数学全国卷分析.docx
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数学全国卷分析.docx
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数学全国卷分析
数学高考全国卷的特点
———以2010年至2017年全国理科课标卷I卷为例
命题模式:
题库命题,平时抽调全国的专家进行题库的补充和完善,临近高考的时候组织专家入闱进行抽题、定卷打磨。
和集中命题不一样,专家有足够的时间进行创新设计,并且每道题都会尽量创新,这有别于省卷。
试卷形式:
国家卷采用12+4+5+1(二选一,2017年之前是三选一,现在去掉了几何证明)的形式。
特点:
和山东卷比较起来,国家卷明显的灵活,题目设置难度大,试题没套路,随处都要考查思维量,除个别的题目需要较大的计算量外,基本以灵活处理为考查点,真正做到了以试题为载体,以数学知识、数学思想和数学能力立意进行考查,也就是重点考查我们常常提到的5个数学思想,7个数学能力和2个数学意识。
试题不拘泥于课本,不左右于舆论,不受制于习惯,对知识内容的本质和思想的教学提出的很高的要求,有的甚至是“超纲”的内容,甚至在2014年出现了非明显的数学内容。
总之就是“有才、任性”。
试题分类压轴、多点控制的特征明显,12,16,和21题的导数应用压轴感明确。
相对山东卷来说,计算量小,思维量大,解析几何简单,数列和三角函数两个模块在大题中轮番考。
立体几何、概率统计、解析几何和导数的应用必考,况且顺序也基本保持不变,选做题二选一。
概率统计题以统计为主,阅读量大,考查或然与必然的思想明显。
需要掌握好概率统计模块各知识的数学本质。
国家卷一题多解的现象比较多,如果思维合拍,可以比较快的给出答案,如果通性通法去做,也可以,只是稍微费时费力——这算是比山东卷有利的地方。
应对策略:
放眼全国,调整心态;积极备考,策略答题;简单题要规范,难题要尽力;选做题要保证。
近几年的试题总览
集合
2010
2011
2012
2013
交(整数陷阱)
确定性
不等式,子集运算
2014
2015
2016
2017
不等式交
不等式交
不等式子集运算
集合定位于基础送分题目,一般会放在第一个位置,题目简单,稳定考生情绪,这个分数要保证拿到。
另外也要注意小的陷阱,比如2010年有个集合明确指出“
”,如果刚刚上考场精神还没有集中起来,容易把这个条件看漏。
结合二次不等式考查也是常规模式。
注意看答案的区别和利用特殊值即时验证。
复数
2010
2011
2012
2013
化简共轭模
化简共轭
结合四个命题运算
运算相等虚部
2014
2015
2016
2017
化简
复数方程化简
相等模
四个命题基本概念
复数作为高中相对独立并且课时量少的一块内容,考查方式相对简单,也是送分题目,主要是一些基本概念,基本运算和几何意义。
框图
2010
2011
2012
2013
裂项
阶乘
统计(最大最小数提取)
分段函数的值域
2014
2015
2016
2017
模糊按图索骥
等比数列求和的误差
模糊按图索骥
告诉框图的意图,求条件
山东卷时候,框图是绝对的送分题,只要按图索骥,转2-3个回合就可以得到答案,是最受欢迎的题目,得分率超过第一题的集合和和第二题的复数。
但是,国家卷有一些难度,有些年份考查要看出是“解决哪一类问题”来才行。
如果按照框图进行,可能要很麻烦,循环的次数多,耽误时间。
线性规划
2010
2011
2012
2013
简单规划最值
简单规划取值范围
2014
2015
2016
2017
结合命题最值
斜率规划
应用题
最小值
线性规划相对来说,国家卷考查比山东考查要简单,近今年考查频率比较高,没有涉及到带参数的规划,减少的分类讨论思想的考查,也属于送分题。
注意应用题的实际背景带来的取值范围,注意填空题中的取值范围的边界是闭还是开,课本上还有距离规划一直没有考查。
在求交点的做法的同时,也要明白截距规划、斜率规划和距离规划的思想,
以防后续的命题中出现以这个思想为考查点,出来新颖的可以转化为线性规划的“非线性规划”。
函数
2010
2011
2012
2013
图象、增减性、奇偶性、不等式
奇偶性、增减性、图象交点
图象、反函数(12)
分段函数、数形结合、图象对称性和二次函数最值(16)
2014
2015
2016
2017
奇偶性、函数图象、零点
参数取值范围(12)、奇偶性
图象、对指幂
增减、奇偶、对指幂
函数作为重点考查内容,每份试卷都有2-3个题,有时候还会用来命制压轴题,注意解题技巧,尤其设计到图象的,注意数形结合,涉及到对指幂的,注意特殊值的应用。
遇到太难的类似于12和16的,可以有选择的先放放,先保证后面的简单题的得分。
排列、组合、二项式定理
2010
2011
2012
2013
古典概型
古典概型、二项式系数
排列组合、分人方案
2014
2015
2016
2017
古典概型、二项式系数
投篮结合概率、二项式系数
二项式系数
考查特点是结合概率考查,二项式系数一般是基础题,排列组合在考查过程中,一般大家作为比较难的,其实是大家的一个短板,考试结果一般会出乎命题者的意料。
圆锥曲线、直线和圆
2010
2011
2012
2013
双曲线方程、圆方程
双曲线离心率、椭圆方程
椭圆离心率、双曲线实轴
双曲线渐近线、椭圆方程
2014
2015
2016
2017
双曲线焦点渐近线、抛物线准线
双曲线、圆和椭圆
双曲线、抛物线和圆
抛物线、双曲线和圆
稳定的两个考点,综合考查直线、圆和三条圆锥曲线的基本概念和性质,通常不涉及韦达定理,但是也有两年(2010年底12题和2013年的第10题)考查了点差法求弦中点。
这些题目综合了很多知识,需要把相关的基本概念弄熟搞懂并能熟练综合应用,应该属于难题,但是思维上并不太“怪异”,注意几何的应用,别一味的硬算。
平面向量
2010
2011
2012
2013
模与夹角(内积)
模与夹角(内积)
夹角(内积)
2014
2015
2016
2017
模与夹角
基本定理
内积(勾股定理)
模与夹角(内积)
统计发现,平面向量在国家卷中属于简单题,非常直接,完全可以作为送分题来稳拿这个分数,基本上就是定位于模和夹角以及内积运算展开,也基本上上每年必考的题目。
立体几何
2010
2011
2012
2013
三棱柱和球面,三视图
三视图、棱锥和球面
三视图、三棱锥和球面
三视图、球和长方体
2014
2015
2016
2017
三视图(12题)
数学文化和体积、三视图
三视图、正方体中线面、线线关系
三视图、折叠求体积(16题,结合导数)
可以发现,国家卷比较重视立体几何,基本上上一大两小的配置,小题中一定有一个三视图(2014年还作为12题),然后还会有一些常见几何体的问题,比山东卷的比例要大。
另外,国家卷对球的考查比较频繁,空间想象力要求较高。
三角函数解三角形
2010
2011
2012
2013
化简求值、解三角形(16)
任意角求值、三角函数、三角函数图象(12)、解三角形(16)
三角函数增减性
辅助角公式和恒等变形
2014
2015
2016
2017
化简、三角形面积
三角函数图象、解三角形(16)
三角函数图象性质
图象变换
数列
2010
2011
2012
2013
等比数列、数列求和(16)
等差数列、结合三角形面积的数列(12)、已知和求通项、
2014
2015
2016
2017
等差数列通项、等比数列
求公差、求数列的项(16)
因为牵扯到大题的第一题是数列和三角函数的二选一,所以在小题中也是每年有所偏重,相对来说,三角函数、诱导公式以及化简求值等出现的频率较高。
数列如果不在压轴的位置,通常是基本概念求通项为主,相对简单,在压轴位置的思维跨度高,灵活,要注意解题策略。
导数应用定积分
2010
2011
2012
2013
导数和切线、随机模拟和定积分的几何意义
2014
2015
2016
2017
求最值(16)
因为在后面的大题中一定会出现,并且达到一定的考查难度,所以,这里也只是简单考查,出现的频率小,尤其是定积分,本身不是个大的问题,和其他知识点联系比较少,所以,考查也自然少。
当然,已经7年没考了,大家也要注意一下。
逻辑、命题和充要条件
2010
2011
2012
2013
逻辑连接词、命题
命题真假
结合复数命题真假
2014
2015
2016
2017
结合线性规划考查真命题、逻辑判断
结合复数命题真假判断
出现的频率中等,充要条件一直没有出现,任意和存在的转换也一直没有出现,命题的四种形式也没有考查过,当然逻辑和命题本身随处都在考查。
概率统计
2010
2011
2012
2013
结合古典概型考查概率期望
结合排列组合考查古典概型、
正态分布
抽样
2014
2015
2016
2017
结合排列组合考查古典概型
结合排列组合考查独立事件概率
几何概型
几何概型
概率统计也是大题中必考的一项内容,在大题中国家卷重视统计知识在生活中的应用考查,所以,小题中比较多的事概率方面的,和排列组合结合较多。
1.一题多解,代数法和几何法综合运用,经常考查数形结合的思想.2010年第8题可以求表达式,也可以换元,也可以用图象平移,2010年的9题考查公式
的变形,比较灵活,本题也可以利用万能公式求解.2016年13题条件相当于告诉直角三角形,2017年13题,如果用
换元,则变成菱形的对角线求解.2014年的坐标系和参数方程的考查中,要利用平面几何的知识,把夹角
转化到直角三角形中.解析几何大题中的三角形
的面积转化为两个同底的三角形的面积之差会更简单.2012年的解析几何20题,用平面几何的办法求解方便简单,包括第二问用直径所对的圆周角为直角等等技巧,优胜于直接的代数法.2015年的第5题,可以用代数法,也可以用几何法利用双曲线的定义和临界的直角数形结合解决.2010年的不等式用图象法求解,更方便.2013年的解三角形的题可以直接建立平面直角坐标系来求解.2010年第11题是数形结合的典型例子,也体现了高中数学中的单变量的要求.
2.程序框图题有很多需要读出框图的意义,确定这个框图是解决什么问题,考查直达框图的语言内涵,比如2010年第7题考查裂项相消技巧;2011年考查了
的计算;2012年考查了求一组数据的最大数和最小数,2013年考查了分段函数的值域,2015年考查了无限等比数列求和的误差(一尺之棰,日取其半,万世不竭),2017年则考查了为达到某个目的如何设计框图.
3.三角考查注重求值和公式变形,比如2010年的第9题考查公式
的变形,比较灵活,本题也可以利用万能公式求解.2011年的第5题,也可以用万能公式求解.2014年的第8题,考查也是公式
的变形.解答题中的17题一般考查数列和三角,但是数列为主,图象变换一直没在大题中考查.注意两角和的逆用的公式——辅助角公式
,经常考查的通常有
这些特殊情况,对于更一般的情况,通常不需要求解辅助角
.
4.立体几何考查内容多,三视图几乎每年都考,另外,还会考查一个选择填空题,经常和球等结合考查体积,对空间想象能力要求较高.
5.考查不怕重复,比如2010年的第12题就和2013年的第10题,都是考查过焦点弦的中点和斜率问题,都可以用韦达定理或者点差法两种办法求解,是绝对意义上的重题,再比如2010年的第4题和2014年第6题,都是考虑单位圆周上点的运动引起的某个距离的变化,2015年理科II卷第10题也是考查距离引起的图象变化问题.在选做题的不等式考查中,2011,2012,2013,2017年都是给出解集或者解集的一个子集,求参数的取值范围,几乎一样.
6.小题目考查中,不避讳用导数研究函数的性质,比如2016年第7题需要用导数确定极值点的大致位置,2017年的填空题第15题需要用导数确定最值.
7.简单题目都比较直接,基础分要牢牢把握;每年的12和16题都很灵活,也很难,需要注意考试策略,不要在这上面浪费太多的时间;国家卷的解析几何相对简单,没有复杂的计算整理,导数的应用比较难,也很灵活,需要优秀的把握能力,但是第一问要把握住.
8.概率统计题考查没有禁忌,2010年考查抽样和独立性检验,2011年分布列和数学期望,2012年考查期望和方差,2013考查独立事件的概率和期望,2014年考查正态分布、二项分布,2015年考查回归,并且是非线性回归(转化与化归的思想),2016年独立事件的概率和期望,2017年正态分布的
原则,2017年的II卷则考查独立性检验.关注概率在生活中的应用,关注统计学的思想内涵,题目提示很充分,掌握好知识的内涵本质后,计算都是简单的,关注思维量,不提倡大的计算量.
9.立体几何通常是一大两小(包括年年必考的三视图)的布局,大题相对比较简单,集中于线线、线面、面面的关系的判定和性质(相互转化,线线垂直转化为线面垂直,线面垂直转化为线线垂直,面面垂直转化为线面垂直,线面平行转化为线线平行,面面平行转化为线面平行等等).建系相对比较直接,有的年份第一问就可以建系证明计算.
10.参数方程集中于直线、圆和椭圆考查,注意抛物线和双曲线的参数方程,参数方程和普通方程的互化(互化!
),极坐标则集中于5条特殊直线和5个特殊的圆.其它的只能用代数的办法进行坐标替换.经常和三角函数的极值相关联,注意学会用极坐标联立方程求解问题,比如2013年的题目,2015年的题目,2016年的题目都可以直接用极坐标方程联立进行,要让学生确信极坐标和直角坐标是一样的.
11.数学语言的转化,比如2017年的20题解析几何中的“直线过定点”转化为斜率和截距的线性关系,所有的函数题中的语言转化问题(2017年的两个零点,2016年的
,2015年的
函数,解析几何中的角度相等转化为斜率之和的关系,2010—2014年的导数的应用中的不等式转化为最小值问题).
12.导数的应用题目解答技巧:
(1)观察:
定义域,特殊值,特殊范围,函数的走势——注意指数函数、多项式函数和对数函数的增长率的比较;
(2)求导:
首选考虑是否可以分解因式,其次考虑导函数的特殊值,不能分解的观察单调性或者利用二次求导考虑导函数的零点,同样要考虑导函数的走势,
(3)转化:
转化问题到利用导数能解决的单调和极值问题;如果极值点满足的方程是超越方程,则经常用到极值点反代,这时候要尽量确定好极值点所在的范围,越小越好.对于“任意、存在”等语言表达的两个函数之间最大、最小值比较的问题,要烂熟于心(比如山东卷2010年理科试题第22题,2014年全国卷第9题).
(4)求参数的范围:
通常是用分离参数或者遍历参数的方法求参数的范围,相比较而言,遍历参数更经常一些.
(5)如果指数函数,多项式和对数函数在一起的不等式,如果求导发现导函数非常复杂,不能讨论其符号,则可以考虑将指数和多项式放一边,对数和多项式放一边,然后考虑一个充分条件,就是一边的最大值小于另外一边的最小值.
(6)几个常见的公式要烂熟于心:
,
,
,
,有很多问题最后归结为这几个不等式,熟练了后可以将问题转化为套路;三次函数要么有三个零点,要么有一个零点.
(7)带参数二次函数的正负讨论是最基本的,关注首项符号和判别式,两个根的大小比较,也可以采用图象法观察用特殊点(端点和对称轴)的函数值的符号判断.
13.数列和三角形中,要注意两个未知数两个方程的关系,三角形中,要学会分析三角形的全等判定定理中的条件对三角形的确定,防止两个解,尤其是知道正弦值后要注意讨论两个角.
14.圆锥曲线的考查中,方程的给出通常带有几何的味道,整体计算量不大,集中于韦达定理的应用,要熟记“设直线、代曲线、判别式、韦达定理”这样的步骤,要熟练“长轴、短轴、实轴、虚轴、焦距”名词的涵义,要注意抛物线的给出形式.椭圆上平行弦的中点共线并且形成过原点的一条直线,其斜率和平行弦的斜率之乘积为
;注意点差法的应用.注意设直线的斜率的时候,一定要想到斜率不存在的情形;计算过程中换元的同时,要给出换元后的参数范围.要熟记通径长为
(垂直于对称轴的焦点弦的长).二次曲线上一点
处的切线方程为
,圆上一点
处的切线方程为
,双曲线
的渐近线方程为
,可熟练掌握焦半径(曲线上一点到焦点的距离)的长度:
曲线上一点坐标为
左焦点
右焦点
椭圆(长轴在
轴)
双曲线(实轴在
轴)
抛物线(
)
15.线性规划通常就三种,截距规划、斜率规划,距离规划,这都在教材中各有例题.如果带参数,在考虑时候要全面,如果是应用题,要注意变量的实际意义,会有整数和正数的内在要求.
16.不论学校什么政策,参数方程极坐标和不等式都要认真准备,这10分比较容易,要确保拿到手才行.
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