放缩法的数列不等式证明.docx
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放缩法的数列不等式证明
放缩法放缩法是要证明数列不等式的一种常见方法,如当证明A
易,而借助一个或多个中间变量通过适当的放大或缩小,以达到证明不等式的方法。
放缩法证明不等式的理论依据主要有:
(1)不等式的传递性;
(2)等量加不等量为不等量;(3)同分子(分母)异分母份子)的两个分式大小的比较。
常用的放缩技巧有:
①舍掉(或加进)一些项;②在分式中放大或缩小分子或分母;③应用均值不等式进行放缩。
常用数列不等式证明中的裂项形式
111/11、
⑵k2k2-1「2(芦_芦)
n!
(6)2jn十1_需=l2<丄£l2=2(需_Jn_1)>1)
Jn+Vn+1JnJn+>/n-12«nn(n+1)
⑺2n=C0C:
C:
C;…c:
」C:
_C0C:
cTC:
=2(n1)=2n-1一2n1
已知各项均为正数的数列{an}的前n项和满足Sn1,且
6Sn=(an1)(an2),nN*
(1)求{an}的通项公式;
(2)设数列{bn}满足an(2bn-1)=1,并记Tn为g}的前n项和,求证:
3Tn1Iog2@n3),nN
(I)解:
由a1=3=丄匕•1)(a1-2),解得a1=1或a1=2,由假设a1=Si>1,因
6
此ai=2。
又由an+1=Sn+1-Sn=-(an11)(an1■2)(an1)(an2),
66
得an+1-an-3=0或an+1—-an
因an>0,故an+1=-an不成立,舍去。
为an=3n-2。
令f(x)=|-|•記3n2
(3n3)3
。
(3n5)(3n2)2
f(n+1)3n+2i‘3n+3[_
f(n)一3n+5⑶+2丿-因(3n3)2-(3n5)(3n2)2=9n7>0,故
f(n1)>f(n).
27
特别的f(n)_f
(1)>1。
从而3Tn1Tog(an3)=logf(n)>0,
20
即3Tn1>log2(an3)。
证法二:
同证法一求得bn及Tn。
由二项式定理知当C>0时,不等式
(1c)3>13c成立。
由此不等式有
3Tn1=log221
253n_1
>log22131
I2人
=log22•
24
3\3
53n_1
•伫?
Jog2(3n2)Jog2(a.3)
3n—1
证法三:
同证法一求得bn及Tn
令An=3-6•••竺,Bn=3•—
253n46
3n1
3n'
3n2
。
3n1
因王>>印2,因此A;>AnBnCn
3n_13n3n1
3n2
_2
从而
£263n、3
阳"log2^r•芥=log2A;
>log22AnBnCn=log2(3n2)=log2(an3)
在数列{a」中,a=2,a「1=4an-3n1,nN*
(i)证明数列fan-n?
是等比数列;
(n)求数列的前n项和Sn;
(川)证明不等式Sn1<4Sn,对任意n•N*皆成立.
(i)证明:
由题设anq=4an-3n1,得
an1-(n1^4(an-n),nN*.
又d-1=1,所以数列〈an-n?
是首项为1,且公比为4的等比数列.
(n)解:
由(i)可知an-n=4n',于是数列1an?
的通项公式为
n4
an=4n.
所以数列
'anf的前n项和Sn口
4n-1n(n1)
(川)证明:
对任意的n•N,
4n+-^(n+1)(n+2)42n_1*n(n+1)
32-<32
--1(3n2n一4)<0.
2
所以不等式Sn,<4&,对任意n•N*皆成立.
已知函数f(X)=x2-4,设曲线y=f(X)在点(Xn,f(Xn))处的切线与X轴的交点为(Xn+I,u)(U,N+),其中为正实数.
(I)用Xx表示Xn+1;
(U)若ai=4,记an=lgJ,证明数列{ai}成等比数列,并求数列{冷}的通
Xn-2
项公式;
(川)若X1=4,bn=Xn-2,Tn是数列{bn}的前n项和,证明Tn<3.
解析:
本题综合考查数列、函数、不等式、导数应用等知识,以及推理论证、计算及解决问题的能力.
(I)由题可得f'(X)=2x.
所以曲线y=f(x)在点(Xn,f(Xn))处的切线方程是:
y-f(Xn)二f'(Xn)(x-X.).
即y-(丈-4)=2Xn(X-Xn).
令y=0,得一(£一4)=2xn(xn1-Xn).
即£*4=2XnXni.
(廿2)2
2Xn
显然“0,「X十.
(U)由和=严2,知xm-,2二,
2Xn2Xn2Xn
Xn1_2=(—).
即lg
Xn-2
当n=1时,显然T;=2:
:
:
3.
11
当n1时,bn・bn「
(1)2bn八叽
•••Tn二0b2川b
e苍1丨1(
(1)n4bi
33
1
b[1
已知实数列{an}是等比数列,其中a^1,且a4,451忌成等差数列.
(I)求数列{an}的通项公式;
(n)数列{an}的前n项和记为Sn,证明:
Sn,<128(n=123,…).解:
(I)设等比数列fan?
的公比为q(q•R),
由a?
=qq6=1,得a^q-6,从而a4=qq3=q',兔=^心4,a^^a1q^qJ.
因为a4,a51,a6成等差数列,所以a4a^=2(a51),
(n)Sn/D
设数列g}的首项a,®),汗守,n=2,3,4,
(1)求{an}的通项公式;
(2)设bn=an・,门五,证明bn:
:
:
bn1,其中n为正整数.
解:
(1)由an=3,n=2,3,4,…,
2
1
整理得1-an--—(1-anJ•
2
又1弋=0,所以{1-an}是首项为1y,公比为-1的等比数列,得
2
an
⑵方法
3
由
(1)可知0“n,故bn0•
那么,bi-bn
22
=an1(3〜2an1)〜an(3〜2an)
f3-务
=
2
号(an-1)2.
4
又由
(1)知an0且4",故臭-圧0,
因此bn:
:
:
bn1,n为正整数.
方法二:
3
由("可知Og,an",
因为a
所以
(3-■an)\an
2
由an-1可得an(3-2an)
即a;(3-2an):
:
:
行玉曲两边开平方得an匕厂鬲:
:
节弘L乳.
即bn:
:
:
bn1,n为正整数.
已知数列春中4=2,an1-C2-1)(an2),n=1,2,3,….
(I)求方鳥的通项公式;
(U)若数列:
中0=2,01=3"4,n=1,2,3,--,
2bn+3
证明:
、、2:
:
:
bn 解: (I)由题设: am=(J2-1)(an2) =(、.2-1)(寺-、2)(、2-1)(2、、2) «2一1)@「2), an1-迈=(.2-1)(an-J). 所以,数列「an八刃是首项为2-迈,公比为.2-1的等比数列, an-、、2」2(、.2-1)n, 即an的通项公式为an八2(、.2-1)n/,n=1,2,3,…. (U)用数学归纳法证明. (i)当n=1时,因.2: 2,b二印=2,所以 ■2: b (ii)假设当n=k时,结论成立,即J2山<印心, 也即0: : bk-J2 当n=k1时, bk「—从一 2bk3 _(3-2&血(4-3、,2)_20+3 (3-2、、2)(bk-、2)0 0, 2bk3 又一1—<—=3_2庞, 2bk32、23 所以bk1「2,3厅 2bk+3 : : (3-2..2)2(bk-、、2) <(、.2一1)4@4心-⑵ =a4k1~"■■2• 也就是说,当n1时,结论成立. 根据(i)和(ii)知.2: : bn J 3 1 =3-3(-)n: : 3. 3 综上,Tn<3(nN*).
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