江苏省专转本高数真题与答案.docx
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江苏省专转本高数真题与答案
江苏省2013年普通高校“专转本”选拔考试
高等数学试题卷(二年级)
注意事项:
1、本试卷分为试题卷和答题卡两部分,试题卷共3页,全卷满分150分,考试时间120分钟.
2、必须在答题卡上作答,作答在试题卷上无效。
作答前未必将自己的姓名和准考证号准确清晰地填在
试题卷和答题卡上的指定位置。
3、考试结束时,须将试题卷和答题卡一并交回。
一、选择题(本大题共6小题,每小题4分,满分24分。
在下列每小题中,选出一个正确
答案,请在答题卡上将所选项的字母标号涂黑)
1、当x0时,函数f(x)ln(1x)x是函数
2
g(x)x的()
A.高阶无穷小B.低阶无穷小C.同阶无穷小D.等价无穷小
2、曲线
y
2
2xx
2
x3x2
的渐近线共有()
A.1条B.2条C.3条D.4条
3、已知函数
f(x)
sin2x
x0
x
x
,则点x0是函数f(x)的
x0
1x1
A、跳跃间断点B、可去间断点C、无穷间断点D、连续点
4、设
yf
1
()
x
,其中f具有二阶导数,则
2
dy
2
dx
A.
1121
f()f()
23
xxxx
B.
1121
f()f()
43
xxxx
C.
1121
f()f()
23
xxxx
D.
1121
f()f()
43
xxxx
5、下列级数中收敛的是
A、
n1
n
2
n
1
B、
n
1
n
n
()
n1
C、
n
1
n!
n
2
D、
n
n
n
13
6、已知函数f(x)在点x1处连续,且
lim
x1
f(x)1
2
x
12
,则曲线yf(x)在点(1,f
(1))处的
切线方程为
A.yx1B.y2x2C.y3x3D.y4x4
二、填空题(本大题共6小题,每小题4分,共24分)
7、设函数
1
xx
sin 0
在点x0处连续,则常数a▲.
f(x)x
a x0
8、已知空间三点A(1,1,1),B(2,3,4),C(3,4,5),则ABC的面积为▲.
xt
yt
2
3
1
1
所确定,则
2
dy
2
dx
9、设函数yy(x)由参数方程
▲.
x1
10、设向量a,b互相垂直,且a3,b2,,则a2b▲.
11、设
1
ax
lim()x
x0
ax
e
,则常数a▲.
12、幂级数
n1
n
2
n
n
x
的收敛域为▲.
三、计算题(本大题共8小题,每小题8分,共64分)
13、求极限
lim
x0
x
e
1
ln(1x)x
.
14、设函数zz(x,y)由方程
3331
zxyz所确定,求dz及
2
z
2
x
.
15、求不定积分
xxdx.2cos2
2cos2
16、计算定积分
dx
2
024
2
x
.
17、设函数
22x3y
zf(x,e),其中函数f具有二阶连续偏导数,求
2z
yx
.
xyz10
x3yz30
平面上,又知直线
x23t
y1t
z32t
18、已知直线
与平面平行,求平面的
方程.
19、已知函数yf(x)是一阶微分方程
dy
dx
y
满y(0)1的特解,求二阶常系数非齐次线性
微分方程y3y2yf(x)的通解.
20、计算二重积分
xdxdy,其中D是由曲线
2
y4x(x0)与三条直线
D
yx,x3,y0所围成的平面闭区域.
四、综合题(本大题共2小题,每小题10分,共20分)
21、设平面图形D由曲线x2y,yx与直线y1围成,试求:
(1)平面图形D的面积;
(2)平面图形D绕x轴旋转一周所形成的旋转体的体积.
22、已知
211
x
Fxt3t2dt是函数f(x)的一个原函数,求曲线yf(x)的凹凸区间与
()(95)Fxt3t2dt是函数f(x)的一个原函数,求曲线yf(x)的凹凸区间与
0
拐点.
五、证明题(本大题共2小题,每小题9分,共18分)
23、证明:
当x1时,
2
(1lnx)2x1.
24、设函数f(x)在[a,b]上连续,证明:
函数
ab
2
b
af(x)dxa[f(x)f(abx)]dx.
江苏省2013年普通高校“专转本”统一考试
高等数学(二年级)试卷答案
一、选择题(本大题共6小题,每小题4分,共24分)
1、C2、C3、B4、B5、D6、A
二、填空题(本大题共6小题,每小题4分,共24分)
7、08、
6
2
9、
3
4
10、211、yxlnxcx12、
11
[,)
22
三、计算题(本大题共8小题,每小题8分,共64分)
13、原式=
1
xx
exe
xx
xeln(1x)xeln(1x)1x
limlimlim
2
x0x0x0
xln(1x)x2x
lim
x0
1
xxx
eexe
(1x)
22
2
3
14、令
32
F(x,y,z)z3xy3z1,Fx3y,Fy3x,Fz3z3
F
zF3yyz3xxyx
yx
,dzdxdy222222
xF3z31zyF3z31z1z1z
zz
zyzy
()()y(2z)2yz
2222
zxzxzyz
211
2222223
xxx(1z)(1z)(1z)
15、
21212121
xcos2xdxxdsin2xxsin2xxsin2xdxxsin2xxdcos2x
2222
111111
22
xsin2xxcos2xcos2xdxxsin2xxcos2xsin2xC
222224
16、令x2sint,dx2costdt,x0,t0;x2,t,
2
则原式=
t
2
2cos1
2costcost2(11)
2222
dtdtdtdt
tt
022cos01cos02cos02cos
tt
22
22
1tt
2
22
1dtdtan1
t002
2222
cos0
2
17、
2
zz
2x3y2x3y2x3y2x3y
f2e3,(f212xf222e)3e6ef2
yyx
18、直线方向向量S1(1,1,1)(1,3,1)(4,2,2),S2(3,1,2),平面的法向量
nS1S2(4,2,2)(3,1,2)(6,2,10),在第一条直线上任取一点(1,1,1),该点也在平
面上,所以平面方程为6(x1)
(2)(y1)10(z1)0即3xy5z70
19、由
dy
dx
y
得
11
xCCxCxx
dydx,dydx,lnyxC,yeee,yeeCe
111
1
yy
,
由y(0)1得C1,所以yex,即2
x
y3y2ye,r3r20,r1,r2,
12
齐次方程的通解为
x2xxxx
YCeCe.令特解为yxAe,yAexAe,,
12
xxxxx
yAeAexAe,代入原方程得:
Aee,A1,
所以通解为
x2xx
yYCeCexe
12
20、原式=
3
33cos
r127
4dcosrcosrdr4cosd4(8cos)d
2
00330cos
2
2
1142
4
(27tan8sin)(27tan8sin)9
33443
0
.
四、综合题(本大题共2小题,每小题10分,共20分)
21、
(1)
1
3
215
1223
S(2yy)dy(2yy)
0333
0
(2)
02
225
02
22
xxx821
V[1(x)]dx[1()]dx(x)(x)
x
10
10
42802510
22、
25
2
f(x)2x(9x5x)18x10x,
33
2
f(x)30x320x,
1
f(x)20x3200,解
得x1,另外x0为二导不存在的点,通过列表分析得:
在(,0),(1,)凸,在(0,1)凹,
拐点为(0,0),(1,8)。
五、证明题(本大题共2小题,每小题9分,共18分)
23、令
2
f(x)2x1(1lnx),f
(1)0.
1
f(x)22(1lnx),f
(1)0.
x
1(1lnx)2lnx
f(x)20,在x1时。
22
xx
f(x)单调递增,f(x)f
(1)0,f(x)单调递增,f(x)f
(1)0,证毕。
abab
24、
a2[f(abx)]dx令abxub2f(u)d(abu)
ab
bb
2
f(u)duf(u)duf(x)dx
abab
b
22
ababab
2[()()]2()2()
afxfabxdxafxdxafabxdx
ab
bb
2
f(x)dxf(x)dxf(x)dx
ab
aa
2
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