概率论与数理统计复习题带答案.docx
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概率论与数理统计复习题带答案
;第一章
一、填空题
1.若事件A二B且P(A)=0.5,P(B)=0.2,贝UP(A—B)=(0.3)。
2.甲、乙各自同时向一敌机炮击,已知甲击中敌机的概率为0.7,乙击中敌机的概率为
0.8.求敌机被击中的概率为(0.94)。
3.设A、E、C为三个事件,则事件A,B,C中不少于二个发生可表示为
(ABACBC)。
4.三台机器相互独立运转,设第一,第二,第三台机器不发生故障的概率依次为0.9,0.8,
0.7,则这三台机器中至少有一台发生故障的概率为(0.496)。
5.某人进行射击,每次命中的概率为0.6独立射击4次,则击中二次的概率为
(0.3456)。
6.设A、B、C为三个事件,则事件A,B与C都不发生可表示为(ABC)。
7.设A、B、C为三个事件,则事件A,B,C中不多于一个发生可表示为
(ABACBC);
8.若事件A与事件B相互独立,且P(A)=0.5,P(B)=0.2,贝UP(A|B)=(0.5);
9.甲、乙各自同时向一敌机炮击,已知甲击中敌机的概率为0.6,乙击中敌机的概率为0.5.求
敌机被击中的概率为(0.8);
10.若事件A与事件B互不相容,且P(A)=0.5,P(B)=0.2,贝UP(A-B)=(0.5)
11.三台机器相互独立运转,设第一,第二,第三台机器不发生故障的概率依次为0.8,0.8,
0.7,则这三台机器中最多有一台发生故障的概率为(0.864)。
12.若事件A—:
B且P(A)=0.5,P(B)=0.2,贝UP(AB)=(0.3);
13.若事件A与事件B互不相容,且P(A)=0.5,P(B)=0.2,贝UP(AB)=(0.5)
14.A、B为两互斥事件,则A(S)
15.A、B、C表示三个事件,则A、B、C恰有一个发生可表示为
(abc+AbC+Abc)
16.若P(A)=0.4,P(B)=0.2,P(AB)=0.1则P(AB|AB)二(0.2)
17.A、B为两互斥事件,则AB=(S)
1
18.保险箱的号码锁定若由四位数字组成,则一次就能打开保险箱的概率为
(1)。
10000
二、选择填空题
1.对掷一骰子的试验,在概率中将“出现偶数点”称为(D)
A、样本空间B、必然事件C、不可能事件D、随机事件
2.某工厂每天分3个班生产,A表示第i班超额完成任务(i=1,2,3),那么至少有两个班超
额完成任务可表示为(B)
AA1A2A3A1A2AAAAb
AAA+人八2人+人人2人+AAA
AA2A3
cAA2A
3•设当事件A与B同时发生时C也发生,则(C).
(A)AB是C的子事件;(B)ABC;或ABC;
(C)AB是C的子事件;(D)C是AB的子事件
4.如果A、B互不相容,则(C
)
B
、AB是必然事件
A、
A与E是对立事件
C、
AB是必然事件
D
、A与B互不相容
5.若AB
-门,则称A与B(B
)
A
相互独立B、互不相容C、对立D、
构成完备事件组
6.
若AB二:
:
',则(
C)
A
A与B是对立事件
B、AB是必然事件
C
AB是必然事件
D、A与B互不相容
7.
A、E为两事件满足
B-A-B,则一定有(B)
A
A=:
•:
」B、AB:
=C、AB=D、
B=A
&
甲、乙两人射击,A、
E分别表示甲、乙射中目标,贝U
AB表示(D
)
A、两人都没射中E、两人都射中C、至少一人没射中D、至少一人射中
三、计算题
1.用3台机床加工同一种零件,零件由各机床加工的概率分别为0.4,0.4,0.2;各机床加工的零
件的合格品的概率分别为0.92,0.93,0.95,求全部产品的合格率.
解:
设B表示产品合格,A表示生产自第i个机床(i=1,2,3)
3
P(B)「P(AJP(B|A)=0.40.920.40.930.20.95=
iA
2.设工厂A、B和C的产品的次品率分别为1%、2%和3%,A、B和C厂的产品分别占50%、40%和10%混合在一起,从中随机地抽取一件,发现是次品,则该次品属于A厂生产的概率是
多少?
解:
设D表示产品是次品,A,A,A3表示生产自工厂A、B和C
P(Ai|D)二
P(AJP(D|A)
3
P(A)P(D|A)
0.01沁0.5
0.010.50.020.40.030.1
3•设某批产品中,甲,乙,丙三厂生产的产品分别占45%,35%,20%,各厂的产品的次品率分
别为4%,2%,5%,现从中任取一件
(1)求取到的是次品的概率;
⑵经检验发现取到的产品为次品,求该产品是甲厂生产的概率.
解:
设D表示产品是次品,A1,A2,A3表示生产自工厂甲,乙,丙
3
P(D)7P(A)P(DIA)=0.450.040.350.020.20.05=0.026
i4
P(AJD)=
P(A)P(DIAJ
P7D
0.450.049
-13
4•某工厂有三个车间,生产同一产品,第一车间生产全部产品的60%第二车间生产全部
产品的30%第三车间生产全部产品的10%各车间的不合格品率分别为0.01,0.05,0.04,
任取一件产品,试求抽到不合格品的概率?
解:
设D表示产品是不合格品,A(,A2,As表示生产自第一、二、三车间
3
P(D)「P(A)P(DIA)=0.60.010.30.050.10.04=0.025
y
5.设工厂A和工厂B的产品的次品率分别为1%和2%,现从由A和B的产品分别占60%和40%的一批产品中随机地抽取一件,发现是次品,则该次品属于A厂生产的概率是多少?
解:
设D表示产品是次品,A,A表示生产自工厂A和工厂B
P(A1|D)=2P(A)P(D|A)迟P(A)P(D|A)
i1
0.010.6
0.010.60.020.4
6•在人群中,患关节炎的概率为
10%,由于检测水平原因
_3
7
真的有关节炎能够检测出有关节炎
的概率为85%.真的没有而检测出有的概率为4%,假设检验出其有关节炎,问他真有关节炎的概率是多少?
解:
设A表示检验出其有关节炎,B表示真有关节炎
P(B|A)二
P(B)P(A|B)
P(B)P(A|B)P(B)P(A|B)
0.1汉0.85
0.10.850.90.04
=0.7025
一、填空题
1.已知随机变量X的分布律为:
-101
0.10.40.5
0.4
2.设球的直径的测量值X服从[1,4上的均匀分布,则X的概率密度函数为
1
I—,兰x兰4
f(x)3
0,其他
3.
设随机变量X~B(5,0.3),贝yE(X)为(
1.5
设随机变量X~B(6,0.2)
分布律为
P{X=k}=Ck0.2k0.85-k,k=0,1"t6
5.
X
已知随机变量X的分布律为:
一
P
-101
0.10.40.5
则P{X
(0.6
设随机变量X的分布函数为F(x)=」
JJ3x立八
3,当x>°,则X
当x<0.
的概率密度函数
0,
f(x)=3*,当x°,
0,当x兰0.
设随机变量X~N(*;「2),则随机
丫二服从的
CF
X~N(0,1)
X
8.已知离散型随机变量X的分布律为一
P
-2
-1013
3a1/63aa11/30
则常数
a=(1/15);
A
9•设随机变量X的分布律为:
P{X=k},k=1,2,…,10.则常数A=(1
10
10.设离散型随机变量
X的分布律为
-324
P0.20.50.3
,F(x)为X的分布函数,
则F
(2)=
0.7);
11.已知随机变量
X的概率密度为f(X)=«
5x
5e
0,
则X的分布函数为
F(x)
‘-5x小
1-e,x0
0,x乞0
12.已知随机变量X只能取-1,0,1,2四个值,相应概率依次为
2c
357
—,—,—,则常数
4c8c16c
c=(
16/37
).
13.已知X是连续型随机变量,密度函数为px,且px在x处连续,Fx为其分布函
数,贝UFx=(
P(x)
14.X是随机变量,其分布函数为Fx,则X为落在a,b1内的概率
P\aX_b:
=(F(b)-F(a))。
15.已知X是连续型随机变量,a为任意实数,则P「X=a:
=(0)。
2
1—
16.已知X是连续型随机变量,且X〜N0,1,则密度函x=(-=e2)。
J2兀
17.已知X是连续型随机变量,密度函数为px,P:
aX_b?
=
b
p(x)dx)。
a
18•已知X是连续型随机变量,且X〜N0,1,Gx是X的分布函数,若门a=0.3,则
:
•:
」-a=(0.7)。
19.
设随机变量X〜N(6,4),
且已知:
:
()=0.8413,则P{4乞X乞8}=(
0.6826
20.
已知X是连续型随机变量
,且X〜Ua,b,则密度函数为
f(x)= 0,其他 )° 、选择填空题 1.三重贝努力试验中,至少有一次成功的概率为 1 A.- 4 1 B.- 3 37 ,则每次试验成功的概率为 64 3 C.一 4 2 D.- 3 (A)° C 2,x 2.设随机变量X的密度函数fX二1x2b,其他 0,1 ,则常数C为( A. B.- C.- 71 兀 D. 4 3. X〜N注,二2,则概率 P{X-」: : : 2}(D) A. 与」和二有关 B. 与」有关,与匚无关 C. 与匚有关,与,无关 D. 仅与k有关 A.0.1B.0.3C.0.6 D.1.0 5.已知X〜N0,1,Y=2X-1 A.N0,1B.N-1,4C.N-1,3 D.N-1,1 X 0 1 2 3 P 0.1 0.1 0.2 0.6 6.已知随机变量X的分布率为 则P(X2)=(D)。 A.0.1B.0.2C.0.4D.0.6 7.在相同情况下,独立地进行5次射击,每次射击时,命中目标的概率为0.6,则击中目标的次数 X的概率分布率为(A)o A.二项分布B(5,0.6)B.泊松分布P(5)C.均匀分布U0.6,5D.正态分布 1... a上x上b &px=b-a,是(C [o,其他 A.指数 B.二项 )分布的概率密度函数. C.均匀D.泊松 三、计算题 1.设随机变量X~N(1,4),求: F(5)和P{0: : : X<1.6}o : 」(0.2)=0.5793,"(0.3)=0.6179,「(0.4)=(0.6554),「(0.5)=0.6915 : 」(0)=0.5,门 (1)=0.8413,门 (2)=0.9772,门(3)=0.9987 X-15 解: F(5)=P{X乞5}=P{}=门 (2)=0.9772 22 0x-116 P{0: : X汨.6}=卩{}=「(0.3)—门(一0.5)(0.3)「(0.5)—1=0.3094 222 2.设X: N(34『,求P{4X<8t,P0乞X导(可以用标准正态分布的分布函数表示) P{4: X<8HP{43'3乞=「(5)_「(丄) 44444 0_3x_35—3 P{0X—5}=P{}=: : 」(0.5)-: : 」(一0.75)—: 」(0.5)亠氓(0.75)-1 444 4.已知随机变量的分布率为 X -1 0 1 2 P 0.1 0.2 0.3 0.4 F(x)为其分布函数,则F(3)=(C)。 2 3•设随机变量X~N(2,;_),且P{2: : : X<4}-0.3,求P{X: : : 0}。 2—2X—24—22 P{2: : : X^4}=P{}-: •: 」()一G(0)=0.3 CTCTCTCF 遨(—)=0.8 X-20-2_22 P{X: : : 0HP{}二")二1一门 (一)=0.2 eraacr 4•设随机变量X的分布律为 X -1 -2 0 1 p 1 1 1 1 — — — 4 3 12 3 2 求丫二X-1的分布律。 X -1-201 Pi 1111 43123 Y=X2-1 03-10 Y -1 0 3 P 1 7 1 12 12 3 5•某工厂生产螺栓和垫圈,螺栓直径(以毫米计)X: N(10,0.22),垫圈直径(以毫米计) Y: N(10.5,0.22),X,Y相互独立,随机的选一只垫圈和一个螺栓,求螺栓能装入垫圈的概率。 解: X-Y: N(-0.5,20.22) c。 十器}=6(1.768) 0.2.2 X—丫+0.5P{X: : Y}=P{X-Y: : 0}=P{ 0.2辺 6.设随机变量X的概率分布率如下表 X 1 2 3 Pk % ? 6 55 求X的分布函数和P{X}。 42 初551 解: P{: : : X: : }=P{X=2}= 423 02—5) 7•设随机变量Y的概率密度函数为pyi=? 0.2cy,(0: : : y^1),求 (1)常数c;、0,(其他) ⑵P{0_Y_0.5}。 : : 01c 解: (°-: P(y)dy=.」°砌.0(0.2cy)dy=°.20.2石" c=1.2 0.5 (2)P{0EY兰0.5}=J0(0.2+1.2y)dy=0.2x0.5+0.6x0.25=0.25第三章 一、填空题 1•设连续型随机变量X,Y的概率密度分别为概率密度f(x,y)=(fX(x)fY(y) 2.已知X~N(-1,32),Y~N(1,42) (X~N(0,25)) fx(x),fY(y),且X与Y相互独立,则(X,Y)的 )° 且X与Y相互独立,则XY~ X -1-200.5 Y -0.513 P 1111 43123 P 111 244 二、计算题 1•设X与Y相互独立,其概率分布如表所示,D(Y)。 求: (1)(X,Y)的联合分布, (2)E(X), Y X -0.5 1 3 -1 1 1 1 8 16 16 1 1 1 -2 — — — 6 12 12 1 1 1 0 24 48 48 1 1 1 0.5 6 12 12 E(X)二-1 1_211 432 9 12 11113 E(Y)13- 22444 E(Y2)J-1191m21 424 d(…Emm2辛存33 2•设(X,Y)的分布律如下 1 2 3 1 1/6 1/9 1/18 2 1/3 1/9 2/9 求X与Y的边缘分布•并判别X与Y是否独立。 X 1 2 P 1 2 3 3 Y 1 2 3 P 1 2 5 18 2 9 P{X=1}P{Y=2}Z二-2=p{x=1,丫=2}^1 39279 X与Y不独立。 3.设随机变量(X,Y)的概率分布如下表所示: -1 0 1 2 -1 0.2 0.15 0.1 0.3 2 0.1 0 0.1 0.05 求X与Y的边缘分布,X和Y是否独立 X -1 2 P 0.75 0.25 Y -1 0 1 2 P 0.3 0.15 0.2 0.35 P{X=「1}P{Y--1}=0.750.3=0.225=P{X=1,Y=2}=0.2 X与Y不独立 第四章 一、填空题 1•若随机变量X服从泊松分布X~p(入),则D(X)=( 2.若随机变量X和Y不相关,则D(X-Y)=(D(X)+D(Y) 3.若随机变量X和Y互相独立,则E(XY)=(E(X)E(Y) 22 4.若随机变量X服从正态分布X~N(),则D(X)=(匚)。 5.若随机变量X在区间[1,4]上服从均匀分布X~U(1,4),贝UE(X)=(2.5)。 6.已知随机变量X与Y的期望分别为E(X)=3,E(Y)=5,随机变量Z=3X-2Y,则期望E(Z)= -1)。 9.若随机变量X服从二项分布X~B(4,0.5),贝UD(X)= (1);; 22 11若已知E(X),D(X),则E(X)=D(X)((E(X)))。 12.已知随机变量X与Y的期望分别为E(X)=2,E(Y)=5,随机变量Z=5X-2Y,则期望E(Z)=(0)• 13.若随机变量X服从二项分布X~B(n,p),贝UD(X)=(np(1-p))。 14.设X~U(1,3),贝UE(X)= (2)。 15.随机变量X和Y相互独立,且D(X)=5,D(Y)=6求随机变量Z=2X-3Y的方差D(Z)= (74) 16.X是随机变量,且X〜p5,则E(X)=( 、选择填空题 -1.1=—D。 3k 1.已知X PX=kF宀5,,,•,则e3x2 A.3 B.12 C.30 D.33 2. 随机变量 A. -1 B.0 C.1 D.2 3. 随机变量 X的分布率为PlX 2k 二k,二k=0,1,2,3,则D(2X)=—D。 ek! A. B.2 C.4 D.8 4. 为 已知随机变量(B)。 X服从二项分布,且E(X)=2.4,D(X)=1.44,则二项分布的参数n,p的值分别 A. B. n=6,p=0.4C.n=8,p=0.3 D.n=24,p=0.1 5. 已知X的密度函数为 p(x)=“ 0.5,x^b,2】 廿儿则X的数学期望 其他, E(X)=(B 1 A.- 2 B. C.2 D. 6.X,Y是互相独立的随机变量,EX=6,EY=3,则E2X-Y=(A)。 A.9 B.15C.21D.27 7.设X的概率密度函数为 p(x)」T0" X_°,则E(2X+1)= °,X£° A.1.4B.41 C.21 D.2° &X,Y是互相独立的随机变量 DX[=6,DYi=3,则D2X-Y=( D)。 A.9 B.15C.21D.27 三、计算题 1•设二维随机变量的联合概率分布为 X -2 0 1 -1 0.3 0.1 0.1 1 0.05 0.2 0 2 0.2 0 0.05 求: (1)X与Y的边缘分布, (2)E(X),D(Y)。 X -1 1 2 Y -2 0 1 P 0.5 0.25 0.25 P 0.55 0.3 0.15 E(X)»10.510.2520.25=0.25 E(Y)二20.5510.15--0.95 2 E(Y)=40.5510.15=2.35 222 D(Y)二E(Y)-(E(Y))=2.35-0.95=1.4475 1XY 2•已知X: N(1,32),Y: N(0,42),「xy,设Z,求Z的期望与方差,求X与Z 232 的相关系数。 111 E(Z)E(X)E(Y)蔦 323 D(Z)」D(X)」D(Y)2-1cov(X,Y) 9432 =-D(X)-D(Y)21 943 1 2,xyJD(X)JD(Y) =-91-6_21 943 ? XZ Xycov(X,)_cov(X,Z)_='32 」D(X厂D(Z)—3.3 1 D(X)2 cov(X,Y) =0 X^^Y^ 0 1 2 0 3/28 9/28 3/28 1 3/14 3/14 0 2 1/28 0 0 3.设(X,Y)服从分布 ,试求cov(X,Y)及「xy。 33 E(XY)=11- 1414 311 E(X)=12- 7282 1533 E(Y)=12- 28284 cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y) 313 " 1424 9 56 2314 E(X)=14- 7287 E(Y2)-1154-27 282828 224 D(X“E(X)-(E(X))74 __9 28 D(Y)二E(Y2)_(E(Y))2=27_9=0.4018 2816 "誥治=-0.447 5.设(X,Y)服从分布 0 1 2 0 3/28
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