《为什么要证明》教案 公开课.docx
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《为什么要证明》教案公开课
1.为什么要证明
一、学生知识状况分析
学生的技能根底:
在七年级和八年级上学生学习了很多与几何相关的知识,为今天的进一步的学习作好了知识储藏,同时,学生也经历了很多验证结论合理性的过程,有了初步的逻辑推理思维,合情推理能力得到了很大的提高,为今天系统的培养学生严谨的逻辑推理能力打下了良好的根底.
学生活动经验根底:
在以往的几何学习中,学生已经参与了对几何图形的观察、比较、动手操作、猜想、归纳等活动,对今天本节课的分组讨论、自主探究等活动有很大的帮助.
二、教学任务分析
学生的直观能力是数学教学中要培养的一个方面,但如果学生仅有对图形的直观感受而不能进行推理、论证,有时是会产生错误的结论,本课时安排?
你能肯定吗?
的教学是让学生的直观感受与实际结果之间产生思维上的碰撞,从而使学生对原有的直观感觉产生疑心,从而确立对某一事物进行合理论证的必要性。
因此,本课时的教学目标是:
1.运用实验验证、举反例验证、推理论证等方法来验证某些问题的结论正确与否.
2.经历观察、验证、归纳等过程,使学生对由这些方法所得到的结论产生疑心,以此激发学生的好奇心,从而认识证明的必要性,培养学生的推理意识.
3.了解检验数学结论的常用方法:
实验验证、举出反例、推理论证等.
三、教学过程分析
本节课的教学思路为:
验证活动〔1〕——猜想并验证活动〔2〕——猜想并验证活动〔3〕——经验总结——学生练习——课堂小结——稳固练习
第一环节:
验证活动〔1〕
活动内容1:
图中两条线段a、b的长度相等吗?
四边形是正方形吗?
请先观察,再设法检验你观察到的结论.
可以用直尺测量一下,发现a=b;这个四边形是正方形.
活动内容2:
代数式n2-n+11的值是质数吗?
取n=0,1,2,3,4,5试一试,你能否由此得到结论:
对于所有自然数n,n2-n+11的值都是质数?
与同伴交流.
参考答案:
列表归纳为
n
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
…
n2-n+11
11
11
13
17
23
31
41
53
67
83
101
121
是否为质数
是
是
是
是
是
是
是
是
是
是
是
不是
活动目的:
对现在结论进行验证,让学生感受到知识有时具有一定的迷惑性〔欺骗性〕,从而对不完全归纳的合理性产生疑心,为下一步的学习提供必要的精神准备.
本卷须知:
学生通过列表归纳,根据自己以往的经验判断,在n=10以前都一直认为n2-n+11是一个质数,但当n=10时,找到了一个反例,进而发现不能根据少数几个现象轻易肯定某个数学结论的正确性.
第二环节:
猜想并验证活动〔2〕
活动内容:
如图,假设用一根比地球的赤道长1米的铁丝将地球赤道围起来,那么铁丝与地球赤道之间的间隙能有多大〔把地球看成球形〕?
能放进一个红枣吗?
能放进一个拳头吗?
参考答案:
设赤道周长为c,铁丝与地球赤道之间的间隙为:
它们的间隙不仅能放进一个红枣,而且也能放进一个拳头.
活动目的:
通过理性的计算,验证了很难想像到的结论,让学生产生思维上的碰撞,进而对自己的直观感觉产生疑心,再次为论证的合理性提供素材.
本卷须知:
要充分让学生发表自己的见解,首先让学生对自己的结论确信无疑,再进一步计算,结果与学生的感觉产生矛盾,切忌直接进行计算,把结论告诉学生,这样就达不到预想的要求,不能让学生留下深刻的印象.
第三环节:
猜想并验证活动〔3〕
活动内容:
如图,在△ABC中,点D,E分别是AB,AC的中点,连接DE.DE于BC有怎样的位置关系和数量的关系?
请你先猜一猜,再设法检验你的猜想,您呢过肯定你的结论对所有的△ABC都成立吗?
与同伴进行交流.
参考答案:
过C作AB的平行线交DE的延长线于G点。
∵CG∥AD
∴∠A=∠ACG
∵∠AED=∠CEG、AE=CE、∠A=∠ACG〔用大括号〕
∴△ADE≌△CGE〔A.S.A)
∴AD=CG(全等三角形对应边相等)
∵D为AB中点
∴AD=BD
∴BD=CG
又∵BD∥CG
∴BCGD是平行四边形〔一组对边平行且相等的四边形是平行四边形〕
∴DG∥BC且DG=BC
∴DE=DG/2=BC/2
活动目的:
通过对图形的直观感受得出结论,但要使学生清楚地知道对几何结论的验证,通常是用严谨的逻辑推理来论述.
本卷须知:
让学生大胆地进行预测,但要让学生说清理由,让学生了解几何证明的必要性.
第四环节:
归纳与总结
活动内容:
①通过以上数学活动,使学生对每一个问题的结论的正确性有了疑心,从而知道了由观察、猜想等渠道得到的结论还必须经过有效的证明才能对其进行肯定.也即:
要判断一个数学结论是正确,仅观察、猜想、实验还不够,必须经过一步一步,有根有据的推理.
②举例说明“推理意识〞与推理方法.
活动目的:
使学生理解仅有对图形的直观感受是不够的,从而帮助学生建立推理意识.
本卷须知:
让学生用自己的语言进行表达,培养学生的表达能力.
第五环节:
反响练习
活动内容:
1.〔1〕如图中三条线段a、b、c,哪一条线段与线段d在同一直线上?
请你先观察,再用三角尺验证一下.
〔2〕图中两条线段a与b的长度相等吗?
答案:
〔1〕线段b与线段d在同一直线上.
〔2〕线段a与b的长度相等.
2.当n为正整数时,n2+3n+1的值一定是质数吗?
答案:
经验证:
当n为正整数时,n2+3n+1的值一定是质数.
第六环节:
课堂小结
活动内容:
今天这节课你学到了什么知识?
参考答案:
①要说明一个数学结论是否正确,无论验证多少个特殊的例子,也无法保证其正确性.
②要确定一个数学结论的正确性,必须进行一步一步、有根有据的推理.
活动目的:
通过学生的总结,使学生对证明的必要性有一个清楚的认识,数学杜绝随意性,数学是严密的科学.
本卷须知:
通过前三个例题的感受以及反响练习,学生都清楚地知道推理、论证的必要性,了解了数学不是一种直观感受,而是一种严密的科学.
第七环节稳固练习
课本第164页习题7.1第2,3题.
四、教学反思
本节课的教学设计是建立在“以学生的开展为本,为学生的终身学习奠定根底〞的教育理念上,融入了新课标的思想内涵,尊重学生的直观感觉,并从学生的直观感觉出发逐步将学生的思维引向严密性、逻辑证明等方面,不是一味地强调证明的必要性,而是通过几个事实的说明来让学生意识到证明的必要性,设计中突出表达了学生的主体地位.
在教学设计中,力求让学生学会将生活问题数学化,用一个有趣的生活问题:
“用一根铁丝将地球赤道围起来〞引起学生的兴趣并进行猜想,然后通过计算得出一个令人很意外的结果,同时也培养了学生“用数学〞的意识,并且使得学生有一种感受:
数学来源于生活,效劳于生活,同时也要用数学的眼光看世界,切勿盲信于自己的直观感觉.
本节课通过事例让学生体会检验数学结论的常用方法:
实验验证、举出反例、推理等.符合学生的认识特点和知识水平。
有助于培养学生理解问题、分析问题、解决问题的能力.
1.8完全平方公式
(一)
●教学目标
(一)教学知识点
1.完全平方公式的推导及其应用.
2.完全平方公式的几何背景.
(二)能力训练要求
1.经历探索完全平方公式的过程,进一步开展符号感和推理能力.
2.重视学生对算理的理解,有意识地培养他们有条理的思考和表达能力.
(三)情感与价值观要求
1.了解数学的历史,激发学习数学兴趣.
2.鼓励学生自己探索算法的多样化,有意识地培养学生的创新能力.
●教学重点
1.完全平方公式的推导过程、结构特点、语言表述、几何解释.
2.完全平方公式的应用.
●教学难点
1.完全平方公式的推导及其几何解释.
2.完全平方公式结构特点及其应用.
●教学方法
自主探索法
学生在教师的引导下自主探索完全平方公式的几何解释、代数运算角度的推理,揭示其结构特点,然后到达合理、熟练地应用.
●教具准备
投影片四张
第一张:
试验田的改造,记作(§1.8.1A)
第二张:
想一想,记作(§1.8.1B)
第三张:
例题,记作(§1.8.1C)
第四张:
补充练习,记作(§1.8.1D)
●教学过程
Ⅰ.创设问题情景,引入新课
[师]去年,一位老农在一次“科技下乡〞活动中得到启示,将一块边长为a米的正方形农田改成试验田,种上了优质的杂交水稻,一年来,收益很大.今年,又一次“科技下乡〞活动,使老农铁了心,要走科技兴农的路子,于是他想把原来的试验田,边长增加b米,形成四块试验田,种植不同的新品种.
同学们,谁来帮老农实现这个愿望呢?
(同学们开始动手在练习本上画图,寻求解决的途径)
[生]我能帮这位爷爷.
[师]你能把你的结果展示给大家吗?
[生]可以.如图1-25所示,这就是我改造后的试验田,可以种植四种不同的新品种.
图1-25
[师]你能用不同的方式表示试验田的面积吗?
[生]改造后的试验田变成了边长为(a+b)的大正方形,因此,试验田的总面积应为(a+b)2.
[生]也可以把试验田的总面积看成四局部的面积和即边长为a的正方形面积,边长为b的正方形的面积和两块长和宽分别为a和b的面积的和.所以试验田的总面积也可表示为a2+2ab+b2.
[师]很好!
同学们用不同的形式表示了这块试验田的总面积,进行比较,你发现了什么?
[生]可以发现它们虽形式不同,但都表示同一块试验田的面积,因此它们应该相等.即(a+b)2=a2+2ab+b2
[师]我们这节课就来研究上面这个公式——完全平方公式.
Ⅱ.讲授新课
1.推导完全平方公式
[师]我们通过比照试验田的总面积得出了完全平方公式(a+b)2=a2+2ab+b2.其实,据有关资料说明,古埃及、古巴比伦、古印度和古代中国人也是通过类似的图形认识了这个公式.我们姑且把这种方法看作对完全平方公式的一个几何解释.能不能从代表运算的角度也能推导出这样的公式呢?
(出示投影片§1.8.1A)
想一想:
(1)(a+b)2等于什么?
你能用多项式乘法法那么说明理由吗?
(2)(a-b)2等于什么?
你是怎样想的.
(同学们可先在自己的练习本上推导,教师巡视推导的情况,对较困难的学生以启示)
[生]用多项式乘法法那么可得
(a+b)2=(a+b)(a+b)=a(a+b)+b(a+b)
=a2+ab+ab+b2
=a2+2ab+b2
所以(a+b)2=a2+2ab+b2
(1)
[师]上面的几何解释和代数推导各有什么利弊?
[生]几何解释完全平方公式给我们以非常直观的认识,但几何解释(a+b)2=a2+2ab+b2,受到了条件限制:
a>0且b>0;
代数推导完全平方公式虽然不直观,但在推导的过程中,a,b可以是正数,可以是负数,零,也可以是单项式,多项式.
[师]同学们分析得很有道理.接下来,我们来完成第
(2)问.
[生]也可利用多项式乘法法那么,那么(a-b)2=(a-b)(a-b)=a2-ab-ba+b2=a2-2ab+b2.
[生]我是这样想的,因(a+b)2=a2+2ab+b2中的a、b可以是任意数或单项式、多项式.我们用“-b〞代替公式中的“b〞,利用上面的公式就可以得到(a-b)2=[a+(-b)]2.
[师]这位同学的想法很好.因为他很留心我们表述的每一句话的含义,你能继续沿着这个思路做下去吗?
我们一块试一下.
[师生共析]
(a-b)2=[a+(-b)]2=a2+2·a·(-b)+(-b)2
↓↓↓↓↓↓
(a+b)2=a2+2·a·b+b2
=a2-2ab+b2.
于是,我们得到又一个公式:
(a-b)2=a2-2ab+b2
(2)
[师]你能用语言描述上述公式
(1)、
(2)吗?
[生]公式
(1)用语言描述为:
两个数的和的平方等于这两个数的平方和与它们积的2倍的和;公式
(2)用语言描述为:
两个数的差的平方等于这两个数的平方和与它们积的2倍的差.这两个公式为完全平方公式.它们和平方差公式一样可以使整式的运算简便.
2.应用、升华
出示投影片(§1.8.1B)
[例1]利用完全平方公式计算:
(1)(2x-3)2;
(2)(4x+5y)2;
(3)(mn-a)2.
分析:
利用完全平方公式计算,第一步先选择公式;第二步,准确代入公式;第三步化简.
解:
(1)方法一:
[例2]利用完全平方公式计算
(1)(-x+2y)2;
(2)(-x-y)2;
(3)(x+y-z)2;(4)(x+y)2-(x-y)2;
(5)(2x-3y)2(2x+3y)2.
分析:
此题需灵活运用完全平方公式,
(1)题可转化为(2y-x)2或(x-2y)2,再运用平方差公式;
(2)题需转化为(x+y)2,利用和的完全平方公式;(3)题利用加法结合律变形为[(x+y)-z]2(或[x+(y-z)]2、[(x-z)+y]2),再用完全平方公式计算;(4)题可利用完全平方公式,再合并同类项,也可逆用平方差公式进行计算.(5)题可先逆用幂的运算性质变形,再用平方差公式和完全平方公式.
解:
(1)方法一:
(-x+2y)2=(2y-x)2
=4y2-4xy+x2;
方法二:
(-x+2y)2=[-(x-2y)]2=(x-2y)2=x2-4xy+4y2.
(2)(-x-y)2=[-(x+y)]2=(x+y)2=x2+2xy+y2.
(3)(x+y-z)2=[(x+y)-z]2=(x+y)2-2(x+y)·z+z2
=x2+y2+z2+2xy-2zx-2yz.
(4)方法一:
(x+y)2-(x-y)2
=(x2+2xy+y2)-(x2-2xy+y2)
=4xy.
方法二:
(x+y)2-(x-y)2
=[(x+y)+(x-y)][(x+y)-(x-y)]=4xy.
(5)(2x-3y)2(2x+3y)2
=[(2x-3y)(2x+3y)]2
=[4x2-9y2]2
=16x4-72x2y2+81y4.
Ⅲ.随堂练习
课本1.计算:
(1)(
x-2y)2;
(2)(2xy+
x)2;
(3)(n+1)2-n2.
解:
(1)(
x-2y)2=(
x)2-2·
x·2y+(2y)2=
x2-2xy+4y2
(2)(2xy+
x)2=(2xy)2+2·2xy·
x+(
x)2=4x2y2+
x2y+
x2
(3)方法一:
(n+1)2-n2=n2+2n+1-n2=2n+1.
方法二:
(n+1)2-n2=[(n+1)+n][(n+1)-n]=2n+1.
Ⅳ.课后作业
1.课本习题1.13的第1、2、3题.
2.阅读“读一读〞,并答复文章中提出的问题.
Ⅴ.活动与探究
甲、乙两人合养了n头牛,而每头牛的卖价恰为n元.全部卖完后两人分钱方法如下:
先由甲拿10元,再由乙拿10元,如此轮流,拿到最后剩下缺乏十元,轮到乙拿去,为了平均分配,甲应该补给乙多少元钱?
[过程]因牛n头,每头卖n元,故共卖得n2元.
令a表示n的十位以前的数字,b表示n的个位数字.即n=10a+b,于是n2=(10a+b)2=100a2+
20ab+b2=10×2a(5a+b)+b2.
因甲先取10元,而乙最后一次取钱时缺乏10元,所以n2中含有奇数个10元,以及最后剩下缺乏10元.
但10×2a(5a+b)中含有偶数个10元,因此b2中必含有奇数个10元,且b<10,所以b2只可能是1、4、9、16、25、36、49、64、81,而这九个数中,只有16和36含有奇数个10,因此b2只可能是16或36,但这两个数的个位数都是6,这就是说,乙最后所拿的是6元(即剩下缺乏10元).
[结果]甲比乙多拿了4元,为了平均分配甲必须补给乙2元.
●板书设计
1.8.完全平方公式
(一)
一、几何背景
试验田的总面积有两种表示形式:
①a2+2ab+b2
②(a+b)2
比照得:
(a+b)2=a2+2ab+b2
二、代数推导
(a+b)2=(a+b)(a+b)
=a2+2ab+b2
(a-b)2=[a+(-b)]2
=a2-2ab+b2
三、例题讲例
例1.利用完全平方公式计算:
(1)(2x-3)2
(2)(4x+5y)2
(3)(mn-a)2
四、随堂练习(略)
●备课资料
一、杨辉
杨辉,中国南宋时期杰出的数学家和数学教育家.在13世纪中叶活动于苏杭一带,其著作甚多.
他著名的数学书共五种二十一卷.著有?
详解九章算法?
十二卷(1261年)、?
日用算法?
二卷(1262年)、?
乘除通变本末?
三卷(1274年)、?
田亩比类乘除算法?
二卷(1275年)、?
续古摘奇算法?
二卷(1275年).
杨辉的数学研究与教育工作的重点是在计算技术方面,他对筹算乘除捷算法进行总结和开展,有的还编成了歌诀,如九归口诀。
他在?
续古摘奇算法?
中介绍了各种形式的“纵横图〞及有关的构造方法,同时“垛积术〞是杨辉继沈括“隙积术〞后,关于高阶等差级数的研究.杨辉在“纂类〞中,将?
九章算术?
246个题目按解题方法由浅入深的顺序,重新分为乘除、分率、合率、互换、二衰分、叠积、盈缺乏、方程、勾股等九类.
他非常重视数学教育的普及和开展,在?
算法通变本末?
中,杨辉为初学者制订的“习算纲目〞是中国数学教育史上的重要文献.
二、参考练习
1.填空题
(1)(-3x+4y)2=.
(2)(-2a-b)2=.
(3)x2-4xy+=(x-2y)2.
(4)a2+b2=(a+b)2+.
(5)
a2++9b2=(
a+3b)2.
(6)(a-2b)2+(a+2b)2=.
2.选择题
(1)以下计算正确的选项是()
A.(m-1)2=m2-1
B.(x+1)(x+1)=x2+x+1
C.(
x-y)2=
x2-xy-y2
D.(x+y)(x-y)(x2-y2)=x4-y4
(2)如果x2+mx+4是一个完全平方式,那么m的值是()
A.4B.-4C.±4D.±8
(3)将正方形的边长由acm增加6cm,那么正方形的面积增加了()
A.36cm2B.12acm2
C.(36+12a)cm2D.以上都不对
3.用乘法公式计算
(1)(
x-
y)2
(2)(x2-2y2)2-(x2+2y2)2
(3)29×31×(302+1)
(4)9992
答案:
1.
(1)9x2-24xy+16y2
(2)4a2+4ab+b2(3)4y2(4)-2ab
(5)3ab(6)2a2+8b2
2.
(1)D
(2)C(3)C
3.
(1)
x2-
xy+
y2
(2)-8x2y2
(3)809999(4)998001
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