相交线与平行线知识点+考点+典型例题1.doc
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第二章相交线与平行线
【知识要点】
1.两直线相交
2.邻补角:
有一条公共边,另一条边互为反向延长线的两个角互为邻补角。
3.对顶角
(1)定义:
有一个公共顶点,且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线,这样的两个角互为对顶角(或两条直线相交形成的四个角中,不相邻的两个角叫对顶角)。
(2)对顶角的性质:
对顶角相等。
4.垂直定义:
当两条直线相交所形成的四个角中,有一个角是90°那么这两条线互相垂直。
5.垂线性质:
①过一点有且只有一条直线与已知直线垂直;②垂线段最短。
6.平行线的定义:
在同一平面内,不相交的两条直线叫平行线,“平行”用符号“∥”表示,如直线a,b是平行线,可记作“a∥b”
7.平行公理及推论
(1)平行公理:
过已知直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。
(2)推论:
如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行。
注:
(1)平行公理中的“有且只有”包含两层意思:
一是存在性;二是唯一性。
(2)平行具有传递性,即如果a∥b,b∥c,则a∥c。
8.两条直线的位置关系:
在同一平面内,两条直线的位置关系有相交和平行。
9.平行线的性质:
(1)两直线平行,同位角相等(在同一平面内)
(2)两直线平行,内错角相等(在同一平面内)
(3)两直线平行,同旁内角互补(在同一平面内)
10.平行线的判定
(1)同位角相等,两直线平行;(在同一平面内)
(2)内错角相等,两直线平行;(在同一平面内)
(3)同旁内角互补,两直线平行;(在同一平面内)
(4)如果两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行;
补充:
(5)平行的定义;(在同一平面内)
(6)在同一平面内,垂直于同一直线的两直线平行。
【典型例题】
考点一:
对相关概念的理解
对顶角的性质,垂直的定义,垂线的性质,点到直线的距离,垂线性质与平行公理的区别等
例1:
判断下列说法的正误。
(1)对顶角相等;
(2)相等的角是对顶角;
(3)邻补角互补;(4)互补的角是邻补角;
(5)同位角相等;(6)内错角相等;
(7)同旁内角互补;(8)两直线不相交就平行;
(9)直线外一点到直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离;
(10)过一点有且只有一条直线与已知直线垂直;
(11)过一点有且只有一条直线与已知直线平行;
(12)互为邻补角的两个角的平分线互相垂直。
练习:
下列说法正确的是()
A、相等的角是对顶角B、直线外一点到直线的垂线段叫点到直线的距离
C、两条直线相交,有一对对顶角互补,则两条直线互相垂直。
D、过一点有且只有一条直线与已知直线平行
考点二:
相关推理(识记)
(1)∵a∥c,b∥c(已知) ∴______∥______()
(2)∵∠1=∠2,∠2=∠3(已知) ∴______=______()
(3)∵∠1+∠2=180°,∠2=30°(已知) ∴∠1=______()
(4)∵∠1+∠2=90°,∠2=22°(已知) ∴∠1=______()
(5)如图
(1),∵∠AOC=55°(已知) ∴∠BOD=______()
(6)如图
(1),∵∠AOC=55°(已知) ∴∠BOC=______()
(7)如图
(1),∵∠AOC=∠AOD,∠AOC+∠AOD=180°(已知)
a
b
1
1
2
3
4
a
b
.
.
.
A
C
B
∴∠BOC=______()
(1)
(2)(3)(4)
(8)如图
(2),∵a⊥b(已知) ∴∠1=______()
(9)如图
(2),∵∠1=______(已知) ∴a⊥b()
(10)如图(3),∵点C为线段AB的中点 ∴AC=______()
(11)如图(3),∵ AC=BC∴点C为线段AB的中点()
(12)如图(4),∵a∥b(已知) ∴∠1=∠2()
(13)如图(4),∵a∥b(已知) ∴∠1=∠3()
(14)如图(4),∵a∥b(已知) ∴∠1+∠4=()
(15)如图(4),∵∠1=∠2(已知) ∴a∥b()
(16)如图(4),∵∠1=∠3(已知) ∴a∥b()
(17)如图(4),∵∠1+∠4=(已知) ∴a∥b()
考点三:
对顶角、邻补角的判断、相关计算
例题1:
如图5-1,直线AB、CD相交于点O,对顶角有_________对,它们分别是_________,
∠AOD的邻补角是_________。
例题2:
如图5-2,直线l1,l2和l3相交构成8个角,已知∠1=∠5,那么,∠5是_________的对顶角,
与∠5相等的角有∠1、_________,与∠5互补的角有_________。
例题3:
如图5-3,直线AB、CD相交于点O,射线OE为∠BOD的平分线,∠BOE=30°,则∠AOE为_________。
图5-1图5-2图5-3
考点四:
同位角、内错角、同旁内角的识别
例题1:
如图2-44,∠1和∠4是、被所截得的角,
∠3和∠5是、被所截得的角,
∠2和∠5是、被所截得的角,
AC、BC被AB所截得的同旁内角是.
例题2:
如图2-45,AB、DC被BD所截得的内错角是,
AB、CD被AC所截是的内错角是,
AD、BC被BD所截得的内错角是,
AD、BC被AC所截得的内错角是。
例题3:
如图10,DE∥BC,∠D∶∠DBC=2∶1,∠1=∠2,求∠DEB的度数.
图10
2
1
B
C
E
D
考点五:
平行线的判定、性质的综合应用(逻辑推理训练)
例题1:
如图9,已知DF∥AC,∠C=∠D,要证∠AMB=∠2,请完善证明过程,并在括号内填上相应依据:
∵DF∥AC(已知),∴∠D=∠1()
∵∠C=∠D(已知),∴∠1=∠C()
∴DB∥EC()
∴∠AMB=∠2()
例题2:
如图,已知∠ABE+∠DEB=180°,∠1=∠2,求证:
∠F=∠G.
2
1
A
B
C
F
G
D
E
例题3:
如图12,∠ABD和∠BDC的平分线交于E,BE交CD于点F,∠1+∠2=90°.
C
图12
1
2
3
A
B
D
F
求证:
(1)AB∥CD;
(2)∠2+∠3=90°.
考点六:
特殊平行线相关结论
例题1:
已知,如图:
AB//CD,试探究下列各图形中.
A
B
C
D
P
(1)
A
B
C
D
P
(2)
A
B
C
D
P
(3)
A
B
C
P
(4)
如图,AB∥DE,那么∠B、∠BCD、∠D有什么关系?
考点七:
探究、操作题
例题:
(2007年·福州中考)(阅读理解题)直线AC∥BD,连结AB,直线AC,BD及线段AB把平面分成①、②、③、④四个部分,规定:
线上各点不属于任何部分.当动点P落在某个部分时,连结PA,PB,构成∠PAC,∠APB,∠PBD三个角.(提示:
有公共端点的两条重合的射线所组成的角是0°角.)
(1)当动点P落在第①部分时,求证:
∠APB=∠PAC+∠PBD;
(2)当动点P落在第②部分时,∠APB=∠PAC+∠PBD是否成立(直接回答成立或不成立)?
(3)当动点P在第③部分时,全面探究∠PAC,∠APB,∠PBD之间的关系,并写出动点P的具体位置和相应的结论.选择其中一种结论加以证明.
练习:
1.(动手操作实验题)如图所示是小明自制对顶角的“小仪器”示意图:
(1)将直角三角板ABC的AC边延长且使AC固定;
(2)另一个三角板CDE的直角顶点与前一个三角板直角顶点重合;
(3)延长DC,∠PCD与∠ACF就是一组对顶角,已知∠1=30°,
∠ACF为多少?
2
4
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