强烈推荐吐血推荐全等三角形等腰三角形典型证明题62道含答案.docx
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强烈推荐吐血推荐全等三角形等腰三角形典型证明题62道含答案
)
含答案题(全等三角形证明经典62AD
AD是整数,求D是BC中点,1.已知:
AB=4,AC=2,A
C
B
D
AD=DEE,使解:
延长AD到BC中点∵D是BD=DC∴中ACD和△BDE在△AD=DE
ADC∠∠BDE=BD=DC
BDE≌△∴△ACDAC=BE=2∴中∵在△ABEAB+BE<<AEAB-BEAB=4
∵4+22AD<即4-2<3AD<1<AD=2∴
1ABCD?
是AB°,求证:
中点,∠ACB=90已知:
2.D
2A
D
B
C
AP,BP中点。
连接为CPDCD延长与P,使DP=DC,DA=DB∵为平行四边形ACBP∴ACB=90
又∠为矩形ACBP∴平行四边形AB=CP=1/2AB∴
2
∠CD中点,求证:
∠1=C=∠D,F是3.已知:
BC=DE,∠B=∠E,∠A
2
1
E
B
D
FC
EF
和证明:
连接BFEDF
∠∠BCF=∵BC=ED,CF=DF,)边角边全等于三角形EDF(∴三角形BCFDEF∠∠CBF=∴BF=EF,BE
连接,BF=EFBEF中在三角形BEF。
∠EBF=∠∴AED。
∠ABC=∠∵AEB。
∠ABE=∠∴
AB=AE。
∴
中ABF和三角形AEF在三角形AB=AE,BF=EF,
AEF∠AEB+∠BEF=∠ABE+∠EBF=∠∠ABF=全等。
和三角形AEF∴三角形ABF2)。
EAF(∠1=∠∠∴∠BAF=
EF=AC
,求证:
CD=DE,,EF//AB4.已知:
∠1=∠2A
21
F
C
D
E
B
GAD的延长线于点CG∥EF交作过CCGD=EF,可得,∠EFDCG∥DC
=DE(对顶角)=∠∠FDEGDCCGD≌△EFD∴△CG
=EF.
EFD=∠∠CGDAB∥又,EF1=∠∴,∠EFD2∠∠1=2
=∠∴∠CGDAGC为等腰三角形,∴△CGAC=CGEF=又
AC
EF=∴
C
B=2∠,AC=AB+BD,求证:
∠5.已知:
AD平分∠BAC
A
DE,连接AE=AC证明:
延长AB取点E,使BAC平分∠∵ADCAD=∠∴∠EADAD
=,AD∵AE=ACSAS)AED≌△ACD(∴△CE=∠∴∠AB+BDAC=∵AB+BDAE=∴AB+BE=∵AEBE=∴BDE
=∠∴∠BDEBDEE+=∠∠∵∠ABCE2∠∴∠ABC=C∠ABC=2∴∠
AE=AD+BE
°,求证:
D=180∠B+,∠AB⊥CE,BAD平分∠AC已知:
6.
证明:
CF=EB,连接F在AE上取,使EFAB∵CE⊥90°CEF∴∠CEB=∠=CE,∵EB=EF,CE=≌△CEF∴△CEB=∠CFE∴∠B°,∠CFE+∠CFA=180°180∵∠B+∠D=CFA∴∠D=∠AC∵平分∠BAD
∴∠DAC=∠FAC
∵AC=AC
(SAS)≌△∴△ADCAFCAF∴AD=BEAD++∴AE=AFFE=
AD
BC,D是中点,AD是整数,求AC=27.已知:
AB=4,A
C
B
D
AD=DE解:
延长AD使到E,中点∵D是BCBD=DC
∴和△BDE中在△ACD
AD=DE
∠BDE=∠ADC
BD=DC
∴△ACD≌△BDE
AC=BE=2
∴.
∵在△ABE中
AB-BE<AE<AB+BE
∵AB=4
即4-2<2AD<4+2
1<AD<3
∴AD=2
1AB?
CD°,求证:
AB已知:
D是中点,∠ACB=908.
A
D
CB
解:
延AEAD=DE
B中
BD=DC
ACBD
AD=DE
BDEADC
BD=DC
∴AC≌BDE
AC=BE=2
∵在△ABE中
AB-BE<AE<AB+BE
∵AB=4
即4-2<2AD<4+2
1<AD<3
∴AD=2
2
∠1=中点,求证:
∠CD是F,D∠C=,∠E∠B=,∠BC=DE已知:
9.
A
2
1
E
B
D
FC
。
BF和EF证明:
连接。
BCF=∠EDF∵BC=ED,CF=DF,∠。
边角边)三角形BCF全等于三角形EDF(∴。
∠DEF∴BF=EF,∠CBF=。
连接BE。
中,BF=EF在三角形BEFBEF。
∠EBF=∠∴AED。
∠ABC=∠又∵AEB。
∠ABE=∠∴
AB=AE。
∴
中,ABF在三角形和三角形AEFAB=AE,BF=EF,
。
BEF=∠AEF∠EBF=∠AEB+∠∠∠ABF=ABE+全等。
和三角形AEF∴三角形ABF2)。
EAF(∠1=∠∠∴∠BAF=
EF=AC
,求证:
CD=DE,,EF//AB10.已知:
∠1=∠2A
21
F
C
D
E
B
GAD的延长线于点CG∥EF交作过CCGD=EF,可得,∠EFDCG∥DC
=DE(对顶角)=∠∠FDEGDCCGD≌△EFD∴△CG
=EF.
EFD=∠∠CGDAB∥又EF1=∠∴∠EFD2∠∠1=2
=∠∴∠CGDAGC△为等腰三角形,∴CGAC=CG
EF=又
=AC∴EFC
B=2∠,AC=AB+BD,求证:
∠11.已知:
AD平分∠BACA
C
D
B
DE,连接AE=AC证明:
延长AB取点E,使BAC平分∠∵ADCAD=∠∴∠EADAD
=,AD∵AE=ACSAS)(AED≌△ACD∴△CE=∠∴∠AB+BDAC=∵AB+BDAE=∴AB+BE=∵AEBE=∴BDE
=∠∴∠BDEBDE∠=∠E+∵∠ABCE2∠∴∠ABC=C
∠ABC=2∴∠AE=AD+BE
°,求证:
∠,∠⊥,平分∠已知:
12.ACBADCEABB+D=180
在AE上取F,使EF=EB,连接CF
∵CE⊥AB
∴∠CEB=∠CEF=90°
∵EB=EF,CE=CE,
∴△CEB≌△CEF
∴∠B=∠CFE
∵∠B+∠D=180°,∠CFE+∠CFA=180°
∴∠D=∠CFA
∵AC平分∠BAD
∴∠DAC=∠FAC
又∵AC=AC
∴△ADC≌△AFC(SAS)
∴AD=AF
∴AE=AF+FE=AD+BE
12.如图,四边形ABCD中,AB∥DC,BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD,且点E在AD上。
求证:
BC=AB+DC。
EF,连接BC上截取BF=AB在ABC平分∠∵BEFBE∠∴∠ABE=BE=BE
又∵)(SAS∴⊿ABE≌⊿FBEBFE∠∴∠A=AB//CD
∵D=180oA+∴∠∠CFE=180o∵∠BFE+∠CFE
D=∠∴∠∠FCEDCE=又∵∠BCD平分∠CE
CE=CE
)(≌⊿FCEAAS∴⊿DCECD=CF
∴BC=BF+CF=AB+CD∴
C
∠F=,求证:
∠EF=BC,AF=CD,BDE∠EAB=,∠AB//ED已知:
13.
D
E
C
F
B
A
度,∠BDE+∠ABD=180AED=AB‖ED,得:
∠EAB+∠,∵∠EAB=∠BDEABD∴∠AED=∠,∴四边形ABDE是平行四边形。
∴得:
AE=BD,∵AF=CD,EF=BC,全等于三角形DBC,AEF∴三角形∠C。
∴∠F=C
B=∠A=已知:
AB=CD,∠∠D,求证:
∠14.
D
A
CB
的交点,当AD 设线段AB,CD所在的直线交于E(当点是射线AB,DC的交点)。 则: AD>BC时,E是等腰三角形。 △AEDAE=DE∴AB=CD 而BE=CE(等量加等量,或等量减等量)∴BEC是等腰三角形∴△C.∠∴∠B= PC-PB 平分线AD上一点,AC>AB,求证: 是∠15.PBACC A DP B E,AC在上取点AB使AE=。 AE=AB∵AP=AP BAE,∠EAP=∠BAPEAP≌△∴△PB。 ∴PE=PE EC+PC<PBAE)+∴PC<(AC-。 PB<AC-AB∴PC-AC-AB=2BE ,求证: ,BE⊥AEC16.已知∠ABC=3∠,∠1=∠2 证明: C角上取一点D,使得角DBC=AC在C ∠∵∠ABC=3;C=2∠CDBC=3ABD=∠ABC-∠∠C-∠∴∠C;∠C+∠DBC=2∵∠ADB=∠AB=AD ∴∴AC–AB=AC-AD=CD=BD 在等腰三角形ABD中,AE是角BAD的角平分线, ∴AE垂直BD ∵BE⊥AE ∴点E一定在直线BD上, 在等腰三角形ABD中,AB=AD,AE垂直BD ∴点E也是BD的中点 ∴BD=2BE ∵BD=CD=AC-AB ∴AC-AB=2BE 17.已知,E是AB中点,AF=BD,BD=5,AC=7,求DC D CF A E B ∵作AG∥BD交DE延长线于G ∴AGE全等BDE ∴AG=BD=5 ∴AGF∽CDF AF=AG=5 DC=CF=2∴BC.∠2,求证: AD⊥18.如图,在△ABC中,BD=DC,∠1= 解: 延长AD至BC于点E, ∵BD=DC∴△BDC是等腰三角形 ∴∠DBC=∠DCB 又∵∠1=∠2∴∠DBC+∠1=∠DCB+∠2 即∠ABC=∠ACB ∴△ABC是等腰三角形 ∴AB=AC 在△ABD和△ACD中 {AB=AC ∠1=∠2 BD=DC ∴△ABD和△ACD是全等三角形(边角边) ∴∠BAD=∠CAD ∴AE是△ABC的中垂线 ∴AE⊥BC ∴AD⊥BC 19.如图,OM平分∠POQ,MA⊥OP,MB⊥OQ,A、B为垂足,AB交OM于点N. 求证: ∠OAB=∠OBA 证明: ∵OM平分∠POQ ∴∠POM=∠QOM ∵MA⊥OP,MB⊥OQ ∴∠MAO=∠MBO=90 ∵OM=OM ∴△AOM≌△BOM(AAS) ∴OA=OB ∵ON=ON ∴△AON≌△BON(SAS) ∴∠OAB=∠OBA,∠ONA=∠ONB ∵∠ONA+∠ONB=180 ∴∠ONA=∠ONB=90 ∴OM⊥AB 的连线CE,E的平分线相交于CBA的平分线与∠ABP,∠BC∥AD分)如图,已知5(.20. .=AB.求证: AD+BC交AP于DF点,相交于做BE的延长线,与APPA//BC ∵CBA的角平分线BE均为∠PAB和∠∴∠PAB+∠CBA=180°,又∵,AE,EAB为直角三角形EBA=90°∴∠AEB=90°,∴∠EAB+∠PFAB的角平分线,且AE为∠在三角形ABF中,AE⊥BFCEAB=AF,BE=EF FAB为等腰三角形,∴三角形BEC中,在三角形DEF与三角形D,∠,∠DEF=CEB∠EBC=∠DFE,且BE=EFDF=BC为全等三角形,∴DEF与三角形BEC∴三角形BAAB=AF=AD+DF=AD+BC∴ BC=2∠=AC+CD,求证: ∠21.如图,△ABC中,AD是∠CAB的平分线,且AB A CBDEDAE=AC连接AC到E使延长AB=AC+CD∵CD=CE∴E∠可得∠B=CDE为等腰△BACB=2∠∠ ,于FBF⊥AC上的两个动点,且DE⊥AC于E,、22.(6分)如图①,EF分别为线段AC.AC于点MAF=CE,BD交若AB=CD,MFME=)求证: MB=MD,(1两点移动到如图②的位置时,其余条件不变,上述结论能否成立? 若成立、EF (2)当请给予证明;若不成立请说明理由. ,DF.)连接(1BE,于BF⊥ACF,⊥∵DEAC于E∥BF,°∴∠DEC=∠BFA=90,DE△BFA中,RtDECRt在△和,AB=CD,AF=CE∵. ),△BFA(HL∴Rt△DEC≌RtDE=BF.∴BEDF是平行四边形.∴四边形ME=MF;∴MB=MD,DF.)连接BE,(2F,⊥AC于⊥AC于E,BF∵DE,DE∥BF∴∠DEC=∠BFA=90°,中,Rt△BFA在Rt△DEC和,AF=CE,AB=CD∵,HL)≌Rt△BFA(DEC∴Rt△.∴DE=BF是平行四边形.∴四边形BEDF.,ME=MF∴MB=MDAB的中点,AE=,E为23.已知: 如图,DC∥AB,且DCEBC.1)求证: △AED≌△(的面积外,请再写出两个与△AED (2)观看图前,在不添辅助线的情况下,除△EBC(直接写出结果,不要求证明): 相等的三角形.A DOE BC 证明: AB ∵DC∥AED∴∠CDE=∠AEDC=∵DE=DE,EDCAED≌△∴△中点AB∵E为BE=∴AEDC=∴BEAB ∥∵DCBECDCE∴∠=∠CE ∵CE=EDC∴△EBC≌△EBCAED≌△∴△的延长BD的平分线,,AB=ACBD是∠ABC度,BACABC7.24(分)如图,△中,∠=90.F的延长线于BA交CE,直线E点的直线于C线垂直于过. BD求证: =2CE.F A ED证明: CB∵∠CEB=∠CAB=90° ∴ABCE四点共元 ∵∠ABE=∠CBE ∴AE=CE ∴∠ECA=∠EAC 取线段BD的中点G,连接AG,则: AG=BG=DG ∴∠GAB=∠ABG 而: ∠ECA=∠GBA(同弧上的圆周角相等) ∴∠ECA=∠EAC=∠GBA=∠GAB 而: AC=AB ∴△AEC≌△AGB ∴EC=BG=DG ∴BE=2CE 25、如图: DF=CE,AD=BC,∠D=∠C。 求证: △AED≌△BFC。 EFDCBA 证明: ∵DF=CE, ∴DF-EF=CE-EF, 即DE=CF, 在△AED和△BFC中, ∵AD=BC,∠D=∠C,DE=CF )SAS(BFC≌△AED∴△. 。 CF,BE=CFAMM,F点在上,BE∥AE26、(10分)如图: 、BC交于点的中线。 AM是△ABC求证: AFBCME 证明: CF ‖∵BEFCM∠,∠EBM=CFM∴∠E=∠BE=CF∵CFM≌△∴△BEMBM=CM ∴. ABC是△的中线∴AM。 BD的中点。 求证: ⊥ACABC分)如图: 在△中,BA=BC,D是AC、27(10ADBC ∵△ABD和△BCD的三条边都相等 ∴△ABD=△BCD ∴∠ADB=∠CD ∴∠ADB=∠CDB=90° ∴BD⊥AC BF=CF 的延长线上的一点。 求证: AD是F,DB=DC,AB=AC分)10(、28. ADCBF 中与△ACD在△ABDAB=AC BD=DC AD=AD ACDABD∴△≌△ADCADB=∠∴∠FDCBDF=∠∴∠FDC中在△BDF与△BD=DC FDC∠∠BDF=DF=DF FCD≌△∴△FBDBF=FC ∴。 AF=DE,CE=FB。 求证: AE=DF1229、(分)如图: AB=CD,ABFECD ∵AB=DC AE=DF, CE=FB CE+EF=EF+FB ∴△ABE=△CDF ABF ∠DCB=∵∠. AB=DCBF=CE CDE△△ABF=AF=DE ∴三段路CD,BC公园里有一条“30.Z”字形道路ABCD,如图所示,其中AB∥CD,在AB,恰MF=CF,M在BC的中点,试说明三只石凳E,,E旁各有一只小石凳,F,M,且BE. 好在一条直线上 EF证明: 连接CD∥∵ABC ∠∴∠B=∵M是BC中点BM=CM ∴在△BEM和△CFM中BE=CF CB=∠∠BM=CM SAS)≌△CFM(∴△BEMCF=BE∴.=,BEDF.求证: △ABE≌△CDF∥=CF已知: 31.点A、、E、在同一条直线上,AFCE,BEDF AF=CE,FE=EF.∵AE=CF.∴∵DF//BE,∠CFD(两直线平行,内错角相等)∴∠AEB=BE=DF∵∴: △ABE≌△CDF(SAS) 32.已知: 如图所示,AB=AD,BC=DC,E、F分别是DC、BC的中点,求证: AE=AF。 D E A F B ;连接BDAB=ADBC=D ∵;两角相加,∠ADC=∠ABCCDB=∴∠ADB=∠ABD∠∠ABD;是中点∵BC=DCE\F∴DE=BF;DE=BF∵AB=AD ABC∠ADC=∠∴AE=AF。 5=21=∠,∠3=∠4,求证: ∠∠6.ACABCD33.如图,在四边形中,E是上的一点,∠D 513AC462EB 证明: 中ADC,△ABC在△DCA∠,∠BCA=AC=AC,∠BAC=∠DAC∵∴△ADC≌△ABC(两角加一边) ∵AB=AD,BC=CD 在△DEC与△BEC中 ∠BCA=∠DCA,CE=CE,BC=CD ∴△DEC≌△BEC(两边夹一角) ∴∠DEC=∠BEC =.DEF△≌ABC△: 证求,CFAD且,上AF在C,D,EF∥BC,DE∥AB知.已34. AD=DF∵AC=DF∴DE∵AB//EDF∴∠A=∠EFBC又∵//BCA ∠∴∠F=)DEF(ASA∴△ABC≌△ ,求FE? AB,垂足分别为D、,BD、CE相交于点ACAC.35已知: 如图,AB=,BD? ,CE证: BE=CD.CD F E A 证明: AC⊥∵BD°∴∠BDC=90AB∵CE⊥°∴∠BEC=90∠BEC=90°∴∠BDC=AB=AC∵EBC∠∴∠DCB=BC=BC ∴AAS)(△≌△∴RtBDCRtBECBE=CD ∴. 36、如图,在△ABC中,AD为∠BAC的平分线,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F。 求证: DE=DF. A EF CBD 证明: ∵AD是∠BAC的平分线FAD∴∠EAD=∠AC⊥AB,⊥DF∵DE°BFD=∠CFD=90∴∠°与∠AFD=90∴∠AEDAFD中AED在△与△FADEAD=∠∠AD=AD AFD ∠∠AED=)AFD(AAS∴△AED≌△AE=AF ∴ AFO与△中在△AEOFAOEAO=∠∠AO=AO AE=AF SAS()AEO∴△≌△AFO°AOE=∴∠∠AOF=90EF ⊥AD∴ ? ? ? 的求AD.若AB=5,于A,BCAC=BC于C,DEADAC于E,AEAB37.已知: 如图, 长? A DE C B AB∵AD⊥ADE ∠BAC=∠∴E于DE⊥AC⊥BC于C,又∵AC度根据三角形角度之和等于180DAE ∠∠ABC=∴)(ASA,△ABC≌△DAE∵BC=AEAD=AB=5∴MB=MC ME=MF。 求证: E、F,,垂足分别为AB=AC,ME⊥AB,MF⊥AC38.如图: A FEBMC 证明: AB=AC∵C B=∠∴∠ACMF⊥⊥AB,∵ME°BEM=∴∠∠CFM=90中BME和△CMF在△ME=MF°C∠∠BEM=∠CFM=90∵∠B=)(AAS∴△BME≌△CMFMB=MC.∴CE? DE? D? ? ADBCAC? BD? C③②④39.如图,给出五个等量关系: ①? DAB? ? CBA.请你以其中两个为条件,另三个中的一个为结论,推出一个正确的结⑤论(只需写出一种情况),并加以证明. 已知: ①AD=BC,⑤∠DAB=∠CBA 求证: △DAB≌△CBA 证明: ∵AD=BC,∠DAB=∠CBA 又∵AB=AB ∴△DAB≌△CBA CDMNMN? BCAD? ACB? 90? AC? ,,直线经过点中,于,且,40.在△ABCCEMNADC? CEB? MNBE? 的位置时,旋转到图绕点求证: ①于1≌. (1);当直线BE? DE? AD②;CMN请给出证明;中的结论还成立吗? 若成立,(1绕点)旋转到图2的位置时, (2)当直线. 若不成立,说明理由 (1)BEC=90°,∠①∵∠ADC=ACB=∠BCE=90°.∠CBE=90°,∠ACD+∠∴∠CAD+∠ACD=90°,∠BCE+BCE.∴∠CAD=∠AC=BC,∵.≌△∴△ADCCEB,②∵△ADC≌△CEB.∴CE=AD,CD=BE.∴DE=CE+CD=AD+BE°,CEB=∠ACB=90 (2)∵∠ADC=∠∠ACD=CBE.∴∠又∵AC=BC,≌△CBE.∴△ACDCD=BE.,∴CE=ADBECD=AD﹣∴DE=CE﹣ BF)2EC⊥。 求证: AF=AC (1)EC=BF;(,,.如图所示,已知41AE⊥ABAF⊥ACAE=AB, F A E M C B AC,AB,AF⊥)∵(1AE⊥°,BAE=∠CAF=90∴∠,CAF+∠BAC∠∠∴∠BAE+BAC=,BAF∠EAC=即∠. 在△ABF和△AEC中, ∵AE=AB,∠EAC=∠BAF,AF=AC, ∴△ABF≌△AEC(SAS), ∴EC=BF; (2)如图,根据 (1),△ABF≌△AEC, ∴∠AEC=∠ABF, ∵AE⊥AB, ∴∠BAE=90°, ∴∠AEC+∠ADE=90°, ∵∠ADE=∠BDM(对顶角相等), ∴∠ABF+∠BDM=90°, 在△BDM中,∠BMD=180°-∠ABF-∠BDM=180°-90°=90°, ∴EC⊥BF. 42.如图: BE⊥AC,CF⊥AB,BM=AC,CN=AB。 求证: (1)AM=AN; (2)AM⊥AN。 AN 43FEM21CB 证明: (1) ∵BE⊥AC,CF⊥AB ∴∠ABM+∠BAC=90°,∠ACN+∠BAC=90° ∴∠ABM=∠ACN ∵BM=AC,CN=AB ∴△ABM≌△NAC ∴AM=AN (2) ∵△ABM≌△NAC ∴∠BAM=∠N ∵∠N+∠BAN=90° ∴∠BAM+∠BAN=90° 即∠MAN=90° ∴AM⊥AN 43.如图,已知∠A=∠D,AB=DE,AF=CD,BC=EF.求证: BC∥EF
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