动点轨迹问题.docx
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动点轨迹问题.docx
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动点轨迹问题
动点轨迹问题专题讲解
一•专题内容:
求动点P(x,y)的轨迹方程实质上是建立动点的坐标x,y之间的关系式,首先要分析形
成轨迹的点和已知条件的内在联系,选择最便于反映这种联系的坐标形式,寻求适当关系建
立等式,常用方法有:
(1)等量关系法:
根据题意,列出限制动点的条件等式,这种求轨迹的方法叫做等量关系法,利用这种方法时,要求对平面几何中常用的定理和解析几何中的有关基本公式很熟悉.
(2)定义法:
如果动点满足的条件符合某种已知曲线(如圆锥曲线)的定义,可根据其定义用待定系数法求出轨迹方程.
(3)转移代入法:
如果所求轨迹上的点P(x,y)是随另一个在已知曲线C:
F(x,y)0上
的动点M(Xo,yo)的变化而变化,且xo,yo能用x,y表示,即x°f(x,y),y°g(x,y),
则将xo,yo代入已知曲线F(x,y)0,化简后即为所求的轨迹方程.
(4)参数法:
选取适当的参数(如直线斜率k等),分别求出动点坐标x,y与参数的关系式,得出所求轨迹的参数方程,消去参数即可.
(5)交轨法:
即求两动直线交点的轨迹,可选取同一个参数,建立两动直线的方程,然后消去参数,即可(有时还可以由三点共线,斜率相等寻找关系)
注意:
轨迹的完备性和纯粹性!
一定要检验特殊点和线!
二.相关试题训练
(一)选择、填空题
1.()已知Fi、F2是定点,厅汀2|8,动点M满足|MFi||MF2|8,则动点M的
轨迹是(A)椭圆(B)直线(C)圆(D)线段
2.()设M(o,5),N(o,5),MNP的周长为36,贝UMNP的顶点P的轨迹方程是
(A)
2x
2
y
1(x
0)
(B)
2x
2
y1(x0)
25
169
144
169
(C)
2x
y2
1(y
0)
(D)
2x
2
y
1(y0)
169
25
169
144
3.与圆x2y24x0外切,又与y轴相切的圆的圆心轨迹方程是;
22
4.P在以F1、F2为焦点的双曲线——1上运动,则F1F2P的重心G的轨迹方程
169
5.已知圆C:
(x,'3)2y216内一点A(,30),圆C上一动点Q,AQ的垂直平
的内切圆圆心的轨迹方程是
40的距离少1,则点M的轨迹方程是
7.已知动点M到定点A(3,0)的距离比到直线x
.y212x
&抛物线y2x2的一组斜率为k的平行弦的中点的轨迹方程是
kk2
x4(y7)
当此直线绕焦点F旋转时,
9.过抛物线y24x的焦点F作直线与抛物线交于P、Q两点,弦PQ中点的轨迹方程为
解法分析:
解法1当直线PQ的斜率存在时,
设PQ所在直线方程为y
k(x1)与抛物线方程联立,
y2k(x°消去y得
y24x
2222
kx(2k4)xk0.
设P(Xi,yJ,Q(X2,y2),
PQ中点为M(x,y),则有
■2小
w%X2k2
x2
2
k2
yk(x1)2.
k
当直线PQ的斜率不存在时,易得弦
PQ的中点为F(1,0),也满足所求方程.
故所求轨迹方程为y2
2(x1).
解法2
设P(xi,yi),
Q(x2,y2),
2由y1y;
4x1,得(y1
4x2.
y2)(yiy2)
4(xiX2),设PQ中点为M(x,y),
X2时,有2y
「4,
x1x2
又kpQkMF
所以,
故所求轨迹方程为y22(x1).
即y22(x
(二)解答题
(定义法)
点,求直线卩几和QA2的交点M的轨迹.(交轨法)
4.已知点G是厶ABC的重心,
A(0,1),B(0,1),在x轴上有一点M,满足
umruurnuuunumr
|MA||MC|,GMABR
(1)求点C的轨迹方程;
(2)若斜率为k的直线I与点C的轨迹交于不同两点P、Q,且满
uuuuuir足|AP||AQ|,试求k的取值范围.
解:
(1)设C(x,y),则由重心坐标公式可得GCX,-).
33
M(?
0)-
1).(直接法)
uuuuuuu
GMAB,点M在x轴上,
uuuruuuu
|MA||MC|,A(0,1),
2
故点C的轨迹方程为—y21(y
(2)设直线|的方程为ykxb(b
3
1),P(X1,yJ、Q(X2,y2),PQ的中点为N.
ykxb,222
由22消y,得(13k)x6kbx3(b1)0.
x3y3.
222222
36kb12(13k)(b1)0,即13kb0.
b
UUUUULT
1AP||AQ|,
ANPQ,…kaN
1,即1
k
21
3k2
3kb
1
—,
k
13k2
2
13k2b,
又由①式可得2bb2
0,•0b
2且b1.
2
013k-
2
4且13k2,解得1
k1且k
3.
5.已知平面上两定点
故k的取值范围是1k1且k
UULTUUU
设其交点为Q,证明NQAB为定值.
UULTUUUU
MPMN4y8.
•••4y84,x2(y2)2.
整理,得x28y.
即动点P的轨迹C为抛物线,其方程为x28y.
22
点M的轨迹W的方程为务冷1(m1).
mm1
7.设x,yR,i,j为直角坐标系内x,y轴正方向上的单位向量,若向量axi(y2)j,
bxi(y2)j,且|a|\b\8.
(1)求点M(x,y)的轨迹C的方程;(定义法)
umruuuuuu
(2)过点(0,3)作直线l与曲线C交于A、B两点,设OPOAOB,是否存在这样的直线l,使得四边形OAPB是矩形?
若存在,求出直线I的方程,若不存在,试说明理由.
22
解:
(1)—I1;
1216
(2)因为|过y轴上的点(0,3).若直线l是y轴,则A,B两点是椭圆的顶点.
uuuuuuuuu
OPOAOB0,所以P与O重合,与四边形OAPB是矩形矛盾.
故直线I的斜率存在,设I方程为ykx3,A(x1,yi),B(x2,y2).
ykx3,
由x2y2消y得(43k2)x218kx210,此时
1,
1216
18k21
(18k)24(43k2)(21)>0恒成立,且为x?
2,为屜2,
43k243k2
uuuuurruuu
QOPOAOB,所以四边形OAPB是平行四边形.
uurruuu
若存在直线I,使得四边形OAPB是矩形,贝UOAOB,即OAOB0.
uuuuju
QOA(X1,yJ,OB(X2,y2),
uuruju
二OAOB%x2y1y20.
即(1k2)X1X23k(X1X2)90.
故存在直线I:
y
3,使得四边形OAPB是矩形.
uuu
&如图,平面内的定点F到定直线I的距离为2,定点E满足:
|EF|=2,且EFl于G,
uuuuuuuuuuuuuuuuuuuuu
点Q是直线I上一动点,点M满足:
FMMQ,点P满足:
PQ//EF,PMFQ0.
(I)建立适当的直角坐标系,求动点P的轨迹方程;
3
(II)若经过点E的直线h与点P的轨迹交于相异两点A、B,令AFB,当-
4
时,求直线|1的斜率k的取值范围.
E
F
I
I
G\
Q
(2)设点A(X1,yJB(X2,y2)(X1x?
)
设AF的斜率为k1,BF的斜率为k2,直线l1的方程为ykx3
ykx3
由26分得x24kx120
x24y
22
X1X24kX1X2127分y1y2竺B(_^)29
444
y1y2k(X1X2)64k268分
FA(X1,y1,1),FBg川21)FAFBX1X2(y11)(y21)
X1X2y〃2(y1y2)1
1294k261
4k28
cos
FAFB
2
4k8
2k
k2
2
10分
|FA|
|FB|
2
4k16
4
由于3
1cos
2即
2
1
k22.2
…11分
4
k242
k22
2
2r~
k22
解得k
48或k48.…
13分
k24
2
又|FA||FB|(y11)(y21)
•••直线l1斜率k的取值范围是{k|k48,或k48}
(1)求动点N的轨迹方程;
求直线I的斜率k的取值范围.
y24x.
(2)
(1)求P点轨迹E的万程;
,设Q是E上任一点,过Q作圆
(2)将
(1)中轨迹E按向量a(0,1)平移后得曲线E
解:
(1)设M(a,0)、N(0,b)、P(x,y),
uuuu
则MN
(
a,b)、
uuurMF
(a,1)、
uuur
MP(xa,y).
由题意得(已b)(a,1}°,•••
a2b
x
0,
■-y
12
x,
(a,b)(xa,y)(0,0).
a2,
b
y,
4
12
故动点P的轨迹方程为yx2.
4
(2)
x2(y1)21的两条切线,分别交x轴与A、B两点,求|AB|的取值范围.
右支.
(3)
设直线I的方程为xty
2,将其代入C的方程得
易知
3(ty2)2y23
2
(3t1)0(否则,直线
即(3t21)y212ty90,
l的斜率为.3,它与渐近线平行,不符合题意)
222
144t36(3t1)36(t1)0,
9
3t
设MXy1),N(x2,y2),则%y2尹,yy宀
I与C的两个交点M,N在y轴的右侧
2
X1X2(ty12)(ty22)t屮y
2t(yiy2)4
t2
•••3t21
0,即0t21,又由
3
Xi
X20同理可得
t2
lur由ME
uuur
3EN得(2X1,yj
3(2
X2,y2),
yi
3(2
3y2
X2)
由yi
y2
3y2y2
2y2
由y』2(
3y2)y2
3y;
-122L得V2
3t21
29得y;
3t21
6t
3t21
3
2J
3t21
消去y2得
36t2
22
⑶1)
—2—考虑几何求法!
!
3t1
解之得:
t1,满足0t21.
153
故所求直线I存在,其方程为:
15xy2.50或、15x
2.5
12.设A,B分别是直线
乙5x和y乙&x上的两个动点,并且
55
uuu一
|ABI.20,动
uuuuuruur
点P满足OPOAOB
.记动点p的轨迹为C.
(I)求轨迹C的方程;
(II)若点D的坐标为(0,16),M、N是曲线
umur
C上的两个动点,且DM
uuir
DN,求实数
的取值范围.
解:
(I)设P(x,y),因为A、B分别为直线y
5x和y禎x上的点,故可设
55
A(Xi,
B(X2,
25X2)
uuuOP
uuuOA
uuu
OB,
又
uuuAB
720,
容X1),
5
XX1X2,X1X2X,
y255(XiX2).XiX2^5y
52
242
■■(xx2)(x1x2)20.
20.
22
即曲线c的方程为一yi.
2516
(II)
设N(s,t),M(x,y),则由DM
DN,可得(x,y-16)=(s,t-16).
故xs,y16(t16).
(2)若A、B分别为l1
I2上的动点,且2|AB|5厅汀2|,求线段AB的中点M的轨迹
方程,并说明是什么曲线.(X3y1)
7525
i4•已知点F(i,0),直线I:
x2,设动点P到直
OB为邻边作平行四边形OAPB(O为坐标原点).
(i)若ki,且四边形OAPB为矩形,求a的值;(a3)
22
(2)若a2,当k变化时(kR),求点P的轨迹方程.(2xy2y0(y0))
22
16•双曲线C:
冷爲1(a0,b0)的离心率为2,其中A(0,b),B(a,0),ab
(2)若双曲线C上存在关于直线I:
ykx4对称的点,求实数k的取值范围.
解:
(I)依题意有:
解得:
a1,b3,c2.
2
所求双曲线的方程为x2—1.
3
(n)当k=0时,显然不存在.
当k^0时,设双曲线上两点M、N关于直线l对称.由I丄MN,直线MN的方程为
1一
yxb.贝UM、N两点的坐标满足方程组k
1b
由ykX,消去y得
3x2y23.
2222
(3k1)x2kbx(b3)k0.
显然3k210,
(2kb)24(3k21)(b23)k20.
即k2b23k210.①
设线段MN中点D(x0,y0)
tD(X0,y°)在直线l上,
把②带入①中得k2b2+bk20,
解得b0或b1.
1,且k工0
2
um*■
OC=AB=(0,1),动点M到定直线y=1的距离等于
uuuuuuuuuuuuuuuu2
且满足OM-AM=K(CM-BM-d2),其中O为坐标原点,K为参数.
(I)求动点M的轨迹方程,并判断曲线类型;
(H)如果动点M的轨迹是一条圆锥曲线,其离心率e满足 32 值范围. uuuuuuUJIW1uuuuuu 18.过抛物线y4x的焦点作两条弦AB、CD,若ABCD0,OM—(OAOB), UUU1UUUUULT ON-(OCOD). (1)求证: 直线MN过定点; (2)记 (1)中的定点为Q,求证AQB为钝角; (3)分别以AB、CD为直径作圆,两圆公共弦的中点为H,求H的轨迹方程,并指出轨 迹是什么曲线. 2 19.(05年江西)如图,M是抛物线上yx上的一点,动弦ME、MF分别交x轴于A、 B两点,且MAMB. (1)若M为定点,证明: 直线EF的斜率为定值; (2)若M为动点,且EMF90o,求△EMF的重心G的轨迹. 思路分析: (1)由直线MF(或ME)方程与抛物线方程组成的方程组解出点F和点E的 坐标,利用斜率公式来证明; (2)用M点的坐标将E、F点的坐标表示出来,进而表示出 G点坐标,消去y即得到G的轨迹方程(参数法). 2 解: (1)法一: 设M(y。 ,y。 ),直线ME的斜率为k(k0), 同的倾斜角,可得出一组平行弦. 2 由[y。 xy。 得E((iy°)2,iy。 ) yx 同理可得F((iy。 )2,(iy。 )). XM v Xe Xf X 3 设重心G(x,y),则有 yXm Xe Xf y 3 y(iy。 )2(iy。 )223yf 33 y。 (iy。 )(iy。 )y。 33 消去参数y0得y2]x2(x—). 9273 此类问题一定要 点评: 这是一道重要的数学问题,几乎是高考数学每年的必考内容之一 “大胆假设,细心求解”,根据题目要求先将题目所涉及的未知量都可以设出来,然后根据题 目把所有的条件都变成等式,一定可以求出来,当然求的过程中,采取适当的小技巧,例如化 简或适当分类讨论,可以大为简化过程,而且会尽量多多得分,同时这一类题目也需要很强的 20.如图,ABCD是边长为2的正方形纸片,沿某动直线I为折痕将正方形在其下方的部 分向上翻折,使得每次翻折后点B都落在边AD上,记为B,折痕I与AB交于点E,点M uuuruuuuuir 满足关系式EMEBEB. (1)建立适当的直角坐标系,求点M的轨迹方程; (2)若曲线C是由点M的轨迹及其关于边AB对称的曲线组成的,F是AB边上的一点, FQ,求实数的取值范 uuuuuuuu BA4BF,过点F的直线交曲线C于P、Q两点,且PF 围.
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- 轨迹 问题