中考专题训练六几何探索型问题.docx
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中考专题训练六几何探索型问题
中考专题训练六几何探索型问题
第1课时几何计算与证明
例1已知等腰Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,点G在BC上,连接AG,过C作CF⊥AG,垂足为点E,过点B作BF⊥CF于点F,点D是AB的中点,连接DE、DF.
(1)若∠CAG=30°,EG=1,求BG的长;
(2)求证:
∠AED=∠DFE.
例2如图,已知正方形ABCD,点E是BC上一点,点F是CD延长线上一点,连接EF,若BE=DF,点P是EF的中点.
(1)求证:
DP平分∠ADC;
(2)若∠AEB=75°,AB=2,求△DFP的面积.
例3如图,正方形ABCD中,E为AB边上一点,过点D作DF⊥DE,与BC延长线交于点F.连接EF,与CD边交于点G,与对角线BD交于点H.
(1)若正方形边长为1,BF=BD,求AE的长;
(2)若∠ADE=2∠BFE,求证:
FH=HE+HD.
中考达标训练
1、如图,在平行四边形ABCD中,AC是对角线,∠ACD=90°,点E是BC的中点,AF平分∠BAC,CF⊥AF于点F,连接EF。
(1)求证:
∠AFE=∠CFE;
(2)过点B作BG⊥AF分别交AF、AC于点H、G,求证:
2、(2015重庆南开)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足为D,E是CB上一点,且CE=AC,EF⊥CD,垂足为F。
(1)求证:
AD=CF;
(2)若G是AE的中点,连接GD、GF,求证:
GD⊥GF。
3、等腰Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,点G是BC上一点,CF⊥AG于E,BF⊥CF,D为AB中点,连接DF.
(1)求证:
△AEC≌△CFB;
(2)求证:
EF=
DF.
4、(2015重庆南开)如图,正方形ABCD中,E,F为边BC上的点,且BE=CF,连结BD,DE,过点C作CH⊥DE于G,交BD于H,连结FH
(1)若AB=3,BE=1,求CG的长度;
(2)求证:
∠DEC=∠HFB.
第2课时几何变换探究
例1(2015山东潍坊)如图1,点O是正方形ABCD两对角线的交点,分别延长OD到点G,OC到点E,使OG=2OD,OE=2OC,然后以OG、OE为邻边作正方形OEFG,连接AG,DE.
(1)求证:
DE⊥AG;
(2)正方形ABCD固定,将正方形OEFG绕点O逆时针旋转α角(0°<α<360°)得到正方形OE′F′G′,如图2.
①在旋转过程中,当∠OAG′是直角时,求α的度数;
②若正方形ABCD的边长为1,在旋转过程中,求AF′长的最大值和此时α的度数,直接写出结果不必说明理由.
例2(2014湖北宜昌)在矩形ABCD中,
=a,点G,H分别在边AB,DC上,且HA=HG,点E为AB边上的一个动点,连接HE,把△AHE沿直线HE翻折得到△FHE.
(1)如图1,当DH=DA时,
①填空:
∠HGA= 度;
②若EF∥HG,求∠AHE的度数,并求此时a的最小值;
(2)如图3,∠AEH=60°,EG=2BG,连接FG,交边DC于点P,且FG⊥AB,G为垂足,求a的值.
中考达标训练
1、在正方形ABCD中,BD是一条对角线,点P在射线CD上(与点C、D不重合),连接AP,平移△ADP,使点D移动到点C,得到△BCQ,过点Q作QH⊥BD于H,连接AH,PH.
(1)若点P在线段CD上,如图1.
①依题意补全图1;
②判断AH与PH的数量关系与位置关系并加以证明;
(2)若点P在线段CD的延长线上,且∠AHQ=152°,正方形ABCD的边长为1,请写出求DP长的思路.(可以不写出计算结果)
2、(2015重庆南开)如图1,在正方形ABCD中,点E为边BC上一点,将△ABE沿AE翻折得△AHE,延长EH交边CD于F,连接AF.
(1)求证:
∠EAF=45°;
(2)若AB=4,F为CD的中点,求tan∠BAE的值;
(3)如图2,射线AE、AF分别交正方形两个外角的平分线于M、N,连接MN,若以BM、DN、MN为三边围成三角形,试猜想三角形的形状,并证明你的结论.
3、(2015重庆一中)已知:
在△AOB与△COD中,OA=OB,OC=OD,∠AOB=∠COD=90°.
(1)如图1,点C、D分别在边OA、OB上,连结AD、BC,点M为线段BC的中点,连结OM,请直接写出线段AD与OM之间的数量关系和位置关系是;
(2)如图2,将图1中的△COD绕点O逆时针旋转,旋转角为α(0°<α<90°).连结AD、BC,点M为线段BC的中点,连结OM.请你判断
(1)中的两个结论是否仍然成立.若成立,请证明;若不成立,请说明理由;
(3)如图3,将图1中的△COD绕点O逆时针旋转到使△COD的一边OD恰好与△AOB的边OA在同一条直线上时,点C落在OB上,点M为线段BC的中点.请你判断
(1)中线段AD与OM之间的数量关系是否发生变化,写出你的猜想,并加以证明.
4、(201重庆南开)如图1,▱ABCD中,AE⊥BC于E,AE=AD,EG⊥AB于G,延长GE、DC交于点F,连接AF.
(1)若BE=2EC,AB=
,求AD的长;
(2)求证:
EG=BG+FC;
(3)如图2,若AF=5
,EF=2,点M是线段AG上的一个动点,连接ME,将△GME沿ME翻折得△G′ME,连接DG′,试求当DG′取得最小值时GM的长.
第3课时动点问题探究
例1(2015重庆一中)已知在四边形ABCD中,∠ABC+∠ADC=180°,AB=BC.
(1)如图1,若∠BAD=90°,AD=2,求CD的长度;
(2)如图2,点P、Q分别在线段AD、DC上,满足PQ=AP+CQ,求证:
∠PBQ=90°﹣
∠ADC;
(3)如图3,若点Q运动到DC的延长线上,点P也运动到DA的延长线上时,仍然满足PQ=AP+CQ,则
(2)中的结论是否成立?
若成立,请给出证明过程;若不成立,请写出∠PBQ与∠ADC的数量关系,并给出证明过程.
例2(2014山东烟台)在正方形ABCD中,动点E,F分别从D,C两点同时出发,以相同的速度在直线DC,CB上移动.
(1)如图①,当点E自D向C,点F自C向B移动时,连接AE和DF交于点P,请你写出AE与DF的位置关系,并说明理由;
(2)如图②,当E,F分别移动到边DC,CB的延长线上时,连接AE和DF,
(1)中的结论还成立吗?
(请你直接回答“是”或“否”,不须证明)
(3)如图③,当E,F分别在边CD,BC的延长线上移动时,连接AE,DF,
(1)中的结论还成立吗?
请说明理由;
(4)如图④,当E,F分别在边DC,CB上移动时,连接AE和DF交于点P,由于点E,F的移动,使得点P也随之运动,请你画出点P运动路径的草图.若AD=2,试求出线段CP的最小值.
中考达标训练
1、(2015沙坪坝区适应性考试)如图1,△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,AD⊥BC于点D,点E在AC边上,连接BE.
(1)若AF是△ABE的中线,且AF=5,AE=6,连结DF,求DF的长;
(2)若AF是△ABE的高,延长AF交BC于点G.
①如图2,若点E是AC边的中点,连结EG,求证:
AG+EG=BE;
②如图3,若点E是AC边的动点,连结DF,当点E在AC边上(不含端点)运动时,∠DFG的大小是否改变?
如果不变,请求出∠DFG的度数;如果改变,请说明理由.
2、(2014江苏扬州)已知矩形ABCD的一条边AD=8,将矩形ABCD折叠,使得顶点B落在CD边上的P点处.
(1)如图1,已知折痕与边BC交于点O,连结AP、OP、OA.
①求证:
△OCP∽△PDA;
②若△OCP与△PDA的面积比为1:
4,求边AB的长;
(2)若图1中的点P恰好是CD边的中点,求∠OAB的度数;
(3)如图2,
,擦去折痕AO、线段OP,连结BP.动点M在线段AP上(点M与点P、A不重合),动点N在线段AB的延长线上,且BN=PM,连结MN交PB于点F,作ME⊥BP于点E.试问当点M、N在移动过程中,线段EF的长度是否发生变化?
若变化,说明理由;若不变,求出线段EF的长度.
3、已知,在△ABC中,∠BAC=90°,∠ABC=45°,点D为直线BC上一动点(点D不与点B,C重合).以AD为边作正方形ADEF,连接CF
(1)如图1,当点D在线段BC上时.求证:
CF+CD=BC;
(2)如图2,当点D在线段BC的延长线上时,其他条件不变,请直接写出CF,BC,CD三条线段之间的关系;
(3)如图3,当点D在线段BC的反向延长线上时,且点A,F分别在直线BC的两侧,其他条件不变;
①请直接写出CF,BC,CD三条线段之间的关系;
②若正方形ADEF的边长为2
,对角线AE,DF相交于点O,连接OC.求OC的长度.
4、(2014黑龙江绥化)在菱形ABCD和正三角形BGF中,∠ABC=60°,P是DF的中点,连接PG、PC.
(1)如图1,当点G在BC边上时,易证:
PG=
PC.(不必证明)
(2)如图2,当点F在AB的延长线上时,线段PC、PG有怎样的数量关系,写出你的猜想,并给与证明;
(3)如图3,当点F在CB的延长线上时,线段PC、PG又有怎样的数量关系,写出你的猜想并给予证明。
第4课时图形背景变换探究
例1(2014山东威海)猜想与证明:
如图1,摆放矩形纸片ABCD与矩形纸片ECGF,使B、C、G三点在一条直线上,CE在边CD上,连接AF,若M为AF的中点,连接DM、ME,试猜想DM与ME的关系,并证明你的结论.
拓展与延伸:
(1)若将”猜想与证明“中的纸片换成正方形纸片ABCD与正方形纸片ECGF,其他条件不变,则DM和ME的关系为 .
(2)如图2摆放正方形纸片ABCD与正方形纸片ECGF,使点F在边CD上,点M仍为AF的中点,试证明
(1)中的结论仍然成立.
例2(2015重庆一中)在菱形ABCD中,∠A=60°,以D为顶点作等边三角形DEF,连接EC,点N、P分别为EC、BC的中点,连接NP
(1)如图1,若点E在DP上,EF与CD交于点M,连接MN,CE=3,求MN的长;
(2)如图2,若M为EF中点,求证:
MN=PN;
(3)如图3,若四边形ABCD为平行四边形,且∠A=∠DBC≠60°,以D为顶点作三角形DEF,满足DE=DF且∠EDF=∠ABD,M、N、P仍分别为EF、EC、BC的中点,请探究∠ABD与∠MNP的和是否为一个定值,并证明你的结论.
中考达标训练
1、如图1,在正方形ABCD的边BC的延长线上取线段CE,以CE为对角线作正方形CGEF(CG>BC),取线段AE的中点M,连结DM、FM、DF。
(1)若正方形ABCD和正方形CGEF的边长分别为1和
,求AE的长;
(2)延长FM,DC交于点H,求证:
FM²+MH²=DH²;
(3)如图2,若将正方形ABCD和正方形CGEF都改为菱形ABCD和菱形CGEF,且∠B=∠FCG,延长FM交CE于N,连接DN,其他条件不变,请你找出∠AMN,∠DNM,∠DAM之间的关系,并加上证明。
2、(2016重庆外语校)如图1,在正方形ABCD中,点E、F分别在AB上和AD和延长线上,且BE=DF,连接EF、CF、CE,G为EF的中点,连接BG。
(1)若CE=2,求EF的长;
(2)连接AC,求证:
BG垂直平分AC;
(3)如图2,在菱形ABCD中,点E、F分别在AB上和AD的延长线上,且BE=CF,连接EF,G为EF的中点,连接BG、CG,过F作FM∥DC交BC的延长线于H,那么
(2)中的结论还成立吗?
若成立,请加上证明,若不成立,请说明理由。
3、(2014山东临沂)【问题情境】
如图1,四边形ABCD是正方形,M是BC边上的一点,E是CD边的中点,AE平分∠DAM.
【探究展示】
(1)证明:
AM=AD+MC;
(2)AM=DE+BM是否成立?
若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由.
【拓展延伸】
(3)若四边形ABCD是长与宽不相等的矩形,其他条件不变,如图2,探究展示
(1)、
(2)中的结论是否成立?
请分别作出判断,不需要证明.
4、(2014河南)
(1)问题发现
如图1,△ACB和△DCE均为等边三角形,点A,D,E在同一直线上,连接BE.
填空:
①∠AEB的度数为 ;
②线段AD,BE之间的数量关系为 .
(2)拓展探究
如图2,△ACB和△DCE均为等腰直角三角形,∠ACB=∠DCE=90°,点A,D,E在同一直线上,CM为△DCE中DE边上的高,连接BE,请判断∠AEB的度数及线段CM,AE,BE之间的数量关系,并说明理由.
(3)解决问题
如图3,在正方形ABCD中,CD=
,若点P满足PD=1,且∠BPD=90°,请直接写出点A到BP的距离.
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- 中考 专题 训练 几何 探索 问题