中心对称教学案.docx
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中心对称教学案
中心对称(第一课时)
【目标导航】
1.知道中心对称的槪念,能说出中心对称的定义和关于中心对称的两个图形的性质.
2.会画与已知图形关于一点成中心对称的图形.
3.了解中心对称与中心对称图形的联系与区别.
【要点梳理】
与中心对称有关的概念
把一个图形绕着某一个点旋转180。
,如果它能够与另一个图形重合,那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称,这个点叫做对称中心.这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点•
例1如图,四边形ABCD绕D点旋转180°,请作岀旋转后的图案,写出作法并回答.
(1)这两个图形是中心对称图形吗?
如果是对称中心是哪一点?
如果不是,请说明理由.
(2)如果是中心对称,那么A、B、C、D关于中心的对称点分別是哪些点.
解析:
⑴延长AD到A',使A'D=AD,延长CD到C,使CD=CD,连接BD并延长到B',使BfD=BD,连接AE,BC,则四边形ABCD,这两个图形是中心对称图形,对称中心是D点.
(2)A、B、C、D关于对称中心的对称点分别是A'.3',C'.D.
活动与探究(见课本P69)
中心对称的性质
1.关于中心对称的两个图形,对称点所连线段都经过对称中心,而且被对称中心所平分.
2.关于中心对称的两个图形是全等图形.
注意:
中心对称是一种特殊的旋转一一旋转角为180°,因此,它具备旋转的所有性质.
例2
(1)下列命题正确的是()
A.两个全等三角形必关于某一点中心对称.
B.关于中心对称的两个三角形不一定是全等三角形.
C.两个三角形对应点连线都经过同一点,这两个三角形关于该点成中心对称.
D.关于中心对称的两个三角形,对称点连线都经过对称中心.
答案:
D
(2)右图中,AABC与AA'B'C'关于点O成中心对称,下列结论中不成立
的是()V
A.OC=OC'B.OA=OA'入・
C.BC=B'C*D.ZABC=ZA,CB',/\°%
答案D
例3如图,已知ZvlBC•和点0,画岀△48C',使和zMBC关于点0成中心对称.
0
解析:
连接A0并延长到/V,使AO=AO;连接B0并延长到使B0二30;连接CO并延长,使CO=CO,连接AfB\BC,AC,则△AN'C为所求作的三角形
练习:
如图,已知四边形ABCD和BC边上一点0,画出四边形ABCD关于0点的对称图形.
作法:
连接AO并延长到/V使OA=OA\连接DO并延长到D\^OD=ODr连接BD\DfA\AfC^边形BDfA!
C就是所要画的四边形
例4如图,点0是矩形ABCD的对称中心,过点0任意作直线/,并过点B作B£丄/于
E、过点D作DF丄/于F,求证:
BE=DF.
O
解析:
连接不到,因为点0是矩形ABCD的对称中心,即对角线的交点,所以OB=OD,ZOFD=ZOEB、ZFOD=ZEOB,所以△B0E9AF0D,所以BE=DF
练习:
如图,在AABC中,D是AB的中点,E、F分别是AUBC上的点,且丄DF.
:
*y)EF<*\*de+*mf•
中心对称图形的概念
把一个图形绕着某一个点旋转180°,如果旋转后的图形能够与原来的图形重合,那么这个图形叫做中心对称图形,这个点就是它的对称中心.
注意:
中心对称是指两个图形的特殊位置关系,而中心对称图形只对某一图形而言.
例51.下列图形中是中心对称图形的有.(只填序号)
(1)线段;
(2)角;(3)等边三角形;(4)平行四边形:
(5)菱形;(6)矩形;
(7)正方形.
•答案:
(1),(4),(5),(6),(7)
2.等边三角形、矩形、菱形和圆中,既是轴对称图形又是中心对称的图形是•
答案:
矩形、菱形和圆练习:
1.下列图形中是中心对称图形的是()
*X
A・D・C.
答案:
D
2.(2011山东泰安,3,3分)下列图形:
3.如图,是我国古代数学家赵爽所著的《勾股圆方图注》
【答案】B
【答案】C
5•如图,是由两个半圆组成的图形,已知点〃是AC的中点,画出此图形关于点B成中心对
C
答案:
所画图形由两部分组成:
一是以BC为直径的半圆(在线段BC的下方:
,二是以AC为直径的半圆(在线段AC的下方部分).
6.如图,过6BCD的对角线的交点O作两条互相垂直的直线GH、分别与口4BCD的四条边交于E、F和G、H,求证:
四边形EGFH为菱形.
解析:
•由OD=OB.ZHOD=ZGOB、/HDO=ZGBO,所以△BGO9ADHO,所以OH=OG
同理
OE=OF,所以四边形EGFH是平行四边形,又因为£尸丄HG、所以四边形EGFH为菱形.
7.如图,AABC中A(-2,3),B(-3,l),C(-l,2).
(1)将△ABC向右平移4个单位长度,
画岀平移后的AAiBiCi;
(2)画出△ABC关于兀轴对称的ZM2B2C2:
(3)将厶48(7绕原点O旋转180,画出旋转后的△/USa;
(4)在厶A/iC],△A2B2C2,△A3B3C3中,
△与厶轴对称,对称轴是:
△与厶中心对称,对称中心的坐标是.
•解析:
(1)
(2)(3)图形如图所示
(4)^AiBzCi与厶知8忆3成轴对称,对称轴是y轴;4ABC与SBC成中心对称,对称中心是(0,0)
8.在平面内,如果一个图形绕一个左点旋转一泄的角度后能与自身重合,那么就称此图形是
族转对称图形.转动的这个角称为此图形的一个旋转角.例如:
正方形绕着它的对角线的交点旋转90°后能与自身重合,所以正方形是旋转对称图形,它有一个旋转角为90°.
(1)判断下列命题的真假(在括号内填上“真”或“假”)
1等腰梯形是旋转对称图形,它有一个旋转角为180°.()
2矩形是旋转对称图形,它有一个旋转角为180°.()
<2)下列图形中是旋转对称图形,且有一个旋转角为120°的是(填序号):
①正三角形;②正方形:
③正六边形;④正八边形.
(3)写出两个多边形,它们都是旋转对称图形,都有一个旋转角为72°,且分别满足下列条件:
1是轴对称图形,但不是中心对称图形:
•
2既是轴对称图形,又是中心对称图形:
•
答案
(1)①假,②真;
(2)①,③;(3)①正五边形,②正十边形.
9.如图,耙矩形OABC放置在直角坐标系中,04二6,OC二8,若将矩形折叠,使点B与O重合,得到折痕EF.
(1)可以通过,使四边形AEFO变到四边形CFEB的位置(填“平移”、“旋转”或“翻转”);
(2)求点E的坐标;
(3)若直线/把矩形OABC的而积分成相等的两部分,则直线/必经过的点的坐标是什么?
解析:
(1)旋转,
(2)连接0E,EF是0B的垂直平分线,AE二BE,设AE二x,则
OE=BE=8—x,在RtAAOE中由勾股定理,©-尤尸=F+6?
解得
77
%=所以a(6,-),
(2)直线1必定经过0B的中点,其坐标为(3,4)
44
中心对称(第二课时)
【目标导航】
1.了解中心对称与中心对称图形的联系与区别.
2.了解图形之间的平移、轴对称、旋转等变换,并运用它们解决简单的问题.
3.利用平移、轴对称、旋转等图形变换中的一种或它们的组合设计图案.
【复习引领】
中心对称的性质:
1.关于中心对称的两个图形,对称点所连线段都经过对称中心,而且被对称中心所平分.
2.关于中心对称的两个图形是全等图形.
中心对称与中心对称图形的联系与区别.
【要点梳理】
关于原点对称的点的坐标特征:
两个点关于原点对称时,它们的坐标符号相反,即点P(x,y)关于原点0的对称点为
P(-x,-y)•
例1
(1)已知点A(2a-1,3)与点B(2,b+1)关于原点成中心对称,求a和方的值;
⑵已知点P(a-1,/-9)在x轴的负半轴上,求P点关于原点对称的点的坐标:
⑶若点P(—l-2偽2“-4)关于原点对称的点在第一象限内,则"的整数值是多少?
解析:
(1)2“一1=一2,b+l=-3解得a=-丄,b=i
2
(2)根据题意知,9=0且«-1<0,所以a=—3,P点的坐标为(40)它关于原点
对称的店的坐标为(4.0)
一1一2dv01
(3)根据题意P点在第三象限,所以{,解得一一V"<2
2d-4v02
例2如图,把边长为2cm的正方形剪成四个全等的直角三角形,请用这四个直角三角形拼成符
合下列要求的图形(全部用上互不重叠)
(1)既是中心对称又是轴对称的四边形.(不是正方形)
(2)是中心对称但不是轴对称的四边形.
(3)既不是中心对称也不是轴对称的四边形.
(4)
旋转90°能与本身重合的旋转对称图形.
答案:
(1)拼成矩形,
(2)拼成平行四边形,(3)答案不唯一,(4)拼成一个矩形
例3如图,把正方形ACFG与RtAACB按如图(甲)所示重叠在一起,苴中AC二2,ZBAU60。
若把RtAACB绕直角顶点C按顺时针方向旋转,使斜边AB恰好经过正方形ACFG的顶点
人得AB分别与AfC9AfBf相交于D、E,如图(乙)所示.
®^ACB至少旋转多少度才能得到△A'3'C'?
说明理由.
②求ZVICB与△48C的重叠部分(即四边形CDEF)的而积.
(2)AC=2,ZBAC=60°,所以ZB二30。
AB二4,由勾股立理,BC二2馆,又ZACD二30°,所以AB
丄CD,所以CD=y/39=2-V3,AAfDE^>AABC.SMBC
=y/3,所以
c_7V3-12石。
^1/VD£=IIIJ^^ACF
7用一125
四边形CDEF的面积一一-一-=6一一V3
22
例4如图,在6x6的方格纸中,给出如下三种变换:
P变换,Q变换,R变换.将图形F沿x轴向右平移1格得图形人,称为作1次P变换:
将图形F沿y轴翻折得图形竹,称为作1次Q变换:
将图形F绕坐标原点顺时针旋转90得图形F.,称为作1次R变换.
规泄:
P0变换表示先作1次0变换,再作1次P变换:
QP变换表示先作1次P变换,再依1次0变换:
R"变换表示作〃次尺变换.解答下列问题:
(1)作尺“变换相当于至少作次Q变换;
(2)请在图2中画出图形F作R200?
变换后得到的图形厲:
(3)PQ变换与0P变换是否是相同的变换?
在图3中画岀P0变换后得到的图形4,在图4中画出0P变换后得到的图形E.
7
00
2换)?
转
2
3
【课后盘点】
1.点(-1,4)关于原点对称的点的坐标(
A・(一1,-4)B・(b-4)
答案B
)
C・(1,4)
D.(4,-1)
2.(2011ill13.3「「•APQR_MBC经过某种变换后得到的图形.如果44BC
中任意一点M的坐标为(a,b),加么它的对屁点N的坐标为
4
4
7
1
c
/
B
■
4
3・
2・
10
1
1上
妙
/
、
、
、
-1
/一r,-
0
-□
(第13題)
【答案】<-a,-b);
3•在直角坐标系中,
点A(l,2)的横坐标乘以纵坐标不变,得到点则人与A的
关系是()
A.关于x轴对称B.关于y轴对称
C.关于原点对称D.将A点向x轴负方向平移一个单位得到A点
答案B
4.(2011山东莱芜,2,3分)以下多边形中既是轴对称图形,又是中心对称图形的是()
A.正五边形B.矩形C.等边三角形D.平行四边形
【答案】B
5•如图,若将AABC绕点C顺时针旋转90°后得到则点A的对应点A的坐标是.
答案(3,0)
6.如图,心眈和都是等腰直角三角形,ZACB和ZADE都是直角,点C在胚上,
△4BC绕着人点经过逆时针旋转后能够与重合得到图
(1),再将图
(1)作为“基本图
形”绕着A点经过逆时针连续旋转得到图
(2),两次旋转的角度分别为・
(第3题)
答案45°,90°,180°,270°・
(1)
(第4题)
7.(2011广西梧州,18,分)如下图,
在平而直角坐标系中,对AABC进行循环往复的轴对
称或中心对称变换,若原来点A坐标是(a,b),则经过第2011次变换后所得的A点坐
标是■
'A
^/\c
—
厶
1
0
x0
X0
X0
\7
第1次r
第2次*
第3次
第4次r
关于X轴对称
关于原点对称
关于y轴对称
关于x轴对称
【答案】
a—〃)
8•拼图与设计:
(1)如图,四边形ABCD是一位师傅用地板砖铺设地板尚未完工的地板图形,为了肖省材
料,他准备在剩余的六块砖中伽图2所示①②®®⑤⑥)挑选若干块进行铺设,请你在下列网格纸上帮他设计3种不同的铺法示意图.
⑵师傅想用
(1)中的④号砖四块铺设一个中心对称图形,请你把设计的图形画在下而10x10的方格中.(要求:
以点O为对称中心)
(1)只要能拼出所给形状的图形即可,
(2)拼成一个平行四边形即可.
9•如果将点P绕宦点M旋转180。
后与点Q重合,那么称点P与点Q关于点M对称,左点M叫做对称中心•此时,M是线段PQ的中点.
如图,在直角坐标系中,AABC的顶点A、B、O坐标分别为(1,0).(0,1)、(0,0)•点列戸、
P“P,…,中的相邻两点都关于zMBO的一个顶点对称:
点凡与点D关于点A对称,点D与点丹关于点B对称,点A与几关于点O对称,点人与点P5关于点A对称,点2与点几关于点B对称,点几与点P?
关于点O对称,…,对称中心分别是儿B,O,A,B.O.…,且这些对称中心依次循环.已知点凡的坐标是(1,1),试求出点A.P"P】(X)的坐标・
(1,
),P4(1,-3),P5(1,3),P6(-1,-1)P7(1,1)
-3)
10.(2011黑龙江绥化・6分V小题;卜小方侪都足也长为1个单位
.1龙的小正方形,
(1)将AABC向,移3个哄位氏度•间;l;T:
移拆的△ABC:
(2)将厶
ABC绕点O旋转180°,画出旋转后的(3〉丽出•条直线将△AC"的而枳分成相等的两部分.
11•已知:
如图,A(0,1)是y轴上一泄点,B是x轴上一动点,以AB为边,在ZOAB的外部作ZBAE=ZOAB,过B作BC丄AB,交AE于点C・
(1)当B点的横坐标为迺时,求线段AC的长:
3
(2)当点B在x轴上运动时,设点C的横、纵坐标分别为八y,试求y与x的函数关系式(当点B运动到0点时,点C也与0点重合):
(3)设过点P(0,-1)的直线/与⑵中所求函数的图象有两个公共点M心],VI).M2(X2,V2),且xr+x22—6(xi+.¥2)=8,求直线/的解析式.
二初,则ZOAB=30°
3
设BC=x,贝I]AC=2x,
根据勾股定理,x2+(-V3)2=(2a)2x=-,所以AC=-
(2)过C点作CD丄BE,垂足为D,BM丄AE垂足为M,容易证明BC是ZMBD的平分线,
£.
•r-\ip.1[
所以OB=BM=BD△AOBsBDC,所以^―=一•丄=2—,整理得,y=-x2(x>0)
BDOA114
—x
2
y=kx-1
(3)设点P(0,一1)的直线的解析式为y=kx^\.1.,-x2-kx+\=Q
y=—4
L4
一元二次方程有两根,xx+x2=4k,X|X2=4,由xi2+a*22—6(xj+x2)=8,得
(x{+x2)2-2x}x2一6(旺+x2)=81(4k)2-2x4—6x4上=8,解得人=一丄,k2=2
2
而Lx2-kx+\=0有实数根,(一幻2—4x丄xino,k2>\,所以只能取k=2,直线的解
44
析式式为y=2x—i
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