学年高中数学苏教版选修21学案第3章 空间向量与立体几何 15.docx
- 文档编号:2378079
- 上传时间:2023-05-03
- 格式:DOCX
- 页数:12
- 大小:72.66KB
学年高中数学苏教版选修21学案第3章 空间向量与立体几何 15.docx
《学年高中数学苏教版选修21学案第3章 空间向量与立体几何 15.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《学年高中数学苏教版选修21学案第3章 空间向量与立体几何 15.docx(12页珍藏版)》请在冰点文库上搜索。
学年高中数学苏教版选修21学案第3章空间向量与立体几何15
3.1.5 空间向量的数量积
[学习目标] 1.掌握空间向量夹角的概念及表示方法,掌握两个向量的数量积的概念、性质和计算方法及运算规律.2.掌握两个向量的数量积的主要用途,会用它解决立体几何中一些简单的问题.
[知识链接]
空间两个向量的夹角是怎样定义的,范围怎样规定?
答:
已知两个非零向量a,b,在空间任取一点O,作=a,=b,则∠AOB叫做向量a,b的夹角,记作〈a,b〉.
规定:
0≤〈a,b〉≤π.
[预习导引]
1.空间向量的夹角
定义
已知两个非零向量a,b,在空间任取一点O,作=a,=b,则∠AOB叫做向量a,b的夹角
记法
〈a,b〉
范围
〈a,b〉∈[0,π].当〈a,b〉=时,a_⊥_b
2.空间向量的数量积
(1)定义
已知两个非零向量a,b,则|a||b|cos〈a,b〉叫做a,b的数量积,记作a·b.
(2)数量积的运算律
数乘向量与向量数量积的结合律
(λa)·b=λ(a·b)(λ∈R)
交换律
a·b=b·a
分配律
a·(b+c)=a·b+a·c
(3)数量积的性质
两个向量数量积的性质
①若a,b是非零向量,则a⊥b⇔a·b=0
②若a与b同向,则a·b=|a|·|b|;
若反向,则a·b=-|a|·|b|.
特别地,a·a=|a|2或|a|=
③若θ为a,b的夹角,则cosθ=
④|a·b|≤|a|·|b|
要点一 空间向量的数量积运算
例1 已知长方体ABCDA1B1C1D1中,AB=AA1=2,AD=4,E为侧面AB1的中心,F为A1D1的中点.试计算:
(1)·;
(2)·;(3)·.
解
如图,设=a,=b,
=c,
则|a|=|c|=2,|b|=4,
a·b=b·c=c·a=0.
(1)·=b·[(c-a)+b]=|b|2=42=16.
(2)·=·(a+c)
=|c|2-|a|2=22-22=0.
(3)·=·
=(-a+b+c)·
=-|a|2+|b|2=2.
规律方法 计算两个向量的数量积,可先将各向量用同一顶点上的三条棱对应向量表示,再代入数量积公式进行运算.
跟踪演练1 已知空间向量a,b,c满足a+b+c=0,|a|=3,|b|=1,|c|=4,则a·b+b·c+c·a的值为________.
答案 -13
解析 ∵a+b+c=0,∴(a+b+c)2=0,
∴a2+b2+c2+2(a·b+b·c+c·a)=0,
∴a·b+b·c+c·a=-=-13.
要点二 利用数量积求夹角
例2 如图,在空间四边形OABC中,OA=8,AB=6,AC=4,BC=5,∠OAC=45°,∠OAB=60°,求OA与BC所成角的余弦值.
解 因为=-,
所以·=·-·
=||||cos〈,〉-||||·cos〈,〉
=8×4×cos135°-8×6×cos120°
=-16+24.
所以cos〈,〉===.
即OA与BC所成角的余弦值为.
规律方法 利用向量的数量积,求异面直线所成的角的方法:
①根据题设条件在所求的异面直线上取两个向量;②将求异面直线所成角的问题转化为求向量夹角问题;③利用向量的数量积求角的大小;④证两向量垂直可转化为数量积为零.
跟踪演练2 如图所示,正四面体ABCD的每条棱长都等于a,点M,N分别是AB,CD的中点,求证:
MN⊥AB,MN⊥CD.
证明 ·=(++)·=(++)·
=(++-)·
=a2+a2cos120°+a2cos60°-a2cos60°=0,
所以⊥,即MN⊥AB.同理可证MN⊥CD.
要点三 利用数量积求距离
例3 正三棱柱ABCA1B1C1的各棱长都为2,E、F分别是AB、A1C1的中点,求EF的长.
解
如图所示,设=a,=b,=c.由题意知|a|=|b|=|c|=2,
且〈a,b〉=60°,〈a,c〉=〈b,c〉=90°.
因为=++
=-++
=-a+b+c,
所以EF2=||2=2=a2+b2+c2
+2
=×22+×22+22+2××2×2cos60°
=1+1+4-1=5,
所以EF=.
规律方法 利用向量的数量积求两点间的距离,可以转化为求向量的模的问题,其基本思路是先选择以两点为端点的向量,将此向量表示为几个已知向量的和的形式,求出这几个已知向量的两两之间的夹角以及它们的模,利用公式|a|=求解即可.
跟踪演练3 如图所示,平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AB=1,AD=2,AA1=3,∠BAD=90°,∠BAA1=∠DAA1=60°,求AC1的长.
解 因为=++,
所以2=(++)2
=2+2+2+2(·+·+·).
因为∠BAD=90°,∠BAA1=∠DAA1=60°,
所以〈,〉=90°,〈,〉=〈,〉=60°.
所以2=1+4+9+2(1×3×cos60°+2×3×cos60°)=23.
因为||2=2,
所以||2=23,||=,即AC1=.
1.若a,b均为非零向量,则a·b=|a||b|是a与b共线的________条件.
答案 充分不必要
解析 a·b=|a||b|cos〈a,b〉=|a||b|⇔cos〈a,b〉=1⇔〈a,b〉=0,当a与b反向时,a·b=|a|·|b|不能成立.
2.已知a,b均为单位向量,它们的夹角为60°,那么|a+3b|等于________.
答案
解析 |a+3b|2=(a+3b)2=a2+6a·b+9b2
=1+6·cos60°+9=13.∴|a+3b|=.
3.对于向量a、b、c和实数λ,下列命题中的真命题是________.
①若a·b=0,则a=0或b=0;
②若λa=0,则λ=0或a=0;
③若a2=b2,则a=b或a=-b;
④若a·b=a·c,则b=c.
答案 ②
解析 对于①,可举反例:
当a⊥b时,a·b=0;
对于③,a2=b2,只能推得|a|=|b|,而不能推出a=±b;
对于④,a·b=a·c可以移项整理推得a⊥(b-c).
4.如图,已知空间四边形每条边和对角线长都等于a,点E、F、G分别是AB、AD、DC的中点,则下列向量的数量积等于a2的是________.
①2· ②2·
③2· ④2·
答案 ③
解析 2·=-a2,故①错;
2·=-a2,故②错;
2·=-a2,故④错,只有③正确.
空间向量的数量积要找到两个向量的模和夹角;利用数量积求两异面直线所成的角,关键在于在异面直线上构造向量,找出两向量的关系;证明两向量垂直可转化为证明两个向量的数量积为零,求线段长度转化为求向量的模.
一、基础达标
1.已知a=(cosα,1,sinα),b=(sinα,1,cosα),则向量a+b与a-b的夹角是________.
答案 90°
解析 ∵|a|=|b|=,∴(a+b)·(a-b)=a2-b2=0.故向量a+b与a-b的夹角是90°.
2.已知a,b是空间两个向量,若|a|=2,|b|=2,|a-b|=,则cos〈a,b〉=________.
答案
解析 将|a-b|=化为(a-b)2=7,求得a·b=,再由a·b=|a||b|cos〈a,b〉求得cos〈a,b〉=.
3.已知|a|=2,|b|=3,〈a,b〉=60°,则|2a-3b|等于________.
答案
解析 |2a-3b|2=4a2-12a·b+9b2
=4×22-12×2×3×cos60°+9×32=61,
∴|2a-3b|=.
4.已知向量a和b的夹角为120°,且|a|=2,|b|=5,则(2a-b)·a等于________.
答案 13
解析 (2a-b)·a=2a2-b·a=2|a|2-|a||b|cos120°=2×4-2×5×=13.
5.已知|a|=1,|b|=,且a-b与a垂直,则a与b的夹角为________.
答案 45°
解析 ∵a-b与a垂直,∴(a-b)·a=0,
∴a·a-a·b=|a|2-|a|·|b|·cos〈a,b〉
=1-1··cos〈a,b〉=0,
∴cos〈a,b〉=.
∵0°≤〈a,b〉≤180°,∴〈a,b〉=45°.
6.设A、B、C、D是空间不共面的四点,且满足·=0,·=0,·=0,则△BCD是________三角形.
答案 锐角
解析 ·=(-)·(-)=·-·-·+·=2>0,同理,可证·>0,·>0,∴三角形的三个内角均为锐角.
7.
如图所示,已知平行六面体ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是菱形,且∠C1CB=∠C1CD=∠BCD=60°.求证:
CC1⊥BD.
证明 设=a,=b,=c,则|a|=|b|.
∵=-=b-a,
∴·=(b-a)·c=b·c-a·c
=|b||c|cos60°-|a||c|cos60°=0,
∴⊥,即CC1⊥BD.
二、能力提升
8.已知向量a,b满足|a|=1,|b|=2,且a与b的夹角为,则|a+b|=________.
答案
解析 |a+b|2=a2+2a·b+b2
=1+2×1×2×cos+22=7,
∴|a+b|=.
9.已知a、b是异面直线,A、B∈a,C、D∈b,AC⊥b,BD⊥b,且AB=2,CD=1,则a与b所成的角是________.
答案 60°
解析 =++,
∴·=(++)·
=·+2+·=0+12+0=1,
又||=2,||=1.
∴cos〈,〉===.
∵〈,〉∈[0°,180°],
∴a与b所成的角是60°.
10.已知在平行六面体ABCDA1B1C1D1中,同一顶点为端点的三条棱长都等于1,且彼此的夹角都是60°,则此平行六面体的对角线AC1的长为________.
答案
解析 ∵=++
∴2=(++)2=2+2+2+2·+2·+2·=1+1+1+2(cos60°+cos60°+cos60°)=6,∴||=.
11.如图所示,在四棱锥PABCD中,PA⊥平面ABCD,AB⊥BC,AB⊥AD,且PA=AB=BC=AD=1,求PB与CD所成的角.
解 由题意知||=,
||=,=+,=++,
∵PA⊥平面ABCD,
∴·=·=·=0,
∵AB⊥AD,∴·=0,∵AB⊥BC,∴·=0,
∴·=(+)·(++)
=2=||2=1,
又∵||=,||=,
∴cos〈,〉===,
∴〈,〉∈[0°,180°],
∴〈,〉=60°,∴PB与CD所成的角为60°.
12.已知四面体OABC的棱长均为1.求:
(1)·;
(2)(+)·(+);
(3)|++|.
解
(1)·=||·||·cos∠AOB
=1×1×cos60°=.
(2)(+)·(+)
=(+)·(-+-)
=(+)·(+-2)
=12+1×1×cos60°-2×1×1×cos60°+1×1×cos60°+12-2×1×1×cos60°=1.
(3)|++|=
==.
三、探究与创新
13.在棱长为1的正方体ABCDA′B′C′D′中,E,F分别是D′D,BD的中点,G在棱CD上,且CG=CD,H为C′G的中点.
(1)求EF,C′G所成角的余弦值;
(2)求FH的长.
解 设=a,=b,=c,
则a·b=b·c=c·a=0,|a|2=a2=1,|b|2=b2=1,|c|2=c2=1.
(1)∵=+=-c+(a-b)=(a-b-c),
=+=-c-a,
∴·=(a-b-c)·(-c-a)
=(-a2+c2)=,
||2=(a-b-c)2=(a2+b2+c2)=,
||2=(-c-a)2=c2+a2=,
∴||=,||=,
cos〈,〉==,
∴EF,C′G所成角的余弦值为.
(2)∵=+++
=(a-b)+b+c+
=(a-b)+b+c+(-c-a)=a+b+c,
∴||2=(a+b+c)2=a2+b2+c2=,
∴FH的长为.
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 学年高中数学苏教版选修21学案第3章 空间向量与立体几何 15 学年 高中数学 苏教版 选修 21 学案第 空间 向量 立体几何
![提示](https://static.bingdoc.com/images/bang_tan.gif)