复习专题中考数学复习三大变换旋转作图二最新整理.docx
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复习专题中考数学复习三大变换旋转作图二最新整理
三大变换之--旋转作图
(二)
知识梳理
1、中心对称:
把一个图形绕着某个定点旋转180°,如果它能和另一个图形重合,那么这两个图形关于这个定点对称或中心对称。
这个定点叫做对称中心,两个图形中对应点叫做关于对称中心的对称点。
2、中心对称的性质:
(1)对应点的连线都经过对称中心,并且被对称中心平分,即对称中心是两个对称点所连线段的中点。
(2)对应线段平行或共线。
教学重、难点
作业完成情况
典题探究
1.
如图,在直角坐标平面内,已知点A的坐标(﹣5,0),
(1)图中B点的坐标是;
(2)点B关于原点对称的点C的坐标是;点A关于y轴对称的点D的坐标是;
(3)△ABC的面积是;
(4)在直角坐标平面上找一点E,能满足S△ADE=S△ABC的点E有个;
(5)在y轴上找一点F,使S△ADF=S△ABC,那么点F的所有可能位置是;(用坐标表示,并在图中画出)
2.如图,在直角坐标系中,矩形纸片ABCD的点B坐标为(9,3),若把图形按要求折叠,使B、D两点重合,折痕为EF.
(1)△DEF是否为等腰三角形?
(不要说明理由)
(2)图形中是否存在成中心对称的两个图形?
如果存在请说明理由;如果不存在,也请说明理由.(图中实线、虚线一样看待)
(3)
求折痕EF的长及所在直线的解析式.
3.我们知道,在平面内,如果一个图形绕着一个定点旋转一定的角度后能与自身重合,那么就称这个图形是旋转对称图形,转的这个角称为这个图形的一个旋转角.例如,正方形绕着它的对角线的交点旋转90°后能与自身重合所以正方形是旋转对称图形,它有一个旋转角为90°.
(1)判断下列说法是否正确(在相应横线里填上“对”或“错”)
①正五边形是旋转对称图形,它有一个旋转角为144°.
②长方形是旋转对称图形,它有一个旋转角为180°.
(2)填空:
下列图形中时旋转对称图形,且有一个旋转角为120°的是.(写出所有正确结论的序号)
①正三角形②正方形③正六边形④正八边形
(3)写出两个多边形,它们都是旋转对称图形,都有一个旋转角为72°,其中一个是轴对称图形,但不是中心对称图形;另一个既是轴对称图形,又是中心对称图形.
4.某校园内有一人行道上镶嵌着如图①所示的水泥方砖,砖面上的小沟槽(如图②)EA、HD、GC、FB分别是方砖TPQR四边的中垂线,四边形HEFG是正方形,现请你根据上述信息解答下列问题.
(1)方砖TPQR面上的图案A.是轴对称图形,但不是中心对称图形B.是中心对称图形,但不是轴对称图形C.是轴对称图形,又是中心对称图形D.既不是轴对称图形,也不是中心对称图形
(2)若要使方砖TPQR的面积是正方形HEFG面积的9倍,求当方砖边长为24厘米时,小沟槽EA的长是多少.
演练方阵
A档(巩固专练)
1.设点M(1,2)关于原点的对称点为M′,则M′的坐标为.
2.在平面直角坐标系中,O是原点,A是x轴上的点,将射线OA绕点O旋转,使点A与双曲线y=
上的点B重合,若点B的纵坐标是1,则点A的横坐标是.
3.如图,将一朵小花放置在平面直角坐标系第一象限内,先将它向下平移4个单位后,再将它绕原点O旋转180°,则小花顶点A的对应点A′的坐标为.
4.在平面直角坐标系中,点P(5,﹣3)关于原点对称的点的坐标是.
5.如图,在平面直角坐标系中,将△ABC绕点P旋转180°得到△DEF,则点P的坐标为
.
6.函数
的图象如图所示,关于该函数,下列结论正确的是(填序号).
①函数图象是轴对称图形;②函数图象是中心对称图形;③当x>0时,函数有最小值;④点(1,4)在函数图象上;⑤当x<1或x>3时,y>4.
7.永州市新田县的龙家大院至今已有930多年历史,因该村拥有保存完好的“三堂九井二十四巷四十八栋”明清建筑,而申报为中国历史文化名村.如图是龙家大院的一个窗花图案,它具有很好的对称美,这个图案是由:
①正六边形;②正三角形;③等腰梯形;④直角梯形等几何图形构成,在这四种几何图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是
(只填序号).
8.如图,在平面直角坐标系中,对△ABC进行循环往复的轴对称或中心对称变换,若原来点A坐标是(a,b),则经过第2011次变换后所得的A点坐标是.
9.在中国的园林建筑中,很多建筑图形具有对称性.如图是一个破损花窗的图形,请把它补画成中心对称图形.
.
10.在平面直角坐标系xOy中,已知A(﹣1,5),B(4,2),C(﹣1,0)三点.
(1)点A关于原点O的对称点A′的坐标为,点B关于x轴的对称点B′的坐标为,点C关于y轴的对称点C的坐标为.
(2)求
(1)中的△A′B′C′的面积.
B档(提升精练)
11.
如图,△ABO与△CDO关于O点中心对称,点E、F在线段AC上,且AF=CE.求证:
FD=BE.
12.如图,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,每个小方格的边长为1个单位长度.正方形ABCD顶点都在格点上,其中,点A的坐标为(1,1).
(1)若将正方形ABCD绕点A顺时针方向旋转90°,点B到达点B1,点C到达点C1,点D
到达点D1,求点B1、C1、D1的坐标.
(2)若线段AC1的长度与点D1的横坐标的差恰好是一元二次方程x2+ax+1=0的一个根,求a
的值.
13.如图,在直角坐标系中,Rt△AOB的两条直角边OA,OB分别在x轴的负半轴,y轴的负半轴上,且OA=2,OB=1.将Rt△AOB绕点O按顺时针方向旋转90°,再把所得的像沿x轴正方向平移1个单位,得△CDO.
(1)写出点A,C的坐标;
(2)求点A和点C之间的距离.
14.如图,图形中每一小格正方形的边长为1,已知△ABC.
(1)AC的长等于;
(2)先将△ABC向右平移2个单位得到△A′B′C′,则A点的对应点A′的坐标是
;
(3)
再将△ABC绕点C按逆时针方向旋转90°后得到△A1B1C1,则A点对应点A1的坐标是
.
15.如图,平面直角坐标系中,△ABC为等边三角形,其中点A、B、C的坐标分别为(﹣3,﹣1)、
(﹣3,﹣3)、(﹣3+
,﹣2).现以y轴为对称轴作△ABC的对称图形,得△A1B1C1,再以x
轴为对称轴作△A1B1C1的对称图形,得△A2B2C2.
(1)直接写出点C1、C2的坐标;
(2)能否通过一次旋转将△ABC旋转到△A2B2C2的位置?
你若认为能,请作出肯定的回答,并直接写出所旋转的度数;你若认为不能,请作出否定的回答(不必说明理由);
(3)设当△ABC的位置发生变化时,△A2B2C2、△A1B1C1与△ABC之间的对称关系始终保持不变.
①当△ABC向上平移多少个单位时,△A1B1C1与△A2B2C2完全重合并直接写出此时点C的坐标;
②将△ABC绕点A顺时针旋转α°(0≤α≤180),使△A1B1C1与△A2B2C2完全重合,此时α的值为多少点C的坐标又是什么?
16.如图①,在△AOB中,∠AOB=90°,OA=3,OB=4.将△AOB沿x轴依次以点A、B、O为旋转中心顺时针旋转,分别得到图②、图③、…,则旋转得到的图⑩的直角顶点的坐标为
.
17.课外兴趣小组活动时,老师提出了如下问题:
(1)如图1,在△ABC中,若AB=5,AC=3,求BC边上的中线AD的取值范围.
小明在组内经过合作交流,得到了如下的解决方法:
延长AD到E,使得DE=AD,再连接BE(或将△ACD绕点D逆时针旋转180°得到△EBD),把AB、AC、2AD集中在△ABE中,利用三角形的三边关系可得2<AE<8,则1<AD<4.
[感悟]解题时,条件中若出现“中点”“中线”字样,可以考虑构造以中点为对称中心的中心对称图形,把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中.
(2)解决问题:
受到
(1)的启发,请你证明下列命题:
如图2,在△ABC中,D是BC边上的中点,DE⊥DF,DE交AB于点E,DF交AC于点F,连接EF.
求证:
BE+CF>EF,若∠A=90°,探索线段BE、CF、EF之间的等量关系,并加以证明.
18.在平面直角坐标系中,O为坐标原点.
(1)已知点A(3,1),连接OA,作如下探究:
探究一:
平移线段OA,使点O落在点B.设点A落在点C,若点B的坐标为(1,2),请在图1中作出BC,点C的坐标是;
探究二:
将线段OA绕点O逆时针旋转90度,设点A落在点D.则点D的坐标是;
(2)已知四点O(0,0),A(a,b),C,B(c,d),顺次连接O,A,C,B.
①若所得到的四边形为平行四边形,则点C的坐标是;
②若所得到的四边形是正方形,请直接写出a,b,c,d应满足的关系式.
19.如图,将边长为1的等边△OAP按图示方式,沿x轴正方向连续翻转2007次,点P依次落在点P1,P2,P3,P4,…,P2007的位置.试写出P1,P3,P100,P2007的坐标.
20.如图,在平面直角坐标系xOy中,把矩形COAB绕点C顺时针旋转α度的角,得到矩形CFED,设FC与AB交于点H,且A(0,4)、C(8,0).
(1)当α=60°时,△CBD的形状是.
(2)当AH=HC时,求直线FC的解析式.
成长足迹
课后检测
三大变换之--旋转作图
(二)参考答案
典题探究
例1解:
(1)根据图示知,点B的坐标为(﹣3,4);⊅
(2)由
(1)知,B(﹣3,4),
∴点B关于原点对称的点C的坐标是(3,﹣4);
∵点A的坐标(﹣5,0),
∴点A关于y轴对称的点D的坐标是(5,0);
(3)由勾股定理求得,AB=2
,AC=4
,BC=10,
∴AB2+AC2=BC2,
∴AB⊥AC,
∴S△ABC=AB•AC=×2
×4
=20;
(4)∵S△ADE=S△ABC,
∴△ADE与△ABC的一条边的边长,和这条边上的高都相等,
∵在该表格中,符合条件的点E由无数个;
∴能满足S△ADE=S△ABC的点E有无数个;
(5)∵AD=10,
∴S△ADF=AD•OF=20,
∴OF=4,
∴点F的所有可能位置是(0,4)或(0,﹣4);故答案是:
(1)(﹣3,4);
(2)(3,﹣4);(5,0);
(3)20;
(4)无数.(每格1分)
(5)(0,4)或(0,﹣4).(2分)
例2解:
(1)△DEF为等腰三角形.(2分)
(2)连接BD交EF于M,
∵B、D关于EF对称,
∴BM=DM,EM⊥BD,易证EM=FM,
∴E、F关于M成中心对称,B、D关于M成中心对称,又M为BD的中点,
∴A、C关于M成中心对称,
∴四边形AEFD与四边形CFEB关于M成中心对称.(6分)
(3)设BE=OE=x,则AE=9﹣x,
在直角三角形AED中,(9﹣x)2+32=x2,解得x=5,
∴E(4,3),F(5,0),
EF=
,(9分)
直线EF的解析式为y=﹣3x+15.(12分)
例3解:
(1)①
=72°,
∴正五边形是旋转对称图形,它有一个旋转角为144°,说法正确;
②
=90°,
∴长方形是旋转对称图形,它有一个旋转角为180°,说法正确;
(2)①正三角形的最小旋转角为
=120°;
②正方形的最小旋转角为
=90°;
③正六边形的最小旋转角为
=60°;
④正八边形的最小旋转角为
=45°;则有一个旋转角为120°的是①③.
(3)
=72°,
则正五边形是满足有一个旋转角为72°,是轴对称图形,但不是中心对称图形;正十边形有一个旋转角为72°,既是轴对称图形,又是中心对称图形.
例4解:
(1)通过图象观察和题意EA、HD、GC、FB分别是方砖TPQR四边的中垂线,且四边形HEFG是正方形就可以得出方砖TPQR面上的图案是轴对称图形,又是中心对称图形.
(2)设小沟槽EA的长是xcm,则EG的长度为24﹣2x.
∵四边形HEFG是正方形,
∴HE=HG,∠GHE=90°,
∴HE2+HG2=EG2.
∴2HE2=(24﹣2x)2,
∴HE2=2x2﹣48x+288.
∵,
∴,
解得:
x1=12+4(舍去),x2=12﹣4
.
∴EA=12﹣4.故答案为:
C.
演练方阵
A档(巩固专练)
1、解:
点M(1,2)关于原点的对称点M′的坐标为(﹣1,﹣2),
故答案为:
(﹣1,﹣2).
2、解:
如图所示:
∵点A与双曲线y=
上的点B重合,点B的纵坐标是1,
∴点B的横坐标是
,
∴OB=
=2,
∵A点可能在x轴的正半轴也可能在负半轴,
∴A点坐标为:
(2,0),(﹣2,0).故答案为:
2或﹣2.
3、解:
由平面直角坐标系可得A(3,1),向下平移4个单位后可得对应点的坐标为(3,﹣3),再将它绕原点O旋转180°可得对应点坐标为A′(﹣3,3),
故答案为:
(﹣3,3).
4、解:
点P(5,﹣3)关于原点对称的点的坐标是(﹣5,3).故答案为:
(﹣5,3).
5、解:
连接AD,
∵将△ABC绕点P旋转180°得到△DEF,
∴点A旋转后与点D重合,
∵由题意可知A(0,1),D(﹣2,﹣3)
∴对应点到旋转中心的距离相等,
∴线段AD的中点坐标即为点P的坐标,
∴点P的坐标为(
,
),即P(﹣1,﹣1).故答案为:
(﹣1,﹣1).
6、解:
①②当x变为﹣x时,y变为﹣y,可见,(x,y)对应点为(﹣x,﹣y),可见,函数图象是中心对称图形,不是轴对称图形,故②正确,①错误;
③当x>0时,函数图象有最低点,故函数有最小值,故本选项正确;
④将点(1,4)代入解析式,等式成立,点(1,4)在函数图象上,故本选项正确:
⑤当x=1和x=3时,y=4,可见,0<x<1或x>3时,y>4,故本选项错误;故答案为②③④.
7、解:
∵①此图形是中心对称图形,也是轴对称图形,故此选项正确;
②此图形不是中心对称图形,但是轴对称图形,故此选项错误;
③此图形不是中心对称图形,但是轴对称图形,故此选项错误;
④此图形不是中心对称图形,也不是轴对称图形,故此选项错误.故答案为:
①.
8、解:
∵2011÷3=670…1,第一次变换是各对应点关于x轴对称,点A坐标是(a,b),
∴经过第2011次变换后所得的A点坐标是(a,﹣b).故答案为(a,﹣b).
9、解:
10、解:
(1)∵A(﹣1,5),
∴点A关于原点O的对称点A′的坐标为(1,﹣5).
∵B(4,2),
∴点B关于x轴的对称点B′的坐标为(4,﹣2).
∵C(﹣1,0),
∴点C关于y轴的对称点C′的坐标为(1,0).故答案分别是:
(1,﹣5),(4,﹣2),(1,0).
(2)如图,∵A′(1,﹣5),B′(4,﹣2),C′(1,0).
∴A′C′=|﹣5﹣0|=5,B′D=|4﹣1|=3,
∴S△A′B′C′=A′C′•B′D=×5×3=7.5,即
(1)中的△A′B′C′的面积是7.5.
11、证明:
∵△ABO与△CDO关于O点中心对称,
∴OB=OD,OA=OC,
∵AF=CE,
∴OF=OE,
∵在△DOF和△BOE中
∴△DOF≌△BOE(SAS),
∴FD=BE.
12、解:
(1)如图,B1、C1、D1的坐标分别为:
B1(2,﹣1),C1(4,0),D1(3,2);
(2)根据勾股定理,AC1=
=
,
∴线段AC1的长度与点D1的横坐标的差是
﹣3,
∴(
﹣3)2+(﹣3)a+1=0,
整理,10﹣6
+9+(﹣3)a+1=0,
∴(
﹣3)a=﹣20+6,解得a=﹣2
.
故答案为:
(1)B1(2,﹣1),C1(4,0),D1(3,2);
(2)a=﹣2
.
13、解:
(1)点A的坐标是(﹣2,0),点C的坐标是(1,2).
(2)连接AC,在Rt△ACD中,AD=OA+OD=3,CD=2,
∴AC2=CD2+AD2=22+32=13,
∴AC=
.
14、解:
(1)根据图形,可得出A的坐标为(﹣1,2),C的坐标为(0,﹣1),故AC的长等于
=
;
(2)根据图形,可得出A的坐标为(﹣1,2),B的坐标为(3,1),
C的坐标为(0,﹣1),将△ABC向右平移2个单位得到△A'B'C',则A点的对应点A'的坐标是(1,2);
(3)根据旋转的规律,把△OAB的绕点O按逆时针方向旋转90°,就是把它上面的各个点按逆时针方向旋转90°,
可得A1的坐标为(﹣3,﹣2).
15、
解:
(1)点C1、C2的坐标分别为(3﹣
,﹣2)、(3﹣
,2).
(2)能通过一次旋转将△ABC旋转到△A2B2C2的位置,所旋转的度数为180°;
(3)①当△ABC向上平移2个单位时,△A1B1C1与△A2B2C2完全重合,此时点C的坐标为(﹣3+
,0)(如图1);
②当α=180时,△A1B1C1与△A2B2C2完全重合,此时点C的坐标为(﹣3﹣
,0)(如图2).16、解:
∵∠AOB=90°,OA=3,OB=4,
∴AB=
=
=5,
根据图形,每3个图形为一个循环组,3+5+4=12,
所以,图⑨的直角顶点在x轴上,横坐标为12×3=36,所以,图⑨的顶点坐标为(36,0),
又∵图⑩的直角顶点与图⑨的直角顶点重合,
∴图⑩的直角顶点的坐标为(36,0).故答案为:
(36,0).
17、解:
(1)延长FD到G,使得DG=DF,连接BG、EG.
(或把△CFD绕点D逆时针旋转180°得到△BGD),
∴CF=BG=DF=DG,
∵DE⊥DF,
∴EF=EG.
在△BEG中,BE+BG>EG,即BE+CF>EF.
(2)若∠A=90°,则∠EBC+∠FCB=90°,由
(1)知∠FCD=∠DBG,EF=EG,
∴∠EBC+∠DBG=90°,即∠EBG=90°,
∴在Rt△EBG中,BE2+BG2=EG2,
∴BE2+CF2=EF2.
18、解:
(1)探究一:
∵点A(3,1),连接OA,平移线段OA,使点O落在点B.设点A落在点C,若点B的坐标为(1,2),
则C的坐标为(4,3),如图1所示:
探究二:
∵将线段OA绕点O逆时针旋转90度,设点A落在点D.
则点D的坐标是(﹣1,3),如图2所示;
(2)∵四点O(0,0),A(a,b),C,B(c,d),顺次连接O,A,C,B.
①若所得到的四边形为平行四边形,那么OA∥CB,
∴OA平移到OB的位置,
点C的坐标为(a+c,b+d);
②若所得到的四边形是正方形,
那么根据正方形的性质可以得到a=d且b=﹣c或b=c且a=﹣d.19、解:
P1(1,0);
∵等边△OAP的高为边长的
倍,
∴P3(,
);
∵从P1开始,根据图形的旋转可得每三次翻转后和原来的状态一样,
∴100=3×33+1,
∴P100的纵坐标为0,横坐标为100,
∴P100(100,0);
∵2007=3×669,
∴P2007的纵坐标为
,横坐标=2005+1.5=2006.5.
∴P2007(2006.5,
).
20、解:
(1)∵矩形COAB绕点C顺时针旋转60度的角,得到矩形CFED,
∴∠BCD=60°,CB=CD,
∴△CBD为等边三角形;
(2)∵A(0,4)、C(8,0),
∴OA=BC=4,OC=AB=8,
设AH=HC=x,则BH=8﹣x,CB=4,在Rt△CBH中,
∵CH2=BH2+BC2,
∴x2=(8﹣x)2+42,解得x=5,
∴H点的坐标为(5,4),
设直线FC的解析式为y=kx+b,
把C(8,0)、H(5,4)代入得,解得,
∴直线FC的解析式为.
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