ASD数学建模.docx
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ASD数学建模.docx
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ASD数学建模
特别提示:
12月23日16:
30之前以班级为单位按要求将答卷交往A318
一、解释下列词语(每条词语满分5分,共15分)
1.模型:
模型指为了某种特定目的将原型的某一部分信息简化、压缩、提炼而构造成的原型替代物。
如地图、苯分子图.
2.数学模型
由数字、字母、或其他数学符号组成的,描述现实对象(原型)数量规律的数学结构。
具体地说,数学模型也可以描述为:
对于现实世界的一个特定对象,为了一个特定的目的,根据特有的内在规律,做出一些简化假设后,运用适当的数学工具,得到的一个数学结构称之为数学模型.如概率的功利化定义.
3.思维模型
通过人们对原型的反复认识,将获取的知识以经验的形式直接存储在大脑中的模型称之谓思维模型.如汽车司机对方向盘的操作.
二、简答题(每小题满分8分,共24分)
1.模型的分类
按照模型替代原型的方式,模型可以简单分为形象模型和抽象模型两类.形象模型:
直观模型、物理模型、分子结构模型等;抽象模型:
思维模型、符号模型、数学模型等。
2.数学建模的基本步骤
1)建模准备:
确立建模课题的过程;
2)建模假设:
根据建模的目的对原型进行抽象、简化。
有目的性原则、简明性原则、真实性原则和全面性原则;
3)构造模型:
在建模假设的基础上,进一步分析建模假设的各条款,选择恰当的数学工具和构造模型的方法对其进行表征,构造出根据已知条件和数据,分析模型的特征和模型的结构特点,设计或选择求解模型的数学刻划实际问题的数学模型.;
4)模型求解:
构造数学模型之后,方法和算法,并借助计算机完成对模型的求解;
5)模型分析:
根据建模的目的要求,对模型求解的数字结果,或进行稳定性分析,或进行系统参数的灵敏度分析,或进行误差分析等。
;
6)模型检验:
模型分析符合要求之后,还必须回到客观实际中去对模型进行检验,看它是否符合客观实际;
7)模型应用:
模型应用是数学建模的宗旨,将其用于分析、研究和解决实际问题,充分发挥数学模型在生产和科研中的特殊作用.
3.数学模型的作用
数学模型的根本作用在于它将客观原型化繁为简、化难为易,便于人们采用定量的方法去分析和解决实际问题。
正因为如此,数学模型在科学发展、科学预见、科学预测、科学管理、科学决策、驾控市场经济乃至个人高效工作和生活等众多方面发挥着特殊的重要作用数学不仅是人们认识世界的有力工具,而且对于人的素质培养,无论是在自然科学,还是社会科学中都随时发生着作用,使其终生受益。
特别是,当代计算机科学的发展和广泛应用,使得数学模型的方法如虎添翼,加速了数学向各个学科的渗透,产生了众多的边缘学科。
数学模型还物化于各种高新科技之中,从家用电器到天气预报,从通信到广播电视,从核电站到卫星,从新材料到生物工程,高科技的高精度、高速度、高安全、高质量、高效率等特点无一不是通过数学模型和数学方法并借助计算机的计算、控制来实现的。
三、解答题(满分20分)
A题
小童父亲要到美国访问,授人之托希望多带点东西。
中国民航的《国际旅游须知》中有关“计件免费行李额”中规定“适应于中美、中加国际航线上的行
1
特别提示:
12月23日16:
30之前以班级为单位按要求将答卷交往A318李运输……。
经济和旅游折扣票价,免费交运的行李件数为两件,每件箱体三边之和不得超过62英寸,但两件之和不得超过107英寸,每件的最大重量不得超过32公斤。
”试问这两件箱子的长、宽、高各为多少可达最大体积?
请你到市场上看一看,商店出售的行李箱的尺寸与你的计算结果是否接近?
为什么?
设x1,y1,z1分别表示第一个箱子的长、宽、高,x2,y2,z2分别表示表示另一个箱子的长、宽、高.于是建立数学模型为
MaxV=x1y1z1+x2y2z2
⎧x+y+z≤62,
⎪111
⎪x+y+z≤62,
S.T.222
⎨max{x,y,z}+max{x,y,z}≤107,
⎪111222
⎪x≥0,y≥0,z≥0,x≥0,y≥0,z≥0.
⎩111222
当x=y=z=x=y=z=64时,体积最大.
112223
B题
国庆庆典活动的中心广场有数万名学生手持花环组成大型图案方阵,方阵前排距观礼台120米,方阵纵列95人,每列长度192米,试问第一、二两排间距多大能够达到满意的观礼效果?
略
C题
某人从南郊前往北郊火车站乘火车,有两条路可走.第一条路穿过市中心,路程较短,但交通拥挤,所需时间(以分钟计)服从正态分布N(35,80);第二条路沿环城公路走,路程较长,但意外阻塞较少,所需时间服从正态分布N(40,20).试问
(1)假如有50分钟时间可用,应走哪条路?
(2)若只有40分钟时间可用,又应该走哪条路线?
设X表示“该人沿第一条路线从南郊到北郊火车站所需的时间”,Y表示“该人沿第二条路线从南郊到北郊火车站所需的时间”,依题意X~N(35,80),Y~N(40,20).
(1)若有50分钟可用,由于
P{X≤50}=Φ(50−35)≈Φ(1.68)=0.95352,
80
P{Y≤50}=Φ(50−40)≈Φ(2.24)≈0.98745.
20
于是,该人从南郊到北郊火车站沿第二条路走,在50分钟内到达的概率比沿第一条路的概率大,故此时应选择第二条路走.
(2)若有40分钟可用,由于
P{X≤40}=Φ(40−35)≈Φ(0.56)=0.71226,
80
P(Y≤40)=Φ(40−40)=Φ(0)=0.5,
20
因此,该人从南郊到北郊火车站沿第一条路走,在40分钟内到达的概率比沿第二条路的概率大,故此时应选择第一条路走.
2
特别提示:
12月23日16:
30之前以班级为单位按要求将答卷交往A318
D题
1997年11月8日电视正在播放长江三峡工程大江截流的实况,截流从8:
55开始,当时龙口的水面宽40米,水深60米。
11:
50时,播音员报告水面宽为34.4米,到13:
00时,播音员又报告水面宽为31米。
这时,电视机旁的某位同学说,现在可以估算下午几点合龙。
从8:
55到11:
50,进展的速度每小时宽度减少1.9米,从11:
50到13:
00,进展的速度每小时宽度减少2.9,该同学认为回填速度是越来越快的,近似于每小时速度加快1米。
从下午1点起,大约需要5个多小时,即下午6点钟左右能合龙。
因此,该同学上街到书店去买有关三峡工程介绍和数学建模方面的书籍,但当他坐车返回时,突然从广播里听到了大江截流成功的消息,该同学非常后悔没有看到大江截流成功时的实况,这时他忽然反应过来,赶快看了看手表,此时正好是下午3点30分。
请你根据上面的数据,建立一个合理的数学模型进行计算,使你的计算结果更切合实际;并帮助该同学分析他出错的原因,并对该同学应提出那些合理化的建议?
略
E题
录像带上有一个四位计数器,一盘180分钟的录像带在开始计数时为0000,到结束时计数为1849,实际走时为185分20秒.我们从0084观察到0147共用时3分20秒.若录像机目前的计数为1428,问是否还能录完一个60分钟节目?
建立数学模型给于回答.
设录像带的厚度为d,录像带的速度为v,转动圆盘的半径为r,计数器为n所用的时间为t,于是
θ1vd2
n=2π=d(πt+r−r)
12βvπr2
令a=2,b=,α=,β=.则
ααπddv
t=an2+bn
于是
⎧2
84a+84b=1t,
⎪2
⎪147a+147b=t,
⎨2
18492a+1849b=11120,
⎪
⎪t−t=200,
⎩21
故a=165380,b=260965420.进而所用时间
9423798394237983
∆t=a(18492−1428)+b(1849−1428)=3586.962
所以不能录完一个60分钟的节目.
F题
某金融机构为保证现金充分支付,设立一笔总额$540万的基金,分开放置在位于A城和B城的两个公司,基金在平时可以使用,但每周末结算时必须确保总额仍为$540万.经过相当一段时期业务情况,发现每过一周,各公司的支付基金在流通过程中多数还是留在自己公司内,而A城公司有10%支付基金流动到B城公司,B城公司则有12%支付基金流动到A城公司.此时,A城公司基金额为$260万,B城公司基金额$280万.按此规律,两公司支付基金数额变化趋势如何?
如果金融专家认为每个公司的支付基金不能少于$220万,那么是否在什么时间需要将基金作专门调动来避免这种情形?
3
特别提示:
12月23日16:
30之前以班级为单位按要求将答卷交往A318
设此后第k周末结算时,A城公司和B城公司的支付基金数分别为ak和bk(单位:
万美元),那么立刻有
⎧a=0.9a+0.12b
k+1kkk=0,1,
⎨b=0.1a+0.88b
⎩k+1kk
这是一个差分方程组,连同初始条件
a0=260,b0=280
给出了这个问题的数学模型.通过依次迭代,可以求出各周末时ak和bk的数值,以下的表列出了1至12周末两公司的基金数(单位:
万美元)
表
kakbkkakbk
1267.6272.47288.477251.523
2273.528266.4728289.812250.188
3278.152261.8489290.854249.146
4281.758258.24210291.666248.334
5284.572255.42811292.299247.701
6286.766253.23412292.793247.207可以看出A城公司支付基金数在逐步增加,但增幅逐步变小;B城公司的基金数变化则正好相反.然而ak是否有上界、b是否有下界?
b是否会小于220?
kk
解决这问题不止一种方法,若利用线性代数的知识将差分方程组(17)写为矩阵的形式
⎛a⎞⎛0.90.12⎞⎛a⎞
k+1=k
⎜b⎟⎜⎟⎜b⎟
⎝k+1⎠⎝0.10.88⎠⎝k⎠
那么我们就可以得到
⎛a⎞0.90.12k⎛a⎞
k⎛⎞0
⎜⎟=⎜⎟
b⎜0.10.88⎟b
⎝k⎠⎝⎠⎝0⎠
⎛a⎞⎛260⎞
其中0=是初始值.利用局针对角化方法可以求解.
⎜⎟⎜⎟
⎝b0⎠⎝280⎠
G题
公司A、B、C是某地区三家主要灭虫机厂商.根据以往资料得知,公司A、B、C产品的市场占有率分别为50%、30%、20%.由于C公司实行了改善销售与服务方针的经营管理策略,使其产品销售额逐期稳定上升,而A公司却下降.通过市场调查发现三公司间的顾客流动情况如下表所示.
三公司间的顾客流动情况
公司周期0的顾客周期1的供应公司
数ABC
A500035005001000
B30003002400300
C20001001001800
周期2的顾客10000390030003100
数
其中产品销售周期是季度,现在的问题是按目前的趋势发展下去,A公司的产品销售各或客户转移的影响严重到什么程度?
更全面的,三公司的产品市场占有率将如何变化?
设公司A、B、C在第k个周期拥有的顾客数分别为ak,bk,ck,于是
4
特别提示:
12月23日16:
30之前以班级为单位按要求将答卷交往A318
⎛a⎞⎛0.70.10.2⎞⎛a⎞
⎜k⎟⎜⎟⎜k−1⎟
bk=0.10.80.1bk−1,
⎜⎟⎜⎟⎜⎟
⎝ck⎠⎝0.050.050.9⎠⎝ck−1⎠
令π=(πππ)=(abc)=(abc),于是
123kkkk−1k−1k−1
⎧0.7π1+0.1π2+0.05π3=π1
⎪0.1π+0.8π+0.05π=π
⎪1232
⎨0.2π+0.1π+0.9π=π
⎪1233
⎪π+π+π=1
⎩123
解之得
π1=0.1765,π2=0.2353,π3=0.5882.
故A、B公司市场占有率逐期下降,C公司市场占有率逐期上升.A、B、C公司市场占有率最终分别达到17.65%、23.53%、58.52%.
四、综合题(41分)
H.赌客与赌徒问题
一次春游中,在来往游客很多的地方发现一类赌博现象,形式是这样的,有一个人(下称赌徒)拿着一个装有二十只同样大小的玻璃小球的小袋,共有五种颜色(如红、绿、黄、黑、白),每一种颜色均为四球,让游人(下称赌客)从小袋中摸出十个小球,如摸到红球四个、绿球四个、黄球两个,则数字从小到大排列为442,以摸到各种球所组成数字的排列定输赢,其规定如下表
不同颜色所组成数字排列44243344114222431113331
输赢钱数+10+5+5+2+2+2不同颜色所组成数字排列2222243214221133223321132221
输赢钱数+1+1+0.5+0.5-2-2.5其中“+”表示赌客赢,如摸到的球色数字排列位442,则赌客赢得10元,“—”表示赌客输,如摸到的球色数字排列位32221,则赌客输2.5元。
就这种情况进行分析,你能为赌客和赌徒分别提出一些什么样的建议。
由已知条件计算概率如下
不同颜色所组成44243344114222431113331数字排列(i)
输赢钱数(x)+10+5+5+2+2+2
i
概率(p)0.000970.00260.00260.023380.027710.02771
i
不同颜色所组成2222243214221133223321132221数字排列(i)
输赢钱数(x)+1+1+0.5+0.5-2-2.5
i
概率(p)0.042090.062350.093530.093530.37410.24941
i
E(X)=12xp=−0.98046.
∑ii
i=1
I.养鱼问题
我国为支持农村经济发展,免费提某种鱼苗用以支持某地区养殖业的发展。
设某地区有一池塘,其水面面积100×100平方米,根据当地环境测出每平方米养鱼不超过1公斤,每公斤鱼苗大约有500条,鱼可四季生长,每天的生长重量与
5
特别提示:
12月23日16:
30之前以班级为单位按要求将答卷交往A318鱼自重成正比,360天可长成成鱼,其重量为2公斤,每公斤鱼每天需要饲料0.005公斤,给鱼池内只投放鱼苗,池内鱼的繁殖与死亡均可忽略不计,市场上鱼饲料价格0.2元/公斤,此种鱼的销售价格为:
每条鱼重量(公斤)0.2-0.750.75-1.51.5-20.2每公斤的售价(元)68100请你为一承包户设计一下最优方案.1.此承包护承包期为一年;2.此承包护承包期为三年;此承包护承包期为三十年.
略
J.跑步中的数学问题
跑步是基本活动技能,是人体快速移动的一种动作姿势。
跑步和走路的主要区别在于两腿在交替落地过程中有一个腾空阶段。
跑步是最简便而易见实效的体育健身内容。
近二三十年来,跑步已成为国内外千百万人参加的群众健身运动,是深受广大群众所欢迎的健身项目。
人们普遍认为跑步是最好的健身方法。
每个正常人都经历过跑步,有人会疲惫不堪。
我们的问题是:
怎样跑不能使我们消耗的能量尽可能的少?
假设:
(1)跑步所花费的时间分成两部分:
第一部分为两条腿同时离开地面的时间;第二部分为一条腿或两条腿同时落地的时间。
这样人的身体重心如图所示。
根据经验不妨设
d=a
hb
(2)假设跑步是匀速的,速度为v.跑步所消耗的能量为
Wf=(h+d)mgm为身体的质量
12
W=m′vm′为腿部的质量
s2
于是,跑步时所消耗的能量总和为
12
W=W+W=(h+d)mg+m′v
fs2
(3)用L表示人的身高,不妨设m、m′与L成正比,a与L成正比,即3
3′3
m=C1L,m=C2L,a=C3L.
模型求解
重心离开B上升到最高点所需要的时间
t=b
2v
因此,最高的高度为
1gb2
h=gt2=
28v2
所以
(a+b)bmg21
W=+m′v2
8v22
6
特别提示:
12月23日16:
30之前以班级为单位按要求将答卷交往A318又因为完成一个周期跑步的时间为(a+b),从而单位时间所消耗的能量为
v
2′3
P=W=bmg+mv
a+b8v2(a+b)
v
再由第二假设,令b=ja,于是
L4v3L2
P=C4j⋅+C5⋅
v(1+j)
再令dP=0,有
dj
Cv4v4
25
(1+j)=2∝2
C4LL
K飞机降落曲线
在研究飞机的自动着陆系统时,技术人员需要分析飞机的降落曲线(图1).根据经验,一架水平飞行的飞机,其降落曲线是一条
五次多项式.飞行的高度为h,飞机着陆点O为原点,
且在这个降落过程中,飞机的水平速度始终保持为常
数u.出于安全考虑,飞机垂直加速度的最大绝对值
gg
不得超过10,此处是重力加速度.1.若飞机从距
降落点水平距离s处开始降落,试确定出飞机的降落曲图1
线.2.求开始下降点s所能允许的最小值.
设所求飞机的降落曲线为
y=a+ax+ax2+ax3+ax4+ax5
012345
由已知条件
⎧y(0)=0,y(s)=h,
⎪y′(0)=0,y′(s)=0,
⎨
⎪y′(0)=0,y′′(s)=0.
⎩
于是可求得
a=a=a=0,a=10h,a=−15h,a=6h.
012334455
sss
从而所求的降落曲线的方程为
10h3−15h46h5
y=3x+4x+5x
sss
又
d2y60hx180hx2120hx3
=[−+]u2
dt345
sss
⎧2⎫2
maxdy=10hu
⎨2⎬
dt2
⎩⎭3s
7
特别提示:
12月23日16:
30之前以班级为单位按要求将答卷交往A318
10hu2g
于是由已知条件,即s≥100h⋅u=10⋅3h⋅u.
2≤
3g3g
3s10
L除雪机模型
有条10km长的公路,由一台除雪机负责除雪。
每当路面的平均厚度达到0.5m时,除雪机开始工作.但是雪仍在下着,路面雪的厚度在不断的增加,除雪机的前进速度会不断降低,其速度随雪的厚度呈现性变化,在无雪的路面上除雪机的行驶速度为13m/s;。
当雪的厚度达到1.5m时,除雪机将无法工作。
雪下了1h,雪最大时路面积雪厚度以0.1cm/s速度增加,前0.5h雪越下越大,后0.5h越下越少。
问除雪机能否将整条路面的积雪清除?
由已知条件,雪的厚度的变化率为
⎧−3
10t,0 ⎪ ′1800 h(t)=⎨ 3t ⎪10(2−),1800 ⎪1800 ⎧−72 h(t)=2.77778×10t,0 ⎨−7 ⎩−2.77778×10(t−6141.58)(t−1054.42),1800 于是除雪机能够清理路面的长度 2556.0772556.0772 s=∫vdt=∫13[1−h(t)]dt=5017.93米(), 1341.641341.643 所以除雪机不能将整个路面积雪清除. M验血分组问题 在一个人数很多的团体中普查某种疾病,为此需要对团体中团体成员逐个验血,一般来说,若血样呈阳性,则有此种疾病;呈阴性则无此种疾病.逐个验血工作量也很大.为了减少验血的工作量,有位统计学家提出一种方案: 把团体中的成员进行分组,再把组内所有人员的血样混合后再检验,若呈阴性,则该组内所有人员都无此疾病,这时只需作一次检验;若呈阳性,这时为搞清楚谁患有此种疾病,则对组内每个人员分别检验,共需检验k+1次.若该团体中患此病症的概率为p,且各人得此种疾病相互独立,那么此种方法能否减少验血次数? 若能减少,那么减少多少工作量? 假设团体中共有N个人,令X表示该团体中每人需要验血的次数,那么X是只取2个值的随机变量,其分布为 1k1k P(X=k)=(1−p),PX=(1+k)=1−(1−p) 则每人平均化验次数 1k1k1k E(X)=k(1−p)+(1+k)[1−(1−p)]=1+k−(1−p) 而新的验血方法比逐个验血方法平均减少的验血次数 k1 1−E(X)=(1−p)−k 8 特别提示: 12月23日16: 30之前以班级为单位按要求将答卷交往A318 k1 只要EX()<1,即(1−p)>k,就能减少验血工作量. 21 如取p=0.1,k=2,那么1−E(X)=0.9−=0.31(次)),如果该团体有10000人,则 2 可减少3100次,即可减少31%的工作量. 类似地,可以进行如下计算: 当p=0.1,k=4时,使得EX()的值最小,这时可以减少40.61%的工作量,然后又逐渐增加,当k=34时,E(X)>1,这种方法反而增加工作量。 还可以计算,当p=0.01,k=11时,EX()的值最小,这时可以减少80.44%的工作量;还可以计算,当p=0.001,k=28时,E(X)的值最小,这时可以减少93.67%的工作量。 可见,患某种疾病的概率p越小,使EX()取到最小值 k1 k值越大,减少验血的工作量的期望值1−E(X)=(1−p)−k就越大。 对于pk不同值的, E(X)数值计算列表如下,并且根据这些数据描述的曲线如图。 kp=0.1p=0.05p=0.01p=0.005p=0.001 20.31000.40250.48010.49000.4980 40.40610.56450.71060.73010.7460 50.39050.57380.75100.77520.7950 80.30550.53840.79770.83570.8670 100.24870.49870.80440.85110.8900 130.17730.43640.80060.86000.9102 160.12280.37760.78900.8604
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