人教版高中数学知识点总结新课标.docx
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人教版高中数学知识点总结新课标
一.集合与简易逻辑
1.注意区分集合中元素的形式.如:
{x|ylgx}—函数的定义域;{y|ylgx}—函数的值域;
{(x,y)|ylgx}—函数图象上的点集.
2.集合的性质:
①任何一个集合A是它本身的子集,记为AA.
②空集是任何集合的子集,记为A.
③空集是任何非空集合的真子集;注意:
条件为AB,在讨论的时候不要遗忘了A的情况
2x
如:
A{x|ax210},如果AR,求a的取值.(答:
a0)
④C(AB)CACB,CU(AB)CUACUB;(AB)CA(BC);
UUU
(AB)CA(BC).
⑤ABAABB
ABCBCA
UU
ACB
U
CABR.
U
⑥AB元素的个数:
card(AB)cardAcardBcard(AB).
⑦含n个元素的集合的子集个数为2n;真子集(非空子集)个数为2n1;非空真子集个数为2n2
n;真子集(非空子集)个数为2n1;非空真子集个数为2n2
.
3.补集思想常运用于解决否定型或正面较复杂的有关问题。
2pxp2p
如:
已知函数f(x)4x2
(2)21在区间[1,1]上至少存在一个实数c,使
3
f(c)0,求实数p的取值范围.(答:
(3,))
2
4.原命题:
pq;逆命题:
qp;否命题:
pq;逆否命题:
qp;互为逆否的两
个命题是等价的.如:
“sinsin”是“”的条件.(答:
充分非必要条件)
5.若pq且qp,则p是q的充分非必要条件(或q是p的必要非充分条件).
6.注意命题pq的否定与它的否命题的区别:
命题pq的否定是pq;否命题是pq.
命题“p或q”的否定是“p且q”;“p且q”的否定是“p或q”.
如:
“若a和b都是偶数,则ab是偶数”的否命题是“若a和b不都是偶数,则ab是奇数”
否定是“若a和b都是偶数,则ab是奇数”.
7.常见结论的否定形式
原结论否定原结论否定
是不是至少有一个一个也没有
都是不都是至多有一个至少有两个
大于不大于至少有n个至多有n1个
小于不小于至多有n个至少有n1个
对所有x,成立存在某x,不成立p或qp且q
对任何x,不成立存在某x,成立p且qp或q
二.函数
1.①映射f:
AB是:
⑴“一对一或多对一”的对应;⑵集合A中的元素必有象且A中不
同元素在B中可以有相同的象;集合B中的元素不一定有原象(即象集B).
②一一映射f:
AB:
⑴“一对一”的对应;⑵A中不同元素的象必不同,B中元素都有原象.
2.函数f:
AB是特殊的映射.特殊在定义域A和值域B都是非空数集!
据此可知函数图像与x轴
的垂线至多有一个公共点,但与y轴垂线的公共点可能没有,也可能有任意个.
3.函数的三要素:
定义域,值域,对应法则.研究函数的问题一定要注意定义域优先的原则.
4.求定义域:
使函数解析式有意义(如:
分母0;偶次根式被开方数非负;对数真数0,底数0
且1;零指数幂的底数0);实际问题有意义;若f(x)定义域为[a,b],复合函数f[g(x)]定义
域由ag(x)b解出;若f[g(x)]定义域为[a,b],则f(x)定义域相当于x[a,b]时g(x)的值域.
5.求值域常用方法:
①配方法(二次函数类);②逆求法(反函数法);③换元法(特别注意新元的范围).
④三角有界法:
转化为只含正弦、余弦的函数,运用三角函数有界性来求值域;
⑤不等式法⑥单调性法;⑦数形结合:
根据函数的几何意义,利用数形结合的方法来求值域;
⑧判别式法(慎用):
⑨导数法(一般适用于高次多项式函数).
6.求函数解析式的常用方法:
⑴待定系数法(已知所求函数的类型);⑵代换(配凑)法;
⑶方程的思想----对已知等式进行赋值,从而得到关于f(x)及另外一个函数的方程组。
8.函数的奇偶性和单调性
⑴函数有奇偶性的必要条件是其定义域是关于原点对称的,确定奇偶性方法有定义法、图像法等;
⑵若f(x)是偶函数,那么f(x)f(x)f(|x|);定义域含零的奇函数必过原点(f(0)0);
⑶判断函数奇偶性可用定义的等价形式:
f(x)f(x)0或
f(x)
f(x)
1(f(x)0);
⑷复合函数的奇偶性特点是:
“内偶则偶,内奇同外”.
注意:
若判断较为复杂解析式函数的奇偶性,应先化简再判断;既奇又偶的函数有无数个
(如f(x)0定义域关于原点对称即可).
⑸奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性;偶函数在对称的单调区间内有相反的单调性;
⑹确定函数单调性的方法有定义法、导数法、图像法和特值法(用于小题)等.
⑺复合函数单调性由“同增异减”判定.(提醒:
求单调区间时注意定义域)
如:
函数
2
ylog(x2x)的单调递增区间是_____________.(答:
(1,2))
1
2
9.函数图象的几种常见变换⑴平移变换:
左右平移---------“左加右减”(注意是针对x而言);
上下平移----“上加下减”(注意是针对f(x)而言).⑵翻折变换:
f(x)|f(x)|;f(x)f(|x|).
⑶对称变换:
①证明函数图像的对称性,即证图像上任意点关于对称中心(轴)的对称点仍在图像上.
②证明图像
C与
1
C的对称性,即证
2
C上任意点关于对称中心(轴)的对称点仍在
1
C上,反之亦然.
2
③函数yf(x)与yf(x)的图像关于直线x0(y轴)对称;函数yf(x)与函数
yfx的图像关于直线y0(x轴)对称;
()
④若函数yf(x)对xR时,f(ax)f(ax)或f(x)f(2ax)恒成立,则yf(x)图像关
于直线xa对称;
⑤若yf(x)对xR时,f(ax)f(bx)恒成立,则yf(x)图像关于直线
ab
x对称;
2
⑥函数yf(ax),yf(bx)的图像关于直线
ba
x对称(由axbx确定);
2
⑦函数yf(xa)与yf(bx)的图像关于直线
ab
x对称;
2
⑧函数yf(x),yAf(x)的图像关于直线
A
y对称(由
2
f(x)Af(x)
y确定);
2
⑨函数yf(x)与yf(x)的图像关于原点成中心对称;函数yf(x),ynf(mx)
的图像关于点
mn
(,)
22
对称;
⑩函数yf(x)与函数
yfx的图像关于直线yx对称;曲线1()
1()
C:
f(x,y)0,关于
1
yxa,yxa的对称曲线
C的方程为f(ya,xa)0(或f(ya,xa)0;
2
曲线
C:
f(x,y)0关于点(a,b)的对称曲线
1
C方程为:
f(2ax,2by)0.
2
10.函数的周期性:
⑴若yf(x)对xR时f(xa)f(xa)恒成立,则f(x)的周期为2|a|;
⑵若yf(x)是偶函数,其图像又关于直线xa对称,则f(x)的周期为2|a|;
⑶若yf(x)奇函数,其图像又关于直线xa对称,则f(x)的周期为4|a|;
⑷若yf(x)关于点(a,0),(b,0)对称,则f(x)的周期为2|ab|;
⑸yf(x)的图象关于直线xa,xb(ab)对称,则函数yf(x)的周期为2|ab|;
⑹yf(x)对xR时,f(xa)f(x)或
1
f(xa),则yf(x)的周期为2|a|;
f(x)
n
11.对数:
⑴logablogab(a0,a1,b0,nR);⑵对数恒等式
n
log(0,1,0)
aN
aNaaN;
M
n
⑶log()loglog;logloglog;loglog
MNMNMNMnM;
aaaaaaaa
N
1
n
logaMloga
n
M;⑷对数换底公式
log
a
logN
b
N(a0,a1,b0,b1);
loga
b
_x0007_
推论:
logablogbclogca1logaalogaalogaanlogaan.
122311
n
(以上
M0,N0,a0,a1,b0,b1,c0,c1,a,a,a0且
12n
a1,a2,an均不等于1)
12.方程kf(x)有解kD(D为f(x)的值域);af(x)恒成立a[f(x)]最大值,
af(x)恒成立a[f(x)]最小值.
13.恒成立问题的处理方法:
⑴分离参数法(最值法);⑵转化为一元二次方程根的分布问题;
14.处理二次函数的问题勿忘数形结合;二次函数在闭区间上必有最值,求最值问题用“两看法”:
一看开口方向;二看对称轴与所给区间的相对位置关系;
15.二次函数解析式的三种形式:
①一般式:
2
f(x)axbxc(a0);②顶点式:
2
f(x)a(xh)k(a0);③零点式:
f(x)a(xx1)(xx2)(a0).
16.一元二次方程实根分布:
先画图再研究0、轴与区间关系、区间端点函数值符号;
17.复合函数:
⑴复合函数定义域求法:
若f(x)的定义域为[a,b],其复合函数f[g(x)]的定义域可由
不等式ag(x)b解出;若f[g(x)]的定义域为[a,b],求f(x)的定义域,相当于x[a,b]时,求
g(x)的值域;⑵复合函数的单调性由“同增异减”判定.
18.对于反函数,应掌握以下一些结论:
⑴定义域上的单调函数必有反函数;⑵奇函数的反函数
也是奇函数;⑶定义域为非单元素集的偶函数不存在反函数;⑷周期函数不存在反函数;
⑸互为反函数的两个函数在各自的定义域具有相同的单调性;⑹yf(x)与
yfx互为1()
1()
反函数,设f(x)的定义域为A,值域为B,则有
1
f[f(x)]x(xB),
ffxxxA.1[()]()
1[()]()
19.依据单调性,利用一次函数在区间上的保号性可解决求一类参数的范围问题:
f(u)g(x)uh(x)0(或0)(aub)
f(a)0
f(b)0
(或
f(a)0
f(b)0
);
20.函数yaxb(c0,adbc)的图像是双曲线:
①两渐近线分别直线d
21.x(由分母为零确定)和
cxdc
直线ya(由分子、分母中x的系数确定);②对称中心是点(d,a)
ccc
;③反函数为
bdx
y;
cxa
bbb
22.函数yax(a0,b0):
增区间为(,],[,)
aa
x
bb
减区间为[,,0),(0,]
aa
.
如:
已知函数
ax1
fx在区间(2,)上为增函数,则实数a的取值范围是_____(答:
()
x2
1
(,)).
2
三.数列
7.由
S求an,
n
a
n
S(n1)
1
*
SS(n2,nN)
nn1
注意验证
a是否包含在后面an的公式中,若不符合要
1
单独列出.如:
数列{a}满足
n
5
aSSa,求an(答:
4,
1nn1n1
3
a
n
4(n1)
n1
34(n2)
).
8.等差数列
{a}aad(d为常数)
nnn1
2aaa(n2,nN*)
nn1n1
dd2
aanb(ad,bad)SAnBn(A,Ba);
n1n1
22
9.等差数列的性质:
①aa(nm)d,
nm
aa
mn
d;
mn
②
mnlkaaaa(反之不一定成立);特别地,当mn2p时,有aa2a;
mnlkmnp
③若{}
a、{bn}是等差数列,则{kantbn}(k、t是非零常数)是等差数列;
n
④等差数列的“间隔相等的连续等长片断和序列”即
S,SS,SS,仍是等差数列;
m2mm3m2m
⑤等差数列{an},当项数为2n时,SSnd
偶奇,
Sa
奇
Sa
偶
n
n
1
;项数为2n1时,
S偶S奇a中anN,S2n1(2n1)an,且
(*)
n
Sn
奇
Sn
偶
1
Aa
fnfn.
;n()n(21)
Bb
nn
⑥首项为正(或为负)的递减(或递增)的等差数列前n项和的最大(或最小)问题,转化为解不等式
_x0007_
a
n
a
n
0
a0
n
(或).也可用
0a0
1n1
2
SAnBn的二次函数关系来分析.
n
⑦若am,an(mn),则amn0;若Snm,Smn(mn),则Smn(mn);
nm
若SS(mn),则Sm+n=0;S3m=3(S2m-Sm);SmnSmSnmnd.
mn
a
2n1
23.等比数列1
n
{a}q(q0)aaa(n2,nN*)aaq.
nnn1n1n1
a
n
24.等比数列的性质
①
nm
aaq,
nm
q
nm
a
n
a
m
;②若{a}、{bn}是等比数列,则{kan}、{anbn}等也是等比数列;
n
na(q1)na(q1)
11
③
S
n
naqaaqana
(1)
11n
11
(q1)q(q1)
1q1q1q1q
;④
mnlkaaaa(反之不一定成
mnlk
立);
mn
SSqSSqS.⑤等比数列中Sm,S2mSm,S3mS2m,(注:
各项均不为0)
mnmnnm
仍是等比数列.⑥等比数列{a}当项数为2n时,
n
S
S
偶
奇
q
;项数为2n1时,
Sa
奇
1
S
偶
q
.
a
25.①如果数列{a}是等差数列,则数列{A}(
n
n
a
A总有意义)是等比数列;如果数列{}
na是等比数列,
n
则数列{loga|an|}(a0,a1)是等差数列;
②若{a}既是等差数列又是等比数列,则{a}是非零常数数列;
nn
③如果两个等差数列有公共项,那么由他们的公共项顺次组成的数列也是等差数列,且新数列的公差
是原两个等差数列公差的最小公倍数;如果一个等差数列和一个等比数列有公共项,那么由他们的
公共项顺次组成的数列是等比数列,由特殊到一般的方法探求其通项;
④三个数成等差的设法:
ad,a,ad;四个数成等差的设法:
a3d,ad,ad,a3d;
a
三个数成等比的设法:
a,aq;四个数成等比的错误设法:
q
aa
3
3,,aq,aq(为什么?
)
26.数列的通项的求法:
⑴公式法:
①等差数列通项公式;②等比数列通项公式.
⑵已知
S(即
n
a1a2anf(n))求
a用作差法:
n
a
n
S,(n1)
1
SS,(n2)
nn1
.
⑶已知
a1a2anf(n)求
f
(1),(n1)
a用作商法:
a()n.
nfn
n
(2)
f(n1)
⑷若
a1af(n)求an用迭加法.⑸已知
nn
a
n
a
n
1()
fn,求an用迭乘法.
⑹已知数列递推式求
n
a,用构造法(构造等差、等比数列):
①形如ankan1b,aka1b,
nnn
akaanb(k,b为常数)的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为k的等比数列后,
nn1
再求
a.②形如
n
a
n1
a的递推数列都可以用“取倒数法”求通项.
n
kab
n1
27.数列求和的方法:
①公式法:
等差数列,等比数列求和公式;②分组求和法;③倒序相加;④错位
相减;⑤分裂通项法.公式:
1
123nn(n1);
2
22221
123nn(n1)(2n1);
6
3333n(n1)2
123n[];
2
2
135nn;常见裂项公式
111
n(n1)nn1
;
1111
()
n(nk)knnk
;
1111
[]
n(n1)(n1)2n(n1)(n1)(n2)
;
n11
(n1)!
n!
(n1)!
常见放缩公式:
212
2(n1n)2(nn1)
n1nnnn1
.
28.“分期付款”、“森林木材”型应用问题
⑴这类应用题一般可转化为等差数列或等比数列问题.但在求解过程中,务必“卡手指”,细心计算
“年限”.对于“森林木材”既增长又砍伐的问题,则常选用“统一法”统一到“最后”解决.
⑵利率问题:
①单利问题:
如零存整取储蓄(单利)本利和计算模型:
若每期存入本金p元,每期利
n(n1)
率为r,则n期后本利和为:
Sp(1r)p(12r)p(1nr)p(nr)(等差数列问
n
2
题);②复利问题:
按揭贷款的分期等额还款(复利)模型:
若贷款(向银行借款)p元,采用分期等
额还款方式,从借款日算起,一期(如一年)后为第一次还款日,如此下去,分n期还清.如果每期利率为r(按复利),那么每期等额还款x元应满足:
nn1n2
p(1r)x(1r)x(1r)x(1r)x(等比数列问题).
四.三角函数
29.终边与终边相同2k(kZ);终边与终边共线k(kZ);终边
与终边关于x轴对称k(kZ);终边与终边关于y轴对称
2k(kZ);终边与终边关于原点对称2k(kZ);
终边与终边关于角终边对称22k(kZ).
30.弧长公式:
l||r;扇形面积公式:
112
31.S扇形lrr;1弧度(1rad)≈57.3.
||
22
32.三角函数符号(“正号”)规律记忆口诀:
“一全二正弦,三切四余弦”.
注意:
tan15cot7523;tan75cot1523;
33.三角函数同角关系中(八块图):
注意“正、余弦三兄妹
11
sinxcosx、sinxcosx”的关系.
00
22
2
如
(sinxcosx)12sinxcosx等.
34.对于诱导公式,可用“奇变偶不变,符号看象限”概括;
1
111
(注意:
公式中始终.视...为.锐.角..)
35.角的变换:
已知角与特殊角、已知角与目标角、已知角
2
1
0
0
1
2
sincossincos
与其倍角或半角、两角与其和差角等变换.
如:
();2()();2()();
2;
2
()()等;“1”的变换:
222
22
1sinxcosxtanxcotx2sin30tan45;
36.重要结论:
22
asinxbcosxabsin(x)其中tan
b
a
);重要公式
2;
1cos2
sin
2
2
cos
1cos2
2
;
1cossin1cos
tan;
21cos1cossin
1sin
2
(cossin)|cossin|.
2222
万能公式:
2tan
sin2;
2
1tan
2
1tan
cos2;
2
1tan
2tan
tan2.
2
1tan
k
k
37.正弦型曲线yAsin(x)的对称轴2()
38.xkZ;对称中心(,0)()
39.kZ;
k
k
2
余弦型曲线yAcos(x)的对称轴()(,0)(kZ);
xkZ;对称中心
40.熟知正弦、余弦、正切的和、差、倍公式,正、余弦定理,处理三角形内的三角函数问题勿忘三
内角和等于180,一般用正、余弦定理实施边角互化;正弦定理:
abc
sinAsinBsinC
2R;
余弦定理:
22222
222bca(bc)a
abc2bccosA,cosA1;
2bc2bc
正弦平方差公式:
22
sinAsinBsin(AB)sin(AB);三角形的内切圆半径
2SABC
r;
abc
面积公式:
1abc
SabsinC;射影定理:
abcosCccosB.
24R
41.ABC中,易得:
ABC,①sinAsin(BC),cosAcos(BC),tanAtan(BC).
_x0007_
②
ABC
sincos
22
ABC
cossin
22
ABC
tancot
22
.③abABsinAsinB
④锐角ABC中,
AB,sinAcosB,cosAcosB,
2
⑤tanAtanBtanCtanAtanBtanC.
222
abc,类比得钝角ABC结论.
42.角的范围:
异面直线所成角
(0,];直线与平面所成角
2
[0,];二面角和两向量的夹角[0,];直线
2
的倾斜角[0,);
l到l2的角[0,);l1与l2的夹角
1
(0,].注意术语:
坡度、仰角、俯角、方位角等.
2
五.平面向量
10.设
a(x,y),b(x2,y2).
(1)a//bx1y2
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