数学建模实验答案离散模型新编.docx
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数学建模实验答案离散模型新编
实验09离散模型(2学时)
(第8章离散模型)
1.层次分析模型
(验证,编程)正互反阵最大特征根和特征向量的实用算法p263~264
已知正互反阵
注:
[263]定理2n阶正互反阵A的最大特征根≥n。
★
(1)用MATLAB函数求A的最大特征根和特征向量。
调用及运行结果(见):
>>A=[126;1/214;1/61/41];
>>[V,D]=eig(A)
V=
-+
+-
D=
00
0+0
00-
>>D=diag(D)
D=
+
-
>>D=D.*(imag(D)==0)
D=
0
0
>>[lambda,k]=max(D)
lambda=
k=
1
>>w=V(:
k)/sum(V(:
k))
w=
(2)幂法(见[263])
A为n×n正互反矩阵,算法步骤如下:
a.任取n维非负归一化初始列向量(分量之和为1)
;
b.计算
;
c.
归一化,即令
;
d.对于预先给定的精度ε,当
时,
即为所求的特征向量;否则返回到步骤b;
e.计算最大特征根
。
注:
函数式m文件如下:
function[lambdaw]=p263MI(A,d)
%幂法——求正互反阵最大特征根和特征向量
%A正互反方阵
%d精度
%lambda最大特征根
%w归一化特征列向量
if(nargin==1)%若只输入一个变量(即A),则d取
d=1e-6;
end
n=length(A);%取方阵A的阶数
w0=rand(n,1);w0=w0/sum(w0);%任取归一化初始列向量
while1
ww=A*w0;
w=ww/sum(ww);%归一化
ifall(abs(w-w0) break; end w0=w; end lambda=sum(ww./w0)/n; ☆ (2)用幂法函数求A的最大特征根和特征向量。 调用及运行结果(见): (3)和法(见[264]) A为n×n正互反矩阵,算法步骤如下: a.将A的每一列向量归一化得 ; b.对 按行求和得 ; c.将 归一化 即为近似特征向量; d.计算 ,作为最大特征根的近似值。 函数式m文件如下: function[lambdaw]=p264HE(A) %和法——求正互反阵最大特征根和特征向量 %A正互反方阵 %lambda最大特征根 %w归一化特征列向量 AA=A/diag(sum(A));%a.将A的每一列向量归一化 ww=sum(AA,2);%b.对AA按行求和,ww为列向量 w=ww./sum(ww);%c.归一化,得w为近似特征列向量 lambda=sum(A*w./w)/length(A);%d.计算最大特征根的近似值λ ☆(3)用和法函数求A的最大特征根和特征向量。 调用及运行结果(见): (4)根法(见) A为n×n正互反矩阵,算法步骤如下: a.将A的每一列向量归一化得 ; b.对 按行求积并开n次方得 ; c.将 归一化 即为近似特征向量; d.计算 ,作为最大特征根的近似值。 ★(4)编写根法函数,用该函数求A的最大特征根和特征向量。 [提示: sum,prod,diag] 对矩阵A按行求和的调用为sum(A,2)。 对矩阵A按行求积的调用为prod(A,2)。 diag(V),用向量V构造对角矩阵。 nargin,存放函数输入自变量的数目。 编写的程序和调用及运行结果(见): function[lambdaw]=p264GEN(A) %根法——求正互反阵最大特征根和特征向量 %A正互反方阵 %lambda最大特征根 %w归一化特征列向量 n=length(A); AA=A/diag(sum(A));%a.将A的每一列向量归一化 ww=(prod(AA,2)).^(1/n);%b.对AA按行求积并开n次方,ww为列向量 w=ww./sum(ww);%c.归一化,得w为近似特征列向量 lambda=sum(A*w./w)/n;%d.计算最大特征根的近似值λ (验证,编程)旅游决策问题p250~256 在下面程序中,脚本式m文件调用函数式m文件(求A的最大特征根及归一化特征列向量、一致性指标值CI、一致性比率值CR),中调用另一个函数式m文件(求A的最大特征根及归一化特征列向量)。 (1)脚本式m文件如下: %旅游决策问题 %文件名: clear;clc;formatcompact; %层次分析法的基本步骤: %1.建立层次结构模型 %见p250图1选择旅游地的层次结构 %2.构造成对比较阵 %第2层为准则层: 景色、费用、居住、饮食和旅途5个准则 A=[11/2433;... 21755;... 1/41/711/21/3;... 1/31/5211; 1/31/5311]; %第3层为方案层: P1、P2和P3等3个供选择地点 B1=[125;1/212;1/51/21]; B2=[11/31/8;311/3;831]; B3=[113;113;1/31/31]; B4=[134;1/311;1/411]; B5=[111/4;111/4;441]; B=['B1';'B2';'B3';'B4';'B5']; %3.计算权向量并做一致性检查 %第2层 [lambda2w2CI2CR2]=p250fun(A); ifCR2>=%成对比较阵A的一致性检验 disp(['CR2=',num2str(CR2),'>,A没有通过一致性检查! ']) return; end %第3层 lambda3=zeros(1,5);w3k=zeros(3,5);CI3k=zeros(1,5);CR3k=zeros(1,5); fork=1: 5 [lambda3(k)w3k(: k)CI3k(k)CR3k(k)]=p250fun(eval(B(k,: ))); ifCR3k(k)>%成对比较阵B1的一致性检验 disp(['CR3k(k)=',num2str(CR3k(k)),'>,B',num2str(k),'没有通过一致性检查! ']) return; end end %4.计算组合权向量并做组合一致性检验 w3=w3k*w2;%最下层(第3层)对目标(第1层)的组合权向量 %第3层组合一致性检验(从第3层开始) CI3=CI3k*w2; %随机一致性指标RI的数值(下标对应成对比较方阵的阶数): RI=[00]; RI3=RI([3,3,3,3,3])*w2;%标量 CR3=CI3/RI3; ifCR3> disp(['CR3=',num2str(CR3),'>,第3层没有通过组合一致性检查! ']) return; end %最下层(第3层)对第1层的组合一致性比率为 CR=CR2+CR3; ifCR> disp(['CR=',num2str(CR),'>,没有通过组合一致性检查! ']) return; end %添加命令用于显示有关结果: (2)函数式m文件如下: function[lamdawCICR]=p250fun(A) %求A的最大特征根及归一化特征列向量、一致性指标值CI、一致性比率值CR %A成对比较阵(正互反方阵) %lamda最大特征根值 %wA的归一化特征列向量(权向量) %CI一致性指标值 %CR一致性比率值 [lamdaw]=p264HE(A);%求A的最大特征根及归一化特征列向量 %随机一致性指标RI的数值(下标对应成对比较方阵的阶数): RI=[00]; n=length(A); CI=(lamda-n)/(n-1);%一致性指标,CI=0时A为一致阵;CI越大A的不一致程度越严重 CR=CI/RI(n);%一致性比率,CR<时认为A的不一致程度在容许范围之内 要求: 请仔细阅读以上程序,完成以下实验: 在脚本式m文件后面添加命令,使 ★①显示第2层的数据。 包括: 最大特征根λ;特征向量(权向量)w;一致性指标CI;一致性比率CR。 添加的命令和运行结果(见): lambda2,w2,CI2,CR2 ★②显示第3层的数据。 包括: 特征向量(权向量)w;最大特征根λ;一致性指标CI。 添加的命令和运行结果(见表3): w3k,lambda3,CI3k ★③显示最下层(第3层)对目标(第1层)的组合权向量。 添加的命令和运行结果(见): w3 ★④显示第2层和第3层的组合一致性比率,以及最下层对第1层的组合一致性比率。 添加的命令和运行结果(见): CR2,CR3,CR 2.循环比赛的名次 (编程,验证)双向连通竞赛图(4顶点)的名次排序p270,271~272 4个顶点的竞赛图(教材p270中图3(4))如下: 4个队得分(获胜场数)为(2,2,1,1)由得分排名为{(1,2),(3,4)},该竞赛图是双向连通图,属于第2种类型,可通过以下方法给出名次排序。 该图的邻接矩阵为: ★ (1)编写一个程序,求出1~8级得分向量,并依据8级得分向量给出排名。 给出程序和运行结果(比较): clear;clc;formatcompact;formatshortg; A=[0110;0011;0001;1000];%邻接矩阵 n=length(A);%方阵A的阶数 s=A*ones(n,1);disp(s'); fork=2: 8 s=A*s;disp(s'); end [~,k]=sort(s,'descend');%降序 k'%排名 (2)求元素互不相等的得分向量法 得分向量为 s=A*ones 其中, 记s (1)=s s(k)=A*s(k-1)=Ak*ones,k=2,3,…(s(k)称为k级得分向量) 程序如下: %双向连通竞赛图的名次排序(求元素不等的得分向量) %文件名: clear;clc;formatcompact;formatshortg; A=[0110;0011;0001;1000];%邻接矩阵 n=length(A);%方阵A的阶数 s=A*ones(n,1);k=1; whilelength(unique(s)) s=A*s;k=k+1; end k%k级得分向量 s'%元素不等的得分列向量 [~,kk]=sort(s,'descend');%降序 kk'%排名 ☆ (2)运行求元素互不相等的得分向量法程序。 运行结果(比较): (3)特征根法 对于n≥4个顶点的双向连通竞赛图,其邻接矩阵A为素阵(存在正整数r,使Ar>0),且有 其中,1为全1列向量,λ为最大实特征根且为正,s为其特征列向量。 %双向连通竞赛图的名次排序(特征根法) %文件名: clear;clc;formatcompact;formatshortg; A=[0110;0011;0001;1000];%邻接矩阵 [V,D]=eig(A);%返回A的特征值和特征向量。 %其中D为A的特征值构成的对角阵,每个特征值 %对应的V的列为属于该特征值的一个特征向量。 D=diag(D);%返回矩阵D的对角线元素构成列向量。 D=D.*(imag(D)==0);%复数特征值用0代替,实数的则不变 [lamda,k]=max(D); lamda s=V(: k)/sum(V(: k));%最大特征根对应的特征列向量(归一化) [~,k]=sort(s,'descend');%降序 s',k' ☆(3)运行特征根法程序。 给出运行结果(比较): (验证)双向连通竞赛图(6顶点)的名次排序p270,272~273 6个顶点的竞赛图(教材p270中图1)如下: 该图的邻接矩阵为: 要求: 使用上题的程序。 ☆ (1)求出1~4级得分向量,并依据4级得分向量给出排名。 运行结果(比较): ☆ (2)运行求元素互不相等的得分向量法程序。 运行结果: ☆(3)运行特征根法程序。 运行结果(比较): 3.公平的席位分配 (验证)参照惯例的席位分配方法p278~279 某学校有甲乙丙三个系共有200名学生,其中甲系有103人,乙系有63人,丙系有34人。 (1)有20个代表席位,采用参照惯例的席位分配方法,分别求出甲乙丙系的“席位分配结果”。 (2)有21个代表席位,采用参照惯例的席位分配方法,分别求出甲乙丙系的“席位分配结果”。 下面是参照惯例的席位分配方法的求解函数: function[qi,ni]=p278fun(p,n) %p各单位人数(列向量) %n总席位(标量) %qi按比例分配的席位(列向量) %ni参照惯例的结果(列向量) qi=n*p/sum(p);%按比例各单位所得席位(可能含小数) ni=fix(qi);%各单位所得席位取整 m=n-sum(ni);%可能有没分配完的席位 ifm>0%席位没分完 [~,k]=sort(qi-ni,'descend');%按降序排序(缺省为升序) ni(k(1: m))=ni(k(1: m))+1;%排在前m个,加1 end 要求: ①在命令窗口分别调用以上函数求解(使用最佳定点或浮点格式(5位数字)控制命令formatshortg)。 ②两个结果比较,合理吗? ☆题 (1)(20个代表席位)的调用及结果(比较表1)。 ☆题 (2)(21个代表席位)的调用及结果(比较表1)。 (验证)Q值方法p280~281 (教材: 公平的席位分配) 某学校有甲乙丙三个系共有200名学生,其中甲系有103人,乙系有63人,丙系有34人。 (1)有20个代表席位,采用Q值法分别求出甲乙丙系的“席位分配结果”。 (2)有21个代表席位,采用Q值法分别求出甲乙丙系的“席位分配结果”。 下面是Q值法的求解函数: function[qi,ni]=p280fun(p,n) %p各单位人数(列向量) %n总席位(标量) %qi按比例分配的席位(列向量) %ni参照惯例的结果(列向量) qi=n*p/sum(p); ni=fix(qi); whilesum(ni) Qi=p.^2./(ni.*(ni+1));%ni>0 [~,i]=max(Qi);%求最大值元素及下标 ni(i)=ni(i)+1; end 要求: ①在命令窗口分别调用以上函数求解(使用最佳定点或浮点格式(5位数字)控制命令formatshortg)。 ②两个结果比较,合理吗? ☆题 (1)(20个代表席位)的调用及结果(见)。 ☆题 (2)(21个代表席位)的调用及结果(见)。 附1: 实验提示 附2: 第8章离散模型 [249]层次分析模型 [254]题①答案 [255]题②③答案 [256]题④答案 [263]题 (2)幂法 [264]题(3)(4)和法、根法,答案 [269]循环比赛的名次 [272]题、 (1)答案 [273]题(3)答案****本节完**** [278]公平的席位分配 [279]题答案 [281]题答案 [286]****本节完****
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