小学数学必背定义和性质.docx
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小学数学必背定义和性质
小学数学定义和性质
一、加减乘除法的意义
加法:
把两个数合并成一个数的运算把两个小数合并成一个小数的运算把两个分数合并成一个分数的运算
减法:
已知两个加数的和与其中一个加数,求另一个加数的运算已知两个加数的和与其中一个加数,求另一个加数的运算已知两个加数的和与其中一个加数,求另一个加数的运算
乘法:
求几个相同加数的和的简便运算
小数乘整数的意义与整数乘法意义相同。
一个数乘纯小数就是求这个数的十分之几,百分之几……
分数乘整数的意义与整数乘法意义相同
一个数乘分数就是求这个数的几分之几
除法:
已知两个因数的积与其中一个因数,求另一个因数的运算与整数除法的意义相同与整数除法的意义相同。
二、分数乘法概念总结¬
1.分数乘整数的意义和整数乘法的意义相同,就是求几个相同加数的和的简便运算。
¬
例如:
3/7×5的意义是:
表示求5个3/7的和是多少。
¬
2.分数乘整数的计算法则:
分数乘整数,用分数的分子和整数相乘的积作分子,分母不变。
(为了计算简便,能约分的要先约分,然后再乘。
)¬
3.一个数与分数相乘,可以看作是求这个数的几分之几是多少。
¬
例如:
5×的意义是:
表示求5的是多少。
¬
4.分数乘分数的计算法则:
分数乘分数,用分子相乘的积作分子,分母相乘的积作分母。
(为了计算简便,可以先约分再乘。
)¬
5.乘积是1的两个数互为倒数。
¬
6.求一个数(0除外)的倒数,只要把这个数的分子、分母调换位置。
(1的倒数是1。
0没有倒数。
)¬¬
注意:
倒数必须是成对的两个数,单独的一个数不能称做倒数。
¬
7.一个数(0除外)乘以一个真分数,所得的积小于它本身。
¬
8.一个数(0除外)乘以一个假分数,所得的积大于或等于它本身。
¬
9.如果几个不为0的数与不同分数相乘的积相等,那么与大分数相乘的因数反而小,与小分数相乘的因数反而大。
三、分数除法概念总结¬
1.分数除法的意义:
分数除法的意义与整数除法的意义相同,都是已知两个因数的积与其中一个因数,求另一个因数的运算。
¬
2.分数除法口诀:
被除数不变,除号变乘号,除数变倒数¬
3.两个数相除又叫做两个数的比。
比的前项除以后项所得的商,叫做比值。
¬
4.比值通常用分数、小数和整数表示。
¬
5.比的后项不能为0。
(分母不能为0、除数不能为0)¬
6.比同除法比较,比的前项相当于被除数,后项相当于除数,比值相当于商;¬
7.和分数比较,比的前项相当于分子,比的后项相当于分母,比值相当于分数的值。
¬
8.比的基本性质:
比的前项和后项同时乘上或者同时除以相同的数(0除外),比值不变。
9.一个数(0除外)除以一个真分数,所得的商大于它本身。
¬
10.一个数(0除外)除以一个假分数,所得的商小于或等于它本身。
¬
11、解分数(百分数)应用题注意事项:
¬
a.找单位“1”的方法:
从含有分数的句子中找,“的”前“比”后的规则。
¬
当句子中的单位“1”不明显时,把原来的量看做单位“1”。
¬
b.分数(百分数)应用题三种基本类型¬
①求比较量,用乘法单位“1”×分率=比较量;¬
②求单位“1”,用除法比较量÷分率=单位“1”¬
c.求分率,用除法比较量÷单位“1”=分率¬
d.注意比较量与分率的对应:
①多的比较量对多的分率;②少的比较量对少的分率;
③增加的比较量对增加的分率;④减少的比较量对减少的分率;
⑤提高的比较量对提高的分率;⑥降低的比较量对降低的分率;
⑦工作总量的比较量对工作总量的分率;⑧工作效率的比较量对工作效率的分率;
⑨部分的比较量对部分的分率;⑩总量(和)的比较量对总量(和)的分率;
e.单位“1”不同的两个分率不能相加减,解应用题时应把题中的不变量做为单位“1”,统一分率的单位“1”,然后再相加减。
¬
f.单位“1”的特点:
①单位“1”为分母;②单位“1”为不变量。
四、圆概念总结
1、圆中心的一点,这一点叫做圆心。
圆心一般用字母O表示。
2.半径:
连接圆心到圆上任意一点的线段叫做半径。
半径一般用字母r表示。
把圆规两脚分开,两脚之间的距离就是圆的半径。
3.圆心确定圆的位置,半径确定圆的大小。
4.直径:
通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径。
直径一般用字母d表示。
5.在同一个圆内,有无数条半径,所有的半径都相等,有无数条直径。
所有的直径都相等。
7.在同一个圆内,直径的长度是半径的2倍,半径的长度是直径的一半。
用字母表示为:
d=2rr=d÷2
8.圆的周长:
围成圆的曲线的长度叫做圆的周长。
9.圆的周长总是直径的3倍多一些,这个比值是一个固定的数。
我们把圆的周长和直径比值叫做圆周率,用字母表示。
圆周率是一个无限不循环小数。
在计算时,取3.14。
世界上第一个把圆周率算出来的人是我国的数学家祖冲之。
圆周率=π≈3.14
11.把一个圆切拼成一个近似的长方形,割拼成的长方形的长相当于圆周长的一半,宽相当于圆的半径,因为长方形的面积=长×宽,所以圆的面积=πr×r=πr²。
12.在一个正方形里画一个最大的圆,圆的直径等于正方形的边长。
在一个长方形里画一个最大的圆,圆的直径等于长方形的宽。
15.环形的周长=外圆周长+内圆周长
16.半圆的周长等于圆的周长的一半加直径。
公式:
C=πd÷2+d 或 C=πr+2r
注:
半圆的周长不等于圆周长的一半。
(圆周长的一半=πr)
17.半圆面积=圆的面积÷2 公式为:
S=πr²÷2
18.在同一个圆里,半径扩大或缩小多少倍,直径和周长也扩大或缩小相同的倍数。
而面积扩大或缩小以上倍数的平方倍。
如:
在同一个圆里,半径扩大4倍,那么直径和周长就都扩大4倍,而面积扩大16倍。
19.两个圆的半径比等于直径比等于周长比,而面积比等于以上比的平方。
如:
两个圆的半径比是2:
3,那么这两个圆的直径比和周长比都是2:
3,面积比是4:
9。
20.当一个圆的半径增加a厘米时,它的周长就增加2πa厘米;
当一个圆的直径增加a厘米时,它的周长就增加πa厘米。
21.当长方形,正方形,圆的周长相等时,圆的面积最大,长方形的面积最小。
22.轴对称图形:
如果一个图形沿着一条直线对折,两侧的图形能够完全重合,这个图形就是轴对称图形。
折痕所在的这条直线叫做对称轴。
23.有1一条对称轴的图形有:
角、等腰三角形、等腰梯形、扇形、半圆。
有2条对称轴的图形是:
长方形
有3条对称轴的图形是:
等边三角形
有4条对称轴的图形是:
正方形
有无数条对称轴的图形是:
圆、同心圆环。
注意:
平行四边形不是轴对称图形
24.直径所在的直线是圆的对称轴。
五、百分数概念总结¬
1.百分数的定义:
表示一个数是另一个数的百分之几的数,叫做百分数。
百分数也叫做百分率或百分比。
2、百分数表示两个数之间的比率关系,不表示具体的数量,无单位名称。
3.百分数通常不写成分数形式,而在原来分子后面加上“%”来表示。
分子部分可为小数、整数,可以大于100,小于100或等于100。
4.应纳税额:
缴纳的税款叫应纳税额。
5.税率:
应纳税额与各种收入的比率叫做税率。
6.应纳税额=各种收入×税率
7.本金:
存入银行的钱叫做本金。
8.利息:
取款时银行多支付的钱叫做利息。
9.国家规定,存款的利息要按20%(现在是5%,应以题目为准)的税率纳税。
国债的利息不纳税。
10.利率:
利息与本金的比值叫做利率。
(注意前、后项不要掉转)
11.银行存款税后利息的计算公式:
利息=本金×利率×时间×(1-20%)
12.国债利息的计算公式:
利息=本金×利率×时间
13.本息:
本金与利息的总和叫做本息。
六、图形总结
(一)、直线、射线、线段
直线:
没有端点,两边无限延长,无法度量。
射线:
有一个端点,一边可以无限延长,无法度量。
线段:
有两个端点,可以度量。
(二)、角:
1、由一个顶点引出两条射线,所组成的图形叫做角。
2、角的大小取决于角两边叉开的大小,与边的长短无关。
3、角的分类
锐角:
大于0度小于90度直角:
等于90度
钝角:
大于90度小于180度平角:
等于180度1周角=2平角=4直角
周角:
等于360度¬
(三)、三角形
1.意义:
由三条线段围成的图形叫做三角形。
2.特性:
三角形具有稳定性。
3.三角形的内角和为180°;直角三角形的两锐角之和为90°。
4、三角形的分类:
按角分:
①锐角三角形(三个角都是锐角)②直角三角形(有一个角是直角)
③钝角三角形(有一个角是钝角)
按边分:
①等边三角形(三条边相等,三个角都是60度)②等腰三角形(两条边相等)③不等边三角形(三条边都不相等)
(四)、四边形¬
1.平行四边形:
两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
(或有两组对边分别相等的四边形)(或有一组对边平行且相等的四边形)
2.长方形:
长方形是特殊的平行四边形,它的两组对边分别平行且相等,四个角都是直角。
3.正方形:
正方形是特殊的长方形,它的四条边都相等,四个角都是直角。
4.梯形:
只有一组对边平行的四边形叫做梯形。
两腰相等的梯形叫做等腰梯形。
有一个角是直角的梯形叫做直角梯形。
5.四边形的四个内角和为360°。
(五)、立体图形
1、正方体的特征:
有6个面(都是全等的正方形),12条棱(长度都相等),8个顶点。
2、长方体的特征:
有6个面(都是长方形,有可能两个面是正方形,相对面的面积相等),12条棱(相对的棱长相等),8个顶点。
(正方体是一种特殊的长方体。
当长方体的长、宽、高都相等时,即为正方体。
)
3、圆柱的特征:
上下底是相等的两个圆,有无数条高,条条相等,侧面是曲面,展开是一个长方形,长等于圆柱底面的周长,宽等于圆柱的高。
4、圆锥的特征:
1个底面、1个顶点、一个侧面、1条高。
底面是一个圆,顶点到底面圆心的距离是高,侧面展开得到一个扇形。
它的体积是等底等高的圆柱体积的。
(六)图形公式总结
内角和:
三角形的内角和=180度
四边形的四个内角和为360
多边形的内角和:
(边数—2)×180
正方形:
正方形的周长:
边长×4公式C=4a
正方形的面积:
边长×边长公式S=a×a
长方形:
长方形的周长:
(长+宽)×2公式C=(a+b)×2
长方形的面积:
长×宽公式S=a×b
平行四边形的面积:
底×高公式S=a×h
梯形的面积:
(上底+下底)×高÷2公式S=(a+b)h÷2
三角形的面积:
底×高÷2。
公式S=a×h÷2
长方体:
长方体的体积:
长×宽×高公式:
V=abh
长方体(或正方体)的体积:
底面积×高公式V=abh
正方体的体积:
棱长×棱长×棱长公式:
V=aaa=a3
圆圆的周长:
直径×π或2×半径×π公式:
C=πd或C=2πr
圆的面积:
半径×半径×π公式:
S=πr2
环形面积:
大圆面积—小圆面积公式:
S环=πR-πr
圆柱的侧面积:
底面的周长×高。
公式:
S=ch=πdh=2πrh
圆柱体的表面积;底面的周长×高﹢底面积×2公式:
S=ch+2s=ch+2πr¬
圆柱体的体积:
底面积×高公式:
V=Sh
圆锥体的体积=底面积×高×1/3公式:
V=Sh
圆柱体和圆锥体的关系:
①等底面积等高:
圆柱的体积是圆锥体积的3倍。
②等体积等高:
圆柱的底面积是圆锥底面积的1/3。
③等体积等底面积;圆柱的高是圆锥高的1/3。
六、定义定理性质总结
(一)、定律性质方面
1、加法交换律:
两数相加交换加数的位置,和不变。
2、加法结合律:
三个数相加,先把前两个数相加,或先把后两个数相加,再同第三个数相加,和不变。
3、减法的运算性质:
①一个数连续减去几个数,等于这个数减去几个除数的和。
②一个数连续减去几个数,可以将几个减数交换位置。
4、乘法交换律:
两数相乘,交换因数的位置,积不变。
5、乘法结合律:
三个数相乘,先把前两个数相乘,或先把后两个数相乘,再和第三个数相乘,它们的积不变。
6、乘法分配律:
两个数的和(差)同一个数相乘,可以把两个加数分别同这个数相乘,再把两个积相加(减),结果不变。
如:
(2+4)×5=2×5+4×5
7、除法的运算性质:
①在除法里,被除数和除数同时扩大(或缩小)相同的倍数,商不变。
②一个数连续除以几个数,等于这个数除以几个除数的积。
例:
90÷5÷6=90÷(5×6)
③一个数连续除以几个数,可以将几个除数交换位置。
8、什么叫方程?
答:
含有未知数的等式叫方程。
9、什么叫比例:
表示两个比相等的式子叫做比例。
如3:
6=9:
18
10、比例的基本性质:
在比例里,两个外项的积等于两个内项的积。
11、解比例:
求比例中的未知项,叫做解比例。
如3:
χ=9:
18
12、什么叫代数?
代数就是用字母代替数。
什么叫代数式?
代数式:
由数和表示数的字母经有限次加、减、乘、除、乘方和开方等代数运算所得的式子,或含有字母的数学表达式称为代数式。
例如:
ax+2b,-2/3
13、分数的加减法则:
同分母的分数相加减,只把分子相加减,分母不变。
异分母的分数相加减,先通分,然后再加减。
14、分数大小的比较:
同分母的分数相比较,分子大的大,分子小的小。
异分母的分数相比较,先通分然后再比较;若分子相同,分母大的反而小。
15、分数的基本性质:
分数的分子和分母同时乘上或除以同一个数(0除外),分数的大小不变。
比的基本性质:
比的前项和后项同时乘上或除以一个相同的数(0除外),比值不变。
商不变的性质:
被除数和除数同时乘上或除以同一个数(0除外),商不变。
16、正比例:
两种相关联的量,一种量变化,另一种量也随着化,如果这两种量中相对应的的比值(也就是商)一定,这两种量就叫做成正比例的量,它们的关系就叫做正比例关系。
①用字母表示:
如果用字母x和y表示两种相关联的量,用k表示它们的比值,(一定)正比例关系可以用以下关系式表示:
y=kx(k不等于0)
②正比例关系两种相关联的量的变化规律:
同时扩大,同时缩小,比值不变.
例如:
汽车每小时行驶的速度一定,所行的路程和所用的时间是否成正比例?
以上各种商都是一定的,那么被除数和除数,所表示的两种相关联的量,成正比例关系.注意:
在判断两种相关联的量是否成正比例时应注意这两种相关联的量,虽然也是一种量,随着另一种的变化而变化,但它们相对应的两个数的比值不一定,它们就不能成正比例.例如:
一个人的年龄和它的体重,就不能成正比关系,正方形的边长和它的面积也不成正比例关系.y与x的关系,当k>0时,y随x的增大而大,当k<0时,y随x的增大而少。
17、反比例:
两种相关联的量,一种量变化,另一种量也随着变化,如果这两种量中相对应的两个数的积一定,这两种量就叫做成反比例的量,它们的关系就叫做反比例关系。
如:
x×y=k(k一定)
如:
在总数与份数关系中,包含总数、份数和每份数。
当总数一定时,每份数和份数是两种相关联的变量。
如果每份数变化,份数也随着变化。
同样如果份数变化,每份数也随着变化。
它们的变化,无论扩大还是缩小,相对应的两个量的乘积(也就是总数)一定。
具体说,当总数一定时,每份数(或份数)扩大或缩小若干倍,份数(或每份数)反而缩小或扩大相同的倍数。
”。
具备这种变化关系的每份数和份数成反比例关系。
反比例关系在典型应用题中属于归总问题。
反映在除法中,当被除数一定,除数和商成反比例关系。
在分数中,当分数的分子一定,分母与分数值成反比例关系。
在比例中,比的前项一定,比的后项与比值成反比例关系。
如果再把总数与份数关系具体化为:
在购物问题中,总价一定,单价和数量成反比例关系。
在行程问题中,路程一定,速度和时间成反比例关系。
用字母表示例如y=k;x乘y=k乘1/x(k不等于0)的函数叫做反比例函数,k叫做反比例系数。
y乘x=k(一定),这是求反比例的公式
18、正比例和反比例的不同点
正比例:
变化方向相同,一种量扩大或缩小,另一种量也扩大或缩小。
相对应的每两个数的比值(商)是一定的。
反比例:
变化方向相反,一种量扩大(缩小),另一种量反而缩小(扩大)。
相对应的每两个数的积是一定的。
(二)、数的概念和数的整除¬
1、自然数:
用来表示物体个数的整数,叫做自然数。
0是最小的自然数。
2、整数:
像-2,-1,0,1,2这样的数称为整数。
(自然数是整数的一部分,整数不止包括自然数,还有(负整数)我们以0为界限,将整数分为三大类
正整数,即大于0的整数如,1,2,3••••••直到n。
0,既不是正整数,也不是负整数,它是介于正整数和负整数的数。
负整数,即小于0的整数如,-1,-2,-3••••••直到-n。
3、分数:
把单位“1”平均分成若干份,表示这样的一份或几份的数,叫做分数。
4、真分数:
分子比分母小的分数叫做真分数。
真分数都小于1。
5、假分数:
分子比分母大或者分子和分母相等的分数叫做假分数。
假分数大于或等于1。
6、无限循环小数:
一个小数,从小数部分的某一位起,一个数字或几个数字依次不断的重复出现,这样的小数叫做循环小数。
如3.141414……
纯循环小数:
循环节从小数部分第一位开始的。
混循环小数:
循环节不从小数部分第一位开始的。
7、无限不循环小数:
一个小数,从小数部分起到无限位数,没有一个数字或几个数字依次不断的重复出现,这样的小数叫做无限不循环小数。
如π=3.141592654┉┉
小数、分数、百分数的互化
8、把小数化成百分数,只要把小数点向右移动两位,同时在后面添上百分号。
其实,把小数化成百分数,只要把这个小数乘100%就行了。
把百分数化成小数,只要把百分号去掉,同时把小数点向左移动两位。
9、把分数化成百分数,通常先把分数化成小数(除不尽时,通常保留三位小数),再把小数化成百分数。
其实,把分数化成百分数,要先把分数化成小数后,再乘以100%就行了。
10、把百分数化成分数,先把百分数改写成分数,能约分的要约成最简分数。
11、把小数化成分数,先看小数点后面有几位小数,就在1的后面添上几个0作分母,原来的小数去掉小数点作分子,能约分的要约成最简分数。
把分数化成小数,用分子除于分母。
12、整除:
数a除以数b,(a、b是整数且b不为0)除得的商是整数而没有余数,就说a能被b整除(或b能整除a)。
除尽包含整除。
如10÷2=5,就说10能被2整除,2能整除10。
13、约数、倍数:
如果数a能被数b整除,b就叫做a的约数,a就是b的倍数。
如:
10÷2=5,就说2是10的约数,10是2的倍数。
14、最大公约数:
几个数都能被同一个数一次性整除,这个数就叫做这几个数的最大公约数。
(或几个数公有的约数,叫做这几个数的公约数。
其中最大的一个,叫做最大公约数。
)
15、最小公倍数:
几个数公有的倍数,叫做这几个数的公倍数,其中最小的一个叫做这几个数的最小公倍.
公因数:
几个共有的因数,叫做这几个数的公因数;其中最大的一个,叫做这几个数的最大公因数。
16、倍数与因数:
一个整数能够被另一整数整除,这个整数就是另一整数的倍数。
如15、能够被3或5整除,因此15是3的倍数,也是5的倍数。
一个数除以另一数所得的商。
如a÷b=c,就是说a是b的c倍,a是b的倍数。
一个数能整除它的积,那么,这个数就是因数,它的积就是倍数。
3×5=15因数1因数2倍数例如:
A÷B=C,就可以说A是B的C倍。
一个数的倍数有无数个,也就是说一个数的倍数的集合为无限集.注意:
不能把一个数单独叫做倍数,只能说谁是谁的倍数。
17、互质数:
公约数只有1的两个数,叫做互质数。
¬
18、通分:
把异分母分数的分别化成和原来分数相等的同分母的分数,叫做通分。
(通分用最小公倍数)¬
19、约分:
把一个分数化成同它相等,分子、分母是互质的分数,叫做约分。
(约分用最大公约数)¬
20、最简分数:
分子、分母是互质数的分数,叫做最简分数。
¬
分数计算到最后,得数必须化成最简分数。
¬
21、偶数和奇数:
能被2整除的数叫做偶数。
不能被2整除的数叫做奇数。
(0是自然数中最小的偶数)¬
22、质数(素数):
一个数,如果只有1和它本身两个约数,这样的数叫做质数(或素数)。
(最小的质数是2)¬
23、合数:
一个数,如果除了1和它本身还有别的约数,这样的数叫做合数。
1不是质数,也不是合数。
(最小的合数是4)
24、互质数:
对于两个数来看,公因数只有1的两个数,叫做互质数。
(不算它本身)
对于多个数来看,若干个最大公因数只有1的正整数,叫做互质数。
表达及运用注意
(1)这里所说的“两个数”是指除0外的所有自然数。
(2)“公因数只有1”,不能误说成“没有公因数。
”
(3)三个或三个以上自然数互质有两种不同的情况:
一种是这些成互质数的自然数是两两互质的。
如2、3、5。
另一种不是两两互质的。
如6、8、9。
两个整数(正整数)(N),除了1以外,没有其他公约数时,称这两个数为互质数.互质数的概率是6/π^2
判定互质数的方法汇总,直接分辨
(1)两个不相同质数一定是互质数。
例如,2与7、13与19。
(2)相邻的两个自然数是互质数。
例如15与16。
(3)相邻的两个奇数是互质数。
例如49与51。
(4)大数是质数的两个数是互质数。
例如97与88。
(5)小数是质数,大数不是小数的倍数的两个数是互质数。
例如7和16。
(6)2和任何奇数是互质数。
例如2和87。
(7)1和任何自然数(0除外)都是互质数
25、分解质因数:
把一个合数用质因数相乘的形式表示出来。
¬
如:
把12分解质因数:
12=2×2×3(不要写成2×2×3=12)
26、小数、分数、百分数意义
小数:
由整数部分、小数部分和小数点组成的数。
小数的基本性质:
在小数的末0,小数的大小不变。
尾添上0或者去掉
分数:
把单位"1"平均分成若干份,表示这样的一份或几份,叫做分数。
百分数:
分母是100的分数叫做百分数。
这种定义着眼于形式,把百分数作为分数的一种特殊形式。
表示一个数(比较数)是另一个数(标准数)的百分之几的数叫做百分数。
这种定义着眼于应用,用来表示两个数的比。
所以百分数又叫百分比或百分率。
百分数通常不写成分数形式,而采用符号“%”来表示,叫做百分号。
比较数、标准数、分率(百分数),这三者的关系如下:
比较数÷标准数=分率(百分数),标准数×分率=比较数,比较数÷分率=标准数。
27、分数,比,除法之间的关系
分数的分子相当于比的前项也相当于除法中的被除数
分数的分母相当于比的后项也相当于除法中的除数(这三个都不能是0)
分数值相当于比值也相当于商
分数的基本性质:
分数的分子和分母同时乘上或除以相同的数(0除外),分数的大小不变。
比的基本性质:
比的前项和后项同时乘上或除以相同的数(0除外),比值不变。
除法商不变性质:
被除数和除数同时乘上或除以相同的数(0除外),商不变。
分数,比,除法之间可以互相转化。
如:
3/5=3:
5=3÷5
(三)、数量关系计算公式方面¬
总数÷总份数=平均数
和差问题的公式(和+差)÷2=大数(和-差)÷2=小数
和倍问题的公式和÷(倍数-1)=小数小数×倍数=大数(或者和-小数=大数)
差倍问题的公式差÷(倍数-1)=小数小数×倍数=大数(或小数+差=大数)
植树问题
非封闭线路上的植树问题主要可分为以下三种情形:
⑴如果在非封闭线路的两端都要植树,那么:
株数=段数+1=全长÷株距-1全长=株距×(株数-1)株距=全长÷(株数-1)
⑵如果在非封闭线路的一端要植树,
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