小学奥数系统讲义完整版.docx

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小学奥数系统讲义完整版

小学奥数系统复习讲义（完整版）

小学奥数大约80个知识点，可分成5大类，数论和行程是重点也是难点

计算能力

速算与巧算、分数百分数、循环小数、分数拆分、四则混合运算等等

基础知识

和差倍、年龄、植树、周期、鸡兔、方阵、逻辑、容斥、排列组合等

图形问题

平面图形、立体图形、几何计数、周长面积、表面积体积、阴影面积

行程问题

相遇、追及、行程、流水、过桥、时钟、圆周、发车间隔等等

数论问题

平方数、奇数、偶数、约数、倍数、质数、合数、整除、余数、进制

第一部分计算能力

万丈高楼平地起，计算能力任何时候都是学好数学的根基，必须高度重视!

基本公式

1.运算顺序

第一级：

括号：

（）tt{}

第二级：

X+：

同一级别可以交换运算次序

第三级：

+—:

同一级别可以交换运算次序

2.去括号

1a+（b+c）=a+b+ca+（b—c）=a+b—c

2a—（b+c）=a—b—ca—（b—c）=a—b+c

3a>（b疋）=a花比a>（b-c）=a以弋

4a—b>0）=a—a—b弋）=a—xc

3.分配律/结合律

乘法：

a（b+c）=ab+a>c

a>b+a>c=a（b+c）

除法：

（a+b）—=a—+b—c

a—:

+b—c=（a+b）—

4.两个必须掌握的性质

两个数的和一定，则两数越相近，积越大

两个数的积一定，则两数越分散，和越大

求和公式二:

1+2+32+……n=

3333

求和公式三：

1+2+3+……n=

6.速算巧算基本方法

凑整法、改变运算次序法、连续数求和、基准法、分组法、拆分法

7.等差数列，等比数列，【拆分与裂项】，【换元法】，【错位相消法】，【构造法】等较难的计算方法。

拆分裂项公式：

等差数列公式：

简单等比公式：

例题分析

1.393+404+397+398+405+401+400+399+391+402

2.比较下面A,B两数的大小：

A=2009X2009，B=2008X2010

3.99讣9创x99—994199—99结果末尾有多少个零？

訐胆，.p“站-1?

4.100+99+98—97—96—95+……+10+9+8—7—6—5+4+3+2—1

巩固练习

5.376+385+391+380+377+389+383+374+366+378

6.

1—50+2—50+3—50+

50-50

2010二二呦10

第二部分基础知识

基础知识点列表

7.

9999999>2009

7777>333出111

8.

99*.**.+9乂gg.*・*.*9+-99*—..*9=

99Ti

9.

比较下面A,B两数的大小:

序号

知识点名称

序号

知识点名称

序号

知识点名称

1

归一归总

9

鸡兔问题

17

加法乘法原理

2

和差问题

10

方阵问题

18

排列与组合

3

和倍问题

11

抽屉问题

19

商品利润

4

差倍问题

12

容斥问题

20

存款利息

5

植树问题

13

逻辑问题

21

浓度问题

6

年龄问题

14

数字谜

22

工程问题

7

盈亏问题

15

等差数列

23

正反比例

8

周期问题

16

一笔画

24

牛吃草问题

归一问题

A=987654321>23456789;

B=987654322>23456788

10.1996+1994—1992—1990+1988+1986—1984—1982+1980+1978

—1976—1974+1972+1970……+4+2

【含义】在解题时，先求岀一份是多少（即单一量），然后以单一量为标准，求岀所要求的数量。

这类应用题叫做归一问题。

【数量关系】总量分数二1份数量

1份数量X所占份数二所求几份的数量

另一总量+（总量耳分数）二所求份数

【解题思路】先求岀单一量，以单一量为标准，求岀所要求的数量。

【例题】买5支铅笔要0.6元钱，买同样的铅笔16支，需要多少钱?

解：

（1）买1支铅笔多少钱？

0.6-^5=0.12（元）

（2）买16支铅笔需要多少钱？

0.12>6=1.92（元）

列成综合算式：

0.6-^5X16=0.12>16=1.92（元）

答：

需要1.92兀。

11.3台拖拉机3天耕地90公顷，5台拖拉机6天耕地多少公顷？

12.5辆汽车4次可以运送吨钢材，需要运几次？

100吨钢材，如果用同样的7辆汽车运送105

归总问题

【含义】解题时，常常先找岀的问题，叫归总问题。

所谓

总数量”然后再根据其它条件算出所求总数量”是指货物的总价、几小时（几天）

的总工作量、几公亩地上的总产量、几小时行的总路程等。

【数量关系】1份数量X分数二总量

总量H份数量=份数

总量弓一份数=另一每份数量

【解题思路】先求岀总数量，再根据题意得岀所求的数量。

【例题】服装厂原来做一套衣服用布3.2米，改进裁剪方法后，每套衣服

用布2.8米。

原来做791套衣服的布，现在可以做多少套？

解：

（1）这批布总共有多少米？

3.2>791=2531.2（米）

（2）现在可以做多少套？

2531.2^2.8=904（套）

列成综合算式3.2>791-2.8=904（套）

答：

现在可以做904套。

13•小华每天读24页书，12天读完了《红岩》一书。

小明每天读36页书,

几天可以读完《红岩》？

14.食堂运来一批蔬菜，原计划每天吃50千克，30天慢慢消费完这批蔬菜。

后来根据大家的意见，每天比原计划多吃10千克，这批蔬菜可

以吃多少天？

和差问题

【含义】已知两个数量的和与差，求两个数量各是多少，这类应用题叫和差问题。

【数量关系】大数=（和+差）+2

小数=（和—差）-2

【解题思路】简单的题目可以直接套用公式；复杂的题目变通后再用公式。

【例题】甲乙两班共学生98人，甲班比乙班多6人，求两班各有多少人？

解：

甲班人数=（98+6）吃=52（人）

乙班人数=（98-6）^2=46（人）

答：

甲班有52人，乙班有46人。

15.长方形的长和宽之和为18厘米，长比宽多2厘米，求长方形的面积？

16.有甲乙丙三袋化肥，甲乙两袋共重32千克，乙丙两袋共重30千克,

甲丙两袋共重22千克，求三袋化肥各重多少千克。

17.甲乙两车原来共装苹果97筐，从甲车取下14筐放到乙车上，结果甲

车比乙车还多3筐，两车原来各装苹果多少筐？

和倍问题

【含义】已知两个数的和及大数是小数的几倍（或小数是大数的几分之几），要求这两个数各是多少，这类应用题叫做和倍问题。

【数量关系】总和+（几倍+1）二较小的数

总和-较小的数=较大的数较小的数X几倍=较大的数

【解题思路】简单的题目直接利用公式，复杂的题目变通后利用公式。

【例题】果园里有杏树和桃树共248棵，桃树的棵数是杏树的3倍，求杏

树、桃树各多少棵？

解：

（1）杏树有多少棵？

248-（3+1）=62（棵）

（2）桃树有多少棵？

62X3=186（棵）

答：

杏树有62棵，桃树有186棵。

18.东西两个仓库共存粮480吨，东库存粮数是西库存粮数的1.4倍，求

两库各存粮多少吨?

19.甲站原有车52辆，乙站原有车32辆，若每天从甲站开往乙站28辆,

从乙站开往甲站24辆，几天后乙站车辆数是甲站的2倍？

20.甲乙丙三数之和是170,乙比甲的2倍少4,丙比甲的3倍多6,求三

数各是多少?

差倍问题

【含义】已知两个数的差及大数是小数的几倍（或小数是大数的几分之几），要求这两个数各是多少，这类应用题叫做差倍问题。

【数量关系】两个数的差+（几倍—1）二较小的数

较小的数X几倍=较大的数

【解题思路】简单的题目直接利用公式，复杂的题目变通后利用公式。

【例题】果园里桃树的棵数是杏树的3倍，而且桃树比杏树多124棵。

求

杏树、桃树各多少棵？

解：

（1）杏树有多少棵？

124-（3-1）=62（棵）

（2）桃树有多少棵？

62X3=186（棵）

答：

果园里杏树是62棵，桃树是186棵。

21.爸爸比儿子大27岁，今年，爸爸的年龄是儿子年龄的4倍，求父子

二人今年各是多少岁？

22.商场改革经营管理办法后，本月盈利比上月盈利的2倍还多12万元,

又知本月盈利比上月盈利多30万元，这两个月盈利各是多少万元？

植树问题

基本类型及公式：

1在直线上或者不封闭的曲线上植树，两端都植树。

基本公式：

棵树二段数+1；棵距（段长）X>=总长

2在直线上或者不封闭的曲线上植树，两端都不植树。

基本公式：

棵树二段数—1；棵距（段长）x>=总长

3在封闭曲线上植树：

基本公式：

棵树=段数；棵距（段长）x>=总长关键问题：

确定所属类型，从而确定棵数与段数的关系。

【例题】一条河堤136米，每隔2米栽一棵垂柳，头尾都栽，共栽多少棵垂柳？

解：

136-2+1=68+1=69（棵）

答：

一共要栽69棵垂柳。

24.一个圆形池塘周长为400米，在岸边每隔4米栽一棵白杨树，一共能

栽多少棵白杨树？

25.甲乙丙三人锯同样粗细的钢条，分别领取1.6米，2米，1.2米长的

钢条，要求都按0.4米规格锯开，劳动结束后，甲乙丙分别锯了24

段，25段，27段，谁锯钢条的速度最快？

26.某一淡水湖的周长1350米，在湖边每隔9米种柳树一株，在两株柳树中间种植2株夹枝桃，可栽柳树多少株？

可栽夹枝桃多少株？

两株夹枝桃之间相距多少米？

27.一座大桥长500米，给桥两边的电杆上安装路灯，若每隔50米有个电杆，每个电杆上安装2盏路灯，一共可以安装多少盏路灯？

年龄问题

【含义】这类问题是根据题目的内容而得名，它的主要特点是两人的年龄差不变，但是，两人年龄之间的倍数关系随着年龄的增长在发生变化。

【数量关系】年龄问题往往与和差、和倍、差倍问题有着密切联系，尤其与差倍问题的解题思路是一致的，要紧紧抓住年龄差不变”这个特点。

【解题思路】可以利用差倍问题”的解题思路和方法。

【例题】爸爸今年35岁，亮亮今年5岁，今年爸爸的年龄是亮亮的几倍?

明年呢？

解35%=7（倍）（35+1）-（5+1）=6（倍）

答：

今年爸爸的年龄是亮亮的7倍，明年爸爸的年龄是亮亮的6倍。

28.母亲今年37岁，女儿7岁，几年后母亲年龄是女儿的4倍？

29.3年前父子的年龄和是49岁，今年父亲的年龄是儿子年龄的4倍，父

子今年各多少岁？

30.甲对乙说：

当我的岁数曾经是你现在的岁数时，你才4岁”乙对

甲说：

当我的岁数将来是你现在的岁数时，你将61岁”求甲乙

现在的岁数各是多少？

盈亏问题

【含义】根据一定的人数，分配一定的物品，在两次分配中，一次有余（盈），一次不足（亏），或两次都有余，或两次都不足，求人数或物品数，这类应用题叫做盈亏问题。

【数量关系】一般地说，在两次分配中，如果一次盈，一次亏，则有：

参加分配总人数=（盈+亏）分配差

如果两次都盈或都亏，则有：

参加分配总人数=（大盈-小盈）三分配差

参加分配总人数=（大亏-小亏）三分配差

【解题思路】大多数情况可以直接利用数量关系的公式。

【例题】给幼儿园小朋友分苹果，若每人分3个就余11个；若每人分4

个就少1个。

问有多少小朋友？

有多少个苹果？

解：

按照参加分配的总人数=（盈+亏）三分配差”的数量关系：

（1）有小朋友多少人？

（11+1）-（4-3）=12（人）

（2）有多少个苹果？

3X12+11=47（个）答：

有小朋友12人，有47个苹果。

31.修一条公路，如果每天修260米，修完全长就得延长8天；如果每天

修300米，修完全长仍得延长4天。

这条路全长多少米？

32.学校组织春游，如果每辆车坐40人，就余下30人；如果每辆车坐45

人，就刚好坐完。

问有多少车？

多少人？

周期问题

在日常生活中，有一些现象按照一定的规律不断重复出现。

如：

人调查十二生肖：

鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪；一年有春夏秋冬四个季节；一个星期有七天等。

像这样日常生活中常碰到的有一定周期的问题，我们称为简单周期问题。

这类问题一般要利用余数的知识来解决。

在研究这些简单周期问题时，我们首先要仔细审题，判断其不断重复出现的规律，也就是找岀循环的固定数，如果正好有个整数周期，结果为周期里的最后一个；如果不是从第一个开始循环，利用除法算式求岀余数，最后根据余数的大小得岀正确的结果。

周期现象：

事物在变化过程中，某些特征有规律循环出现。

周期：

我们把连续两次岀现所经过的时间叫周期。

闰年：

四年一闰，百年不闰，四百年再闰；

月份：

1、3、5、7、8、10、12月大。

解答周期问题的关键：

找岀周期T,

考察余数，注意周期的首尾两数。

例题分析

【例1】元旦是星期日，那么同年的国庆节是星期几？

【解】平年元旦到国庆节共有的天数：

31+28+31+30+31+30+31+31+30+1=274；

循环的周期和余数：

274-7=39-1；

平年的国庆节是星期日；［整周期的第一个数］

闰年元旦到国庆节共有的天数：

274+1=275；

循环的周期和余数：

275-7=39-2；

闰年的国庆节是星期一；［整周期的第二个数］

【例2】甲、乙、丙三名学生，每天早晨轮流为李奶奶取牛奶，甲第一次取奶是星期一，那么，他第100次取奶是星期。

【解】21天内，每人取奶7次，甲第8次取奶又是星期一，即每取7次奶为一个周期100-7=14……2，所以甲第100次取奶是星期二。

基础务实

33.1989年12月5日是星期二，那么再过十年的12月5日是星期几？

34.《小学生数学报》每周星期五岀版一期，1994年10月份第1期是10

月7日岀版的，1995年1月份第1期应在1月几日岀版？

35.果园里要种100棵果树，要求每六棵为一组。

第一棵种苹果树，第二、三棵种梨树，后面三棵，即第四、第五、第六棵种桃树。

那么，最后一棵应种什么树？

在这100棵树中，有苹果树、梨树、桃树各多少棵?

36.节日的校园内挂起了一盏盏小电灯，小明看岀每两个白灯之间有红、黄、绿各一盏彩灯也就是说，从第一盏白灯起，每一盏白灯后面紧接着有3盏彩灯。

那么第73盏灯是什么颜色的灯？

37•小明把节省下来的硬币先按四个1分，再按三个2分，最后按两个5

分这样的顺序往下排。

那么，他排的第111个是几分硬币，这个

硬币共多少元？

38.如果时钟现在表示的时间是18点整，那么分针旋转1990圈之后是几

点钟？

39.某年的10月里有5个星期六，4个星期日。

问：

这年的10月1日是星期几？

40.学校一学期共安排86节数学课，单周一、三、五每天两节，双周二、四每天两节。

开学第一周星期一开学典礼没上课，从星期三开始上，则最后一节数学课是星期几上的？

41.

1993年1月4日是星期几?

1993年一月份有4个星期四、5个星期五,

42.有一串数排成一行，其中第一个数是15,第二个数是40,从第三个

数起，每个数恰好是前两个数的和，那么在这串数中，第1991个数

被3除，所得的余数是多少？

鸡兔同笼

【含义】这是古典的算术问题。

已知笼子里鸡、兔共有多少只和多少只脚，求鸡、兔各有多少只的问题，叫做第一鸡兔同笼问题。

已知鸡兔的总数和鸡脚与兔脚的差，求鸡、兔各是多少的问题叫做第二鸡兔同笼问题。

【数量关系】第一鸡兔同笼问题：

假设全都是鸡，则有兔数二（实际脚数—2X鸡兔总数）-（4-2）

假设全都是兔，则有鸡数二（4X鸡兔总数—实际脚数）-（4-2）

第二鸡兔同笼问题：

假设全都是鸡，则有兔数二（2X鸡兔总数—鸡与兔脚之差）+（4+2）假设全都是兔，则有鸡数=（4X鸡兔总数+鸡与兔脚之差）-（4+2）

【解题思路】解答此类题目一般都用假设法，可以先假设都是鸡，也可以假设都是兔。

如果先假设都是鸡，然后以兔换鸡；如果先假设都是兔，然后以鸡换兔。

这类问题也叫置换问题。

通过先假设，再置换，使问题得到解决。

【例题】长毛兔子芦花鸡，鸡兔圈在一笼里。

数数头有三十五，脚数共有九十四•请你仔细算一算，多少兔子多少鸡？

解：

假设35只全为兔，则鸡数=（4X35-94）-（4-2）=23（只）兔数=35-23=12（只）

也可以先假设35只全为鸡，则兔数=（94-2X35）+（4—2）=12（只）鸡数=35-12=23（只）答：

有鸡23只，有兔12只。

43.2亩菠菜要施肥1千克，5亩白菜要施肥3千克，两种菜共16亩，施肥9千克，求白菜有多少亩？

44.李老师用69元给学校买作业本和日记本共45本，作业本每本3.20

元，日记本每本0.70元。

问作业本和日记本各买了多少本？

45.（第二鸡兔同笼问题）鸡兔共有100只，鸡的脚比兔的脚多80只,

问鸡与兔各多少只？

46.有100个馍100个和尚吃，大和尚一人吃3个馍，小和尚3人吃1个

馍，问大小和尚各多少人？

方阵问题

【含义】将若干人或物依一定条件排成正方形（简称方阵），根据已知条件求总人数或总物数，这类问题就叫做方阵问题。

【数量关系】

（1）方阵每边人数与四周人数的关系：

四周人数=（每边人数一1）>4每边人数=四周人数詔+1

（2）方阵总人数的求法：

实心方阵：

总人数=每边人数X每边人数

内边人数=外边人数-层数X2

（3）若将空心方阵分成四个相等的矩形计算，贝IJ:

总人数=（每边人数—层数）X层数皿

【解题思路】方阵问题有实心与空心两种。

实心方阵的求法是以每边的数自乘；空心方阵的变化较多，其解答方法应根据具体情况确定。

【例题】在育才小学的运动会上，进行体操表演的同学排成方阵，每行22

人，参加体操表演的同学一共有多少人？

解：

22X22=484（人）

答：

参加体操表演的同学一共有484人。

47.有一个3层中空方阵，最外边一层有10人，求全方阵的人数。

48.有一队学生，排成一个中空方阵，最外层人数是52人，最内层人数

是28人，这队学生共多少人?

49.一堆棋子，排列成正方形，多余4棋子，若正方形纵横两个方向各增加一层，则缺少9只棋子，问有棋子多少个？

抽屉原理

【含义】把3只苹果放进两个抽屉中，会岀现哪些结果呢？

要么把2只苹

果放进一个抽屉，剩下的一个放进另一个抽屉；要么把3只苹果都放进同

一个抽屉中。

这两种情况可用一句话表示：

一定有一个抽屉中放了2只或

2只以上的苹果。

这就是数学中的抽屉原则问题。

【数量关系】基本的抽屉原则是：

如果把n+1个物体（也叫元素）放到n

个抽屉中，那么至少有一个抽屉中放着2个或更多的物体（元素）。

抽屉原则可以推广为：

如果有m个抽屉，有kxm+r（0

么至少有一个抽屉中要放（k+1）个或更多的元素。

通俗地说，如果元素的个数是抽屉个数的k倍多一些，那么至少有一个抽

屉要放（k+1）个或更多的元素。

【解题思路】

（1）改造抽屉，指岀元素；

（2）把元素放入（或取岀）抽屉；

（3）说明理由，得岀结论。

【例题】育才小学有367个1999年岀生的学生，那么其中至少有几个学

生的生日是同一天的？

解：

由于1999年是润年，全年共有366天，可以看作366个抽屉”，

把367个1999年岀生的学生看作367个荒素”。

367个元素”放进366个抽屉”中，至少有一个抽屉”中放有2个或更多的7C素”。

这说明至少有2个学生的生日是同一天的。

50.有一四种颜色的小旗，任意取岀三个排成一排，表示各种信号，在200

个信号中至少有多少个信号相同？

51.书法竞赛的奖品是笔、墨、纸、砚四种，每位获奖者可任选其中两种

奖品。

问至少应有多少名获奖的同学，才能保证其中必有4名同学得

到的奖品完全相同？

52.一个袋子里有一些球，这些球仅只有颜色不同。

其中红球10个，白

球9个，黄球8个，蓝球2个。

某人闭着眼睛从中取岀若干个，试问他至少要取多少个球，才能保证至少有4个球颜色相同？

容斥原理

公式法：

直接应用包含与排除的概念和公式进行求解

容斥原理一：

C=A+B-AB,利用这一公式可计岀两个集合圈的有关问题。

容斥原理二：

D=A+B+C-AB-AC-BC+ABC利用这一公式可计算三个集

合圈的有关问题。

图像法：

不是利用容斥原理的公式计算，而是画图，借助图形帮助分析,

逐块地计算岀各个部分，从而解答问题。

【例11某班学生在一次期末语文和数学考试中，语文得优的有15人，数

学得优的有24,其中语文、数学都得优的有12人。

全班得优共有多少人？

【解】全班得优分3种:

语数均得优；语文得优数学不得优；数学得优语文

不得优。

语数均得优=2人

语文得优数学不得优=15-12=3人

数学得优语文不得优=24-12=12人

全班得优共有12+3+12=27人

53.某班共50人渗加课外兴趣小组学书法的32人，学绘画的28人，其

中两种都学的15人，这个班级还有多少人没参加兴趣小组？

54.从1至IJ100的自然数中，

（1）不能被6和10整除的数有多少个？

（2）至少能被2,3,5中一个数整除的数有多少个?

逻辑推理

逻辑推理的方法主要不是依靠数学概念、法则、公式进行运算，而是根据条件和结论之间的逻辑关系进行合理的推理，做到正确的判断，最终找到问题的答案。

逻辑推理问题的条件一般说来都具有一定的隐蔽性和迷惑性，并且没有一定的解题模式。

因此，要正确解决这类问题，不仅需要始终保持灵活的头脑，更需要遵循逻辑思维的基本规律同一律，矛盾律

和排中律。

1矛盾律”指的是在同一思维过程中，对同一对象的思想不能自相矛盾。

2排中律”指的是在同一思维过程中，一个思想或为真或为假，不能既不真也不假。

3同一律”指的是在同一思维过程中，对同一对象的思想必须是确定的，在进行判断和推理的过程中，每一概念都必须在同一意义下使用。

55.甲、乙、丙、丁四位同学的运动衫上印有不同的号码。

赵说：

甲是2号，乙是3号钱说：

丙是4号，乙是2号.

孙说：

丁是2号，丙是3号.'李说：

丁是4号，甲是1号.

又知道赵、钱、孙、李每人都只说对了一半，那么丙的号码是几?

56.甲、乙、丙三名教师分别来自浙江、江苏、福建，分别教数学、语文、英语。

根据下面的已知条件：

（1）甲不是浙江人，乙不是江苏人；

（2）浙江的教师不教英语;

（3）江苏的教师教数学；（4）乙不教语文。

则丙不教什么学科