指数函数典型例题详细解析.docx
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指数函数典型例题详细解析.docx
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指数函数典型例题详细解析
.
指数函数·例题解析第一课时
【例1】(基础题)求下列函数的定义域与值域:
1
(2)y=2x2
(3)y=33x1
(1)y=32x
1
解
(1)定义域为{x|x∈R且x≠2}.值域{y|y>0且y≠1}.
(2)
由2x+2-1≥0,得定义域{x|x≥-2}
,值域为{|y|y≥0}.
(3)
由3-3x-1≥0,得定义域是{x|x≤2}
,∵0≤3-3x-1<3,
∴值域是0≤y<3.
1.指数函数Y=ax(a>0且a≠1)的定义域是R,值域是(0,+∞)
2.求定义域的几个原则:
①含根式(被开方数不为负)②含分式,分母不为0③形如a0,(a≠0)
3.求函数的值域:
①利用函数Y=ax单调性②函数的有界性(x2≥0;ax>0)③换元法.如:
y=4x+6×2x-8(1≤x≤2)先换元,再利用二次函数图象与性质
(注意新元的范围)
【例2】(基础题)指数函数y=ax,y=bx,y=cx,y=dx的图像如图2.6-2所示,则a、b、c、d、1之间的大小关系是
[]
A.a<b<1<c<d
B.a<b<1<d<c
C.b<a<1<d<c
D.c<d<1<a<b
.
.
解选(c),在x轴上任取一点(x,0),则得b<a<1<d<c.
【例3】(基础题)比较大小:
(1)
2、32、5
4、88、9
16的大小关系是:
.
4
3
1
(2)0.65
2
()
2
(3)4.5
4.1________3.73.6
.
.
1
1
2
3
4
解
(1)∵
2
22,3
2
23,5
4
25,8
8
28,916
29,
函数
=
x,
2
>,该函数在
(
-∞,+∞
)
上是增函数,
y
2
1
又1<3<2<4<1,∴3
2
<8
8
<5
<9
<
.
3
8
5
9
2
4
16
2
4
1
解
(2)∵0.65>1,1>(
3)2
,
2
41
∴0.65>(3)2.
2
解
(3)借助数
4.53.6打桥,利用指数函数的单调性,
4.54.1>4.53.6,
作函数y=4.5x,y
=3.7x的图像如图2.6-3,取x=3.6,得4.53.6>3.73.6
1
2
∴4.54.1>3.73.6.
说明如何比较两个幂的大小:
若不同底先化为同底的幂,再利用指数函数的单调性进行比较,如例2中的
(1).若是两个不同底且指数也不同的幂比
较大小时,有两个技巧,其一借助1作桥梁,如例2中的
(2).其二构造一个
新的幂作桥梁,这个新的幂具有与4.54.1同底与3.73.6同指数的特点,即为
4.53.6(或3.74.1),如例2中的(3).
例题4(中档题)
.
.
【例4】比较大小n1an与nan1(a>0且a≠1,n>1).
n1an
1
an(n1)
解
an1
n
1
当0<a<1,∵n>1,>0,
n(n1)
1
∴an(n1)<1,∴n1an<nan1
1
>0,
当a>1时,∵n>1,
n(n
1)
1
∴an(n1)>1,n1an>nan1
【例5】(中档题)作出下列函数的图像:
图像变换法
(1)y=(
1
)x1
(2)y=2x-2,
2
(3)y=2|x-1|
(4)y=|1-3x|
解
(1)y=
(1)x1的图像(如图2.6-4),过点(0,1)及(-1,1).
2
2
1
x
的图像向左平移
1个单位得到的.
是把函数y=(
)
2
解
(2)y=2x-2
的图像(如图2.6-5)是把函数y=2x的图像向下平移
2个单位
得到的.
.
.
解(3)利用翻折变换,先作y=2|x|的图像,再把
y=2|x|
的图像向右平移1
个单位,就得y=2|x-1|的图像(如图2.6-6).
解(4)作函数y=3x的图像关于x轴的对称图像得y=-3x的图像,再把y=-3x
的图像向上平移1个单位,保留其在x轴及x轴上方部分不变,把x轴下方的图像以x轴为对称轴翻折到x轴上方而得到.(如图2.6-7)
例6(中档题):
用函数单调性定义证明:
当a
>1时,y=ax是增函数.
.
.
【解析】设x,x∈R且x
<x
,并令x2
=x1+h(h
>0,h∈R),很独特的方
1
2
1
2
式
则有ax2
ax1
ax1h
ax1ax1(ah1),
∵a>1,h>0,∴ax
0,ah
1,
1
∴ax2
ax1
0,即
故y=ax(a>1)为R上的增函数,
同理可证0<a<1时,y=axax1ax2是R上的减函数.
例题7中档题)
指数函数与二次函数的复合函数(由内到外分析)
二次函数为内层函数,指数函数为外层函数
【例6】求函数y=(
3
)x2-5x+6的单调区间及值域.
4
2
3
u
2
-5x
解令u=x
-5x+6,则y=(
)
是关于u的减函数,而u=x
4
+6在x∈(∞,5
]上是减函数,在x∈[
5,∞)上是增函数.∴函数
2
2
y=(
3
)x2-5x+6的单调增区间是(∞,5
],单调减区间是[
5,∞).
4
2
2
.
.
2
-5x+6=(x
5
2
1
1
又∵u=x
)
4
≥,
2
4
3
)
u
,在u∈[
1
∞)上是减函数,
函数y=(
,
4
4
所以函数y
3
)
x2-5x+6
的值域是
4
108
=(
(0,
].
4
3
变式1
求函数y=
(1)x2
2x的单调区间,并证明之.
2
解法一(在解答题):
在R上任取x1、x2,且x1<x2,
则y2
(
1
)x2
2
2x2
)(x2-x1)(x2+x1-2)【
(1)为底数,红色部分为指数】
=
2
=(1
,
y1
(
1
)
x12
2x12
2
2
∵x1<x2,∴x2-x1>0.
当x1、x2∈(-∞,1]时,x1+x2-2<0.这时(x2-x1)(x2+x1-2)<0,则y2>y1
1.
∴y2>y1,函数在(-∞,1]上单调递增.
当x1、x2∈[1,+∞)时,x1+x2-2>0,这时(x2-x1)(x2+x1-2)>0,即y2<y1
1.
(此处点评:
上述证明过程中,在对商式正负判断时,利用了指数函数的值域及单
调性)
∴y2<y1,函数在[1,+∞上单调递减.
综上,函数y在(-∞,1]上单调递增,在[1,+∞)上单调递减.
合作探究:
在填空、选择题中用上述方法就比较麻烦,因此我们可以考虑用复合函
数的单调性来解题.
.
.
解法二、在填空、选择题中(用复合函数的单调性):
设:
ux22x
u
1
则:
y
2
对任意的1
x1x2,有u1
u2,
1
u
是减函数
又∵y
2
x22x
∴y1y2
1
在[1,
)是减函数
∴y
2
对任意的
x1
x2
1,有u
u
2
1
1
u
又∵y
是减函数
2
1
x22x
∴y1
y2∴y
在[1,
)是增函数
2
在该问题中先确定内层函数(
ux2
2x
1
)和外层函数(y
2
根据内外层函数的单调性确定复合函数的单调性.
u
)的单调情况,再
变式2已知a0且a1,讨论f(x)ax23x2的单调性.
【分析】这是一道与指数函数有关的复合函数讨论单调性题,
指数
x2
3x
2
(x
3
)217
,当x≥
3时是减函数,
x≤3
时是增函数,
2
4
2
2
而f(x)的单调性又与
0
a
1和a
1两种范围有关,应分类讨论.
【解析】设u
x2
3x
2
(x
3)2
17
,
2
4
.
.
则当x≥3时,u是减函数,
当x≤3
时,u是增函数,
2
2
又当a
1时,y
au是增函数,
当0a
1时,y
au是减函数,
所以当a
1时,原函数f(x)
a
x2
3x2在[3,
)上是减函数,在(
3]上是
2
2
增函数.
当0a
1时,原函数f(x)
a
x2
3x2在[3,
)上是增函数,在(
3
]上是减
2
2
函数.
【小结】一般情况下,两个函数都是增函数或都是减函数,则其复合函数是增函数;;如果两个函数中一增一减,则其复合函数是减函数,但一定注意考虑复合函数的定义
域.
第二课时
例题8:
(疑难题)指数函数与二次函数的复合函数
换元法先换元,再利用二次函数图象与性质(注意新元u的范围)
1
)x
1
【例7】求函数y=(
()x+1(x≥0)的单调区间及它的最大值.
4
2
解
y
=
1x
2
1
x
1
x
1
2
3,令=
1x,∵
x
≥,
[()]
()
1[()
]
u()
0
2
2
2
2
4
2
∴<≤,又∵
=
1
x是
∈
,+∞
上的减函数,函数
y
=
1
)
2
0u1
u()
x
[0
)
(u
2
2
.
.
3在∈
,
1
上为减函数,在
[
1
,
1)
上是增函数.但由
0
<
1
)
x≤1
4
u
(0
2
]
2
(
2
≥,由1
1
1
1
2
得
≤
x≤,得≤
≤,∴函数
y
=
x
x+单调增
x
1
2
()
10x
1
()
()
1
2
4
2
区间是,+∞
)
,单调减区间
[0
,
1]
[1
当x=0时,函数
y有最大值为1.
内层指数函数u=(1/2)x为减,当u在(0,1/2】时,此时
外层二次f(u)为减函数,即x在【1,正无穷大),,则复合函数
为增(画草图分析法)
点评:
(1)指数函数的有界性(值域):
x2≥0;ax>0
(2)上述证明过程中,在两次求x的范围时,逆向利用了指数函数的值域及逆向利用了指数函数的单调性,是关键及疑难点。
变式:
求(3)y4x
2x1
1的值域.
解
y
4x
2x
1
1
xR
y(2x)2
22x
1(2x
1)2,
且2x
0,
y
1.
故y
4x
2x1
1的值域为{y|y
1}.
【小结】求与指数函数有关的函数的值域时,要注意到充分考虑并利用指数函数本身的要求,并利用好指数函数的单调性.
.
.
例题9(中档题)分式型指数函数
【例8】已知f(x)=a
x
1(a>1)
x
a
1
(1)判断f(x)的奇偶性;
(2)求f(x)的值域;
(3)证明f(x)在区间(-∞,+∞)上是增函数.
解
(1)定义域是R.
a
f(-x)=
a
x
x
1ax1
1ax1=-f(x),
∴函数f(x)
为奇函数.
(2)函数y=
ax
1
,∵y≠1,∴有ax=
1
y
y
1
>0
-1<y<1,
ax
1
y
1
1
y
反函数法,用指数函数值域
即f(x)的值域为(-1,1).
(3)设任意取两个值x1、x2∈(-∞,+∞)且x1<
x2.f(x
1)-f(x2)
=
axl1
ax
2
1
=
2(axl
ax2)
x
x
x
+1)
x1
a
x
1
x
x
,∵a>1,x1<x2,a
1<a
2,(a1
al
2
(al1)(a
2
1)
(ax2+1)>0,∴f(x1)<f(x2),故f(x)在R上为增函数.
.
.
变式1设a是实数,
f(x)
2
(xR)
f(x)
a
试证明对于任意a,
为增函数;
2x
1
证明:
设x1,x2
∈R,且x1
x2
则
f(x1)
f(x2)
(a
2
(a
2
)
)
2x11
2x
21
2
2
2(2x1
2x
2)
2x212x1
(2x11)(2x21)
由于指数函数y=
2x在R上是增函数,且
x1
x2,
所以2x1
2x2即2x12x2<0,
又由2x
>0得
2x1+1>0,
2x2+1>0
所以f(x1)
f(x2)<0即f(x1)f(x2)
因为此结论与a取值无关,所以对于a取任意实数,f(x)为增函数
.
.
例题10(中档题)
抽象函数
例题10
变.式1(疑难题)
.
.
.
.
.
第三课时
复合函数
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
作业课本:
课本P习题
.
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