个周期内在n=04这5点发生混叠,即f(n)中只有n=5到n=14的点对应于应该得到的点。
例3已知x(n)是N点有限长序列,X(k)=DFTx(n)。
现将长度变成rN点的有限长序列y(n)试求rN点DFTy(n)与X(k)的关系。
分析利用DFT定义求解。
y(n)是rN点序列,结果相当于在频域序列插值。
解由所以在一个周期内,Y(k)的抽样点数是X(k)的r倍,相当于X(k)的每两个值之间插入r-1个其他数值(不一定为零),而当k为r的整数倍时,Y(k)与相等。
例四已知x(n)是N点有限长序列,X(k)=DFTx(n)。
现将x(n)的每两点之间补进r-1个零值点,得到一个rN点的有限长序列y(n)试求rN点DFTy(n)与X(k)的关系。
分析利用DFT定义求解。
y(n)是rN点序列,结果相当于在频域以N为周期延拓r次。
解由所以Y(k)是将X(k)以N为周期延拓r次形成的。
第四章FFT例题重点概念基2FFT算法及IFFT的快速算法计算时间比较例1如果一台通用计算机的速度为平均每次复乘5us,每次复加0.5us。
用它来计算512点的DFTx(n),问直接计算需要多少时间,用FFT运算需要多少时间。
分析
(1)DFT计算:
复乘次数,复加次数N(N-1)。
(2)FFT计算:
复乘次数,复加次数。
解
(1)直接计算复乘所需时间复加所需时间所以
(2)FFT计算复乘所需时间复加所需时间所以
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- 第二 变换 例题