桥梁弦艺术与Bézier曲线.docx
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桥梁弦艺术与Bézier曲线
桥梁、弦艺术和Bézier曲线
RenanGross
关键词:
耶路撒冷弦桥
建造以色列耶路撒冷弦桥是为了该城市的轻轨列车系统。
然而,它的设计不仅仅将实用考虑在内,它还是一件艺术作品,被设计成一座丰碑。
其美丽不仅在于其纵横交错的缆线的视觉外观,而且还在于它背后的数学。
让我们深入研究一下桥和桥背后的故事。
弦桥的晚景
弦桥通常是悬索桥,它的整体重量由上方承担。
在这种情况下,桥面由多条强大的钢索连接到一个单一的塔。
缆线以下列方式连接:
塔顶的缆线支撑桥梁的中心,底部的那些缆线支撑更远部分的受力,因为这个原因我们看到缆线相互交叉。
从下面看弦桥
尽管这些缆线给出了一条条离散直线,但我们注意到一个明显的特点:
缆线边缘的轮廓似乎惊人的光滑。
我们不禁要问它服从某些数学公式吗?
为了找出边缘形成的形状,我们将着手为桥梁制定一个数学模型。
由于建筑本身是相当复杂的,它具有弯曲的桥面和一个由两部分组成的斜塔,我们将不得不提出一些简化模型。
虽然我们失去了一点点的准确度和精密度,但我们获得了数学的简单性,并且仍然可以捕捉到弦桥形式的美丽本质。
更重要的是,我们还能够将我们的简化模型结果推广到实际的桥梁结构上去。
这就是建模的核心---抓住现实世界中的重要特征,并把它们转化为数学。
桥弦分析
让我们先建立一个坐标系(x,y),x-轴对应于桥基,-轴对于将桥挂起的塔。
图1:
坐标轴叠加在桥上
把塔取成y-轴从0到1的部分,桥面取成x-轴从0到1的部分,然后我们在每根轴画上有均匀间距的n个标志。
从x-轴上的每个标志,我们画一条直线到y-轴,使得x-轴上的第1个标记和y-轴上的第个标志相连,x-轴上的第2个标记和y-轴上的第个标志相连,等等。
这些线代表我们的桥弦。
我们还假设x-轴和y-轴直角相交。
这不是一个完美的现实画面,缆线没有均匀分布,塔和桥面也不垂直,但这一假设简化了分析。
图2:
坐标轴和均匀间隔的弦
桥弦形成的轮廓基本上是出于缆线和它们相邻缆线的交叉点:
你用一条直线把每个交叉点及它后面的交叉点相连。
弦越多,轮廓越光滑。
因此,众多的弦引导出了被称为包络线的平滑曲线,当有充分多条弦存在时你会看到非常漂亮的轮廓。
放弃详细计算(你可以在这里找到),我们发现这条曲线上所有点的坐标具有下面的形式
其中在和之间。
因此,
我们会问:
这是它吗?
形状是以这样一个数学关系出现吗?
事实上,不是!
虽然起初不容易看到,但我们都要证明其数学关系实际上是一个抛物线方程!
对此你可能会说,一个抛物线的方程是:
它与我们上面得到的结果非常不同。
你说得不错,然而,花一点功夫就可以证明我们的抛物线的论断,如果我们定义和,我们就能把我们不熟悉的方程改写为
这个形式就是我们熟知的抛物线方程。
通过用和取代变量和,我们实际上已经将坐标系旋转了45度。
但这个新的坐标系吓不住我们。
正如我们可以看到的,抛物线的方程都是一样的。
图3:
上:
抛物线。
左下:
倾斜45度的同样的抛物线。
右下:
将左图中x和y在0和1之间的正方形中的倾斜抛物线放大,这就是代表了桥的区域。
我们得到的结果是,缆线的轮廓基本上是抛物线,这让我们很满意,因为抛物线有一个简单而优雅的形状。
但它也使我们有点纳闷。
为什么如此简单?
为什么是抛物线,而不是一些其它的曲线?
如果我们改变桥的形状,比方说使塔更倾斜一些,它会如何影响我们的曲线?
有什么方法对之前用的简化假设做出修改呢?
一个不太可能的答案
我们的问题答案源于一个令人惊讶的领域:
汽车设计。
早在20世纪60年代,工程师PierreBézier使用特殊的曲线指定他的汽车零部件看起来的形状。
这些曲线称为Bézier曲线。
现在看看它们能给我们提供什么样的启发。
我们都知道,任何两点间只有一条直线,因此,我们可以只用两个点定义一条特定的线。
类似地,Bézier曲线可以由任何数量的称为控制点的点来定义。
不像直线那样,它不通过所有的这些点,而是始于第一点,结束于最后那个点,但不一定通过所有的其它点。
相反,其它的点充当“砝码”,引导曲线从初始点流到最后点。
需要指出的是,给定的总点数是有特定意义的。
点的个数用来定义曲线的次数。
一条两点线性Bézier曲线有次数1,它就是通常的直线;三点的二次Bézier曲线有次数2,为抛物线;一般地,一个次数为的曲线有个控制点。
图4:
次数为1,2和3的Bézier曲线
Bézier曲线构造的一个可视化好方法是想象有一支铅笔,它从第一个控制点开始绘制到最后一个控制点。
在其途中,铅笔被吸引到不同的控制点,但在移动过程中铅笔的被吸引度不断变化。
起初前几个控制点最吸引它,所以铅笔开始绘制时是朝着它们的方向走。
随着铅笔的向前移动,它越来越被后面的控制点吸引,直到它到达最后一点。
在我们画线的任何给定时刻,我们可以问:
“铅笔已经画了曲线的百分之几了?
”这个百分比被称为曲线参数,并以标记。
图5:
绘制Bézier曲线
这一切又如何涉及到我们的抛物线型桥?
当我们看到如何绘制Bézier曲线时,就会揭示这样的联系。
绘制的方式之一是按照曲线坐标的数学公式。
我们将跳过这种方式(你可以在这里看到这个公式),而转到第二种方法:
递归地构造Bézier曲线。
在这个方法中,为了构建一个次数为的曲线,我们使用两个次数为的曲线。
下面我们用一个例子来说明它。
假设我们有一条三次曲线。
它由四个点定义。
从这些我们建立两个新的点组:
除最后点之外的所有点,或者除了第一点以外的所有点。
因此我们有:
∙第一组:
∙第二组:
这两组中的每一个定义了一条二次Bézier曲线。
还记得我们如何讲到使用铅笔,从第一点移动到最后一点。
现在,假设你有两支铅笔同时画这两条二次曲线。
第一条将从开始,收于,而第二条始于而终于。
在两支铅笔行走的任何给定时刻,你可以用一条直线连接他们的位置。
因此,在这两支笔画的时候,想到第三支铅笔。
这支铅笔总是在前两支铅笔当前位置连接线上的某个地方,并以和其他两支笔同样的速度移动。
开始时它是在和的连线上,因为前两支铅笔才移动了曲线的,第三支铅笔沿着这条线的处,故在点。
当其他两支铅笔走了比方说曲线的,分别位于点和,第三支铅笔是在和连线中标志为的那个点。
当其他两支铅笔已经完成了他们的旅程,分别在点和处,第三铅笔是在和连线上的处,即在点。
图6:
用二次曲线构造一条三次Bézier曲线。
红色和绿色的曲线是二次曲线,而粗的黑色曲线是三次曲线-这是我们要构建的曲线。
点和沿着两条二次曲线走,而我们的绘图铅笔总是沿着连接和的蓝线走。
一个很好的问题是:
刚才我们描述了如何构造一条次曲线,但这样做需要绘制次曲线。
我们如何知道该怎样做呢?
幸运的是,我们可以对这些助理曲线应用完全相同的过程。
我们将从两条次数较小的曲线把它们构造出来。
重复此过程,我们最终完成曲线的绘制。
这是线性一次曲线,即仅仅是一条直线,画它没有任何问题。
因此,所有复杂的Bézier曲线可以通过很多直线的组合绘制而成。
应用Bézier曲线
现在我们有点熟悉Bézier曲线了,那么可以回到原来的问题:
什么原因使桥的形状成为抛物线?
我们怎样才能扩展我们的模型,以减弱我们所提出的假设?
事实证明,美丽的弦桥只是一条二次Bézier曲线!
要看到这一点,让我们回到代表桥梁的坐标系统,绘制对应调整三个点的坐标之间的间距,使之一致。
使用我们的递归过程,这条二次曲线将由两条直线形成:
从到的直线(从下降到的-轴)和从到的直线(从增加到的-轴)。
现在假设第一支铅笔已沿-轴下降距离到达点。
与此同时,第二支铅笔沿着-轴达到点。
因此,第三支铅笔将在从点到点的线上的的位置。
因此,Bézier曲线与所有属于和之间的线相遇。
这些线(或至少它们当中的条)对应于我们的桥弦。
图7:
红色箭头代表t=0.5时t沿轴走过的距离,蓝线是线。
现在设,我们则看到线的中点位于Bézier曲线上。
图8显示点还位于所有形成的轮廓上(如果这张图不使你信服,请看这里的网页)。
这足以表明,Bézier曲线和轮廓线是相同的曲线。
如图8所示,任何其它与相遇的抛物线将错过点并穿越线两次。
图8:
蓝线代表的一部分。
红线是。
绿色曲线表明除轮廓线外的任何抛物型线都不会碰到P点
欣赏这一事实将使我们能够处理先前模型的一些不准确之处。
首先,我们曾经假设轴之间互相垂直,即塔和桥面之间实际上有一个角度。
现在我们看到,这并不重要。
如果我们将y-轴(以及任何其他在x-轴和y-轴之间从原点(0,0)辐射出的线)反时针旋转一个所需的角度以增加轴之间的角度,刚才使用的论点依然有效。
我们知道,任何二次Bézier曲线是一条抛物线,桥梁轮廓因而仍然是一条抛物线。
其次,我们看到,在我们的模型中弦是否均匀分布无关紧要:
它们只是其轮廓定义Bézier曲线的直线族的一些代表罢了。
第三,由塔而来的桥弦不跨越它的整个长度,在大约一半处终止。
这意味着,我们只看到部分Bézier曲线。
如果向前延长桥面,我们仍将有一条抛物线满足。
然后桥弦的轮廓是抛物线的一部分,并跨越到。
图9:
用于弦桥的正确Bézier曲线
知道了抛物线形状的弦桥轮廓的根本原因后,现在我们可以稍休息一下。
某种意义上说,20世纪60年代用于汽车零部件设计的曲线已经潜入到21世纪的桥梁设计之中!
Bézier曲线无处不在
Bézier曲线的妙处远远不仅仅体现在汽车和桥梁上。
它进入了更多的领域和并有着广泛的应用。
其中的一个领域是弦艺术,这时弦线在充满钉子的板上散布着。
虽然弦只能作直线,它们中的许多以不同的角度排列而生成Bézier曲线轮廓,就像桥弦所为。
图10:
由弦组成的一艘船和模式
Bézier曲线的另一个有趣之处表现在计算机图形学。
在许多图像处理程序中,我们常常用画笔工具绘制Bézier曲线。
更重要的是,许多计算机的字体是用Bézier曲线定义的。
每个字母由多达几十个的控制点来定义,并使用一系列三次到五次的Bézier曲线绘制。
这使得字母有可伸缩性:
不管你如何放大或缩小这些字母,它们都能被清楚地呈现,见下图。
图11:
一些在FreeSerif字体(简体)中用来形成“a”和“g”的Bézier控制点
这就是数学之美。
它出现的地方我们从未期望,它可将看上去完全无关的领域美妙地连接起来。
考虑到曲线最初用于汽车零部件设计的事实,现在又被用来设计桥梁,我们再次感到这是数学跨学科性质的一个真正展示。
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