导数与积分经典例题以及答案.docx
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导数与积分经典例题以及答案
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高三数学导数与积分经典例题以及答案
一.教学内容:
导数与积分
二.重点、难点:
1.导数公式:
y
f(x)
c
f
(x)
0
y
f(x)
xn
f(x)
nxn1
y
f(x)
sinx
f
(x)
cosx
y
f(x)
cosx
f
(x)
sinx
y
f(x)ax
f
(x)
axlna
y
f(x)
logax
f
(x)
1
logae
x
2.运算公式
[f(x)g(x)]
f(x)
g(x)
[f(x)g(x)]
f(x)g(x)
f(x)g(x)
[f(x)]
f(x)g(x)
f(x)g(x)
g(x)
g2(x)
3.
切线,过P(x0,y0)为切点的y
f(x)的切线,y
y0
f
(x0)(xx0)
4.
单调区间
不等式f
(x)
0,解为y
f(x)的增区间,f(x)
0解为y
f(x)的减区间。
5.
极值
(1)x
(a,x0)时,f(x)
0,x
(x0,b)时,f
(x)
0
∴f(x0)为y
f(x)极大值
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(2)x(a,x0)时f(x)0,x(x0,b)时,f(x)0
∴f(x0)为yf(x)的极小值。
【典型例题】
[例1]求下列函数的导数。
(1)y
3
1
3x3
7x2
1;
x
(2)y
ln|x|;
(3)y
x
;
1
x
x
2
(4)y
3xex
2x
e;
lnx
(5)yx21;
(6)yxcosxsinx。
分析:
直接应用导数公式和导数的运算法则
解析:
(1)y
(1)(3x3)(7x2)
(1)
3x
1
1x
(x3)3(x3)7(x2)0
3
4
3
9x
2
14x
(2)当x
0时,y
lnx,y
1
;
x
当x
0时,y
ln(
x),y
1
1
(
)
(1)
1
x
x
∴y
x
(3)y
x(1
x
x2)
x(1
x
x2)
(1x
x2)
2
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1
x
x2
x(0
1
2x)
1
x2
(1xx2)2
(1xx2)2
(4)y
(3xex)
(2x)
(e)
(3x)ex
3x(ex)
(2x)
0
3xln3
ex
3xex
2xln2
(3e)xln3e
2xln2
(5)y
(lnx)(x2
1)
lnx(x2
1)
(x2
1)2
1(x2
1)2xlnx
x
2
1
2x
2
lnx
x
(x2
1)2
x(x2
1)2
(6)y
(xcosx)
(sinx)
cosx
xsinxcosx
xsinx
[例2]
如果函数f(x)
2a
1)
的图象在x
1处的切线l过点(0,
1
ln(x
)并且l与圆
b
b
C:
x2
y2
1相离,则点(
a,b)与圆C的位置关系
。
解:
f(x)
2a
1
2a
a
b
x
1
∴l切y
ln2
(x1)
b
b
l过(0,
1
∴
12aln2
a
)
b
b
b
b
∴a
1
ln4
1
2aln2
a
1
l与圆相离
b
b
1,
b
1
a2
a2
b2
1
2
b
b
∴1
a2
b2
∴a2
b2
1
b2
b
∴点(a,b)在圆内
[例3]
函数y
f(x),y
g(x)在[a,b]上可导,且f(x)
g(x),则x
(a,b)时有(
)
A.
f(x)
g(x)
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B.f(x)g(x)
C.
f(x)g(a)
g(x)
f(a)
D.
f(x)
g(b)
g(x)
f(b)
解:
令F(x)f(x)
g(x)
∴F(x)
f(x)g(x)
∴x(a,b)
F
(x)
0
∴x(a,b)
F(x)
∴任取x
(a,b)
F(x)
F(a)
∴f(x)g(x)
f(a)g(a)
即f(x)
g(a)
g(x)
f(a)故选C
[例4]
f(x),g(x)分别为定义在
R上的奇函数、偶函数。
x
0时,f(x)g(x)
f(x)g(x)0,g(3)0,则不等式f(x)g(x)
0的解
为
。
解:
令F(x)f(x)g(x)∴F(x)f(x)g(x)f(x)g(x)
x(,0)F(x)0
∴x(0,)F(x)
f(x)奇,g(x)偶F(x)奇函数∵g(3)0
∴F(3)0
∴F(x)0解为(,3)(0,3)
ax
在x
1处取得极值2。
[例5]已知函数f(x)
x2
b
(1)求f(x)的解析式;
(2)m满足什么条件时,区间(
m,2m1)为函数增区间;
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(3)若P(x0,y0)为y
f(x)图象上任一点,
l与y
f(x)切于点P求l的倾斜角
的正切值的取值范围。
解:
f
(x)
a(x2
b)
ax(2x)
(x2
b)2
∴
f
(1)
2
a
4
f(x)
4x
f
(x)
0
b
1
x2
1
∴f
(x)
4(1
x2)
0
x
1
(x2
1)2
列表
∴(
1)
(-1,1)↑
(1,+∞)↓
m
1
2m
1
1
1
m
0
2m
1
m
f
(x)
4(1
x
2)
4
(x2
1)
2
4
[
2
1
]
(x2
1)2
(x2
1)2
1)2
x2
(x2
1
令
1
t
(0,1]
x
2
1
1)2
1]
f
(x)
4
[2t2
t]
4[2(t
1,4]
4
8
∴f
(x)
[
2
[例6]f(x)
1x3
1(b
1)x2
cx
3
2
(1)f(x)在x=1,x=3处取得极值,求
b,c;
(2)f(x)在(
x1),(x2,
)
(x1,x2)
,且x2
x11,求证:
b2
2(b2c)
(3)在
(2)的条件下,t
x1比较t2
bt
c与x1大小关系。
解:
(1)f(x)
x2
(b1)x
c
f
(1)
0
b
c
0
b
3
f
(3)
0
6
3b
c
0
c3
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∴f(x)
1
x3
2x2
3x
3
(2)f(x)
x2
(b1)xc
x1
x2
1b
x1x2
c
x2
x1
1
(x2
x1)2
1
(x1
x2)2
4x1x2
1
1
2b
b2
4c
1
∴b2
2(b
2c)
(3)x2
(b1)xc(xx1)(xx2)
t2
bt
cx1
t2
(b1)t
ct
x1
(tx1)(tx2)(tx1)
(tx1)(t1x2)*
∵x2x11∴x2
x11t1
∴*式0∴t2
btcx1
[例7]已知抛物线C1:
y
x2
2x和C2:
y
x2
a。
如果直线l同时是C1和C2的切
线,称l是C1和C2的公切线,公切线上两个切点之间的线段,称为公切线段。
(1)a取什么值时,C1和C2有且仅有一条公切线?
写出此公切线的方程;
(2)若C1和C2有两条公切线,证明相应的两条公切线段互相平分。
分析:
分别利用曲线C1,C2方程求切线l的方程再比较,从而求得a满足条件;对于
(2)两条公切线段互相平分,也就是两公切线段的中点坐标相同。
解析:
(1)函数y
x2
2x
的导数y2x
2,曲线C1在点P(x1,x12
2x1)的切线
方程是
y(x12
2x1)(2x1
2)(xx1)
即y(2x1
2)xx12
①
函数y
x2
a的导数y
2x
曲线C2
在点Q(x2,
x22
a)的切线方程是
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y(x22
a)
2x2(xx2)
即y2x2xx22
a②
如果直线l
是过P和Q的公切线,则①式和②式都是
l的方程
x1
1
x2
所以
x22
a
x12
消去x2得方程2x12
2x1
1
a
0
4
4
2(1
a)
0
1
时解得x1
1
若判别式
,即a
,此时点P与Q重合
1
2
2
即当a
有且仅有一条公切线
时,C1和C2
2
1
由①得公切线方程为yx
4
1
(2)由
(1)可知,当a时C1和C2有两条公切线
2
设一条公切线上切点为P(x1,y1),Q(x2,x2),其中P在C1上,Q在C2上,则有
x1
x2
1
y1
y2
x12
2x1(x22
a)
x12
2x1
(x11)2
a
1a
1
1
a
线段PQ的中点为(
)
2
2
同理,另一条公切线段
PQ的中点也是(1,
1a)
2
2
所以公切线段
PQ和PQ互相平分
[例8]已知抛物线yax2bxc过点(1,1),且在点(2,1)处与直线yx3相切,求
a,b,c的值。
解析:
∵yf(x)ax2bxc
∴yf(x)2axb
∵抛物线在点(2,1)处与直线yx3相切
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∴f
(2)1,且f
(2)1
4a2bc1
(1)
即
4ab1
(2)
又抛物线过点(1,1)∴abc1(3)
将
(1)
(2)(3)联立解得a3,b11,c9
[例9]设函数yax3bx2cxd的图象与y轴的交点为P点,且曲线在P点处的切线
方程为12xy40,若函数在x2处取得极值为0,试确定函数的解析式。
解析:
∵y
ax3
bx2
cx
d的图象与y轴交点为P
∴点P的坐标为(0,d)
∵曲线在P点处的切线方程为
y
12x4,故P点坐标适合此方程,将
P(0,d)代入
后得d
4
又切线的斜率为k
12
而y
3ax2
2bx
c,y|x0
c
∴c12
又函数在x2处取得极值0
∴y|x20且f
(2)0
12a4b120
(1)
即
8a4b200
(2)
由
(1)
(2)解得a
2,b
9
∴y2x3
9x2
12x
4
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1
[例10]已知曲线y。
x
(1)求曲线在点P(1,1)处的切线方程;
(2)求曲线过点Q(1,0)的切线方程;
(3)求满足斜率为
1
的曲线的切线方程。
3
解析:
(1)∵y
1
x2,又P(1,1)是曲线上的点
∴P为切点,所求切线的斜率为
k
f
(1)
1
∴曲线在P点处的切线方程为
y
1
(x
1),即y
x
2
(2)显然Q(1,0)不在曲线y
1
上,则可设过该点的切线的切点为
A(a,1),则
1
x
a
该切线斜率为k1
f
(a)
a2
则切线方程为y
1
1
(xa)(*)
a
a2
1
1
1
将Q(1,0)代入方程(*)得
0
(1a)得a
。
故所求切线方程为
a
a2
2
y
4x
4
(3)设切点坐标为A(a,1
),则切线的斜率为
k2
1
1
a
a2
3
解得a
3
∴A(
3,
3)或A(
3,
3),代入点斜式方程得
y
3
1(x
3)或
3
3
3
3
y
3
1(x
3)
3
3
即切线方程为x
3y
23
0或x
3y23
0
[例11]已知a0,函数f(x)x3a,x[0,),设x10,记曲线yf(x)在点
M(x1,f(x1))处的切线为l。
(1)求l的方程;
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(2)设l与x轴交点为
(x2,0),证明:
1
1
1
①x2
a3;②若x1
a3,则a3
x2
x1。
解析:
(1)求f(x)的导数:
f
(x)
3x2,由此得切线l的方程:
y(x13
a)3x12(xx1)
(2)依题意,切线方程中令
y
0
x2
x1
x13
a
2x13
a
3x12
3x12
1
1
1
x2
a
3
3
2
3
)
①
3x12(2x1
a3x1
a
1
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