《金识源》高中数学新人教A版必修5教案25等比数列的前n项和2doc.docx
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2.5等比数列的前刀项和
教学过程
推进新课
[合作探究]
师在对一般形式推导Z前,我们先思考一个特殊的简单情形:
l+q+q?
+…+q匸?
师这个式子更突出表现了等比数列的特征,请同学们注意观察.
生观察、独立思考、合作交流、自主探究.
师若将上式左边的每一项乘以公比q,就出现了什么样的结果呢?
生q+q2+「・+q"+q"
生每一项就成了它后面相邻的一项.
师对上面的问题的解决有什么帮助吗?
师生共同探索:
如果记SFl+q+q'+・・・+q",
那么qS尸q+q'+・・・+q"+q刊
要想得到S”,只要将两式相减,就立即有(l-q)S^lV.
师提问学生如何处理,适时提醒学生注意q的取值.
生如果qHl,则有
1-9
师当然,我们还要考虑一下如果q=l问题是什么样的结果.
生如果q=l,那么Sf/?
.
师上面我们先思考了一个特殊的简单情形,那么,对于等比数列的一般情形我们怎样思考?
课件展示:
仪1+$2+0+…二?
[教师精讲]
师在上面的特殊简单情形解决过程屮,蕴含着一个特殊而且重要的处理问题的方法,那就是
“错位相减,消除差别”的方法.我们将这种方法简称为“错位相减法”•
师在解决等比数列的一般情形时,我们还可以使用“错位相减法”・
如果记越+昂+・・・+砌
另【(么qS尸Qq+型q+曰3q+…+自旳,
要想得到S“,只要将两式相减,就立即有(l-q)S”=0-/q.
师再次提醒学生注意q的取值.
如果qHi,则有s“=yq.
l-q
师上述过程如果我们略加变化一下,还可以得到如下的过程:
如果记S“二句+yq+日iq'+・・・+/q"
那么qS“pq+giq'+・・・+giq"
要想得到S,”只要将两式相减,就立即有(l-q)S”Ppq”・
如果qHl,则有s”/(7).
i-q
师上述推导过程,只是形式上的不同,其本质没有什么差别,都是用的“错位相减法”.
形式上,前一个出现的是等比数列的五个基本量:
知qg,S»中如q,细®四个;后者出现的是即q,S”,77四个,这将为我们今后运用公式求等比数列的前77项的和提供了选择的余地.
值得重视的是:
上述结论都是在“如果qHl”的前提下得到的•言下之意,就是只有当等比数列的公比qHl时,我们才能用上述公式.
师现在请同学们想一想,对于等比数列的一般情形,如果q=l问题是什么样的结果呢?
生独立思考、合作交流.
生如果q=l,Sn=7731,
师完全正确.
如果q=l,那么S尸刀弘正确吗?
怎么解释?
生正确.q=l时,等比数列的各项相等,它的前刀项的和等于它的任一项的刀倍.
师对了,这就是认清了问题的本质.
师等比数列的前刃项和公式的推导还有其他的方法,下面我们一起再來探讨一下:
[合作探究]
思路一:
根据等比数列的定义,我们有:
玉二空二鱼二.,竺二g,
aia2°3%
再由合比定理,则得勺+色+勺+…+色=q,
4-+…+
即沐壬巳,
Sn-an
(以下从略)
思路二:
由S尸臼I+0+曰汁…+禺得
臼iq+/q+・・・+臼/riq=0+q(0+创+…+臼小)=^i+q(S厂②),
从而得(1-q)S〃p-禺q・
(以下从略)
师探究中我们们应该发现,S-S.1二/是一个非常有用的关系,应该引起大家足够的重视.在这个关系式中,77的収值应该满足什么条件?
/7>1.
对的,请同学们今后多多关注这个关系式:
S厂S孑孙/?
>!
.
综合上而的探究过程,我们得出:
na^q=1,
或者
©一如纟幻i—q'
[例题剖析]
【例题1]求下列等比数列的前8项的和:
(1)—,—,…;
248
⑵<31—27,39=,q<0.
243
[合作探究]师生共同分析:
由仃)所给条件,可得a严丄,9=丄,求刀=8时的和,直接用公式即可.
22
由⑵所给条件,需要从色中获取求和的条件,才能进一步求77=8时的和.而越
所以由条件可得q.幺二一J—,再由qVO,可得q=-~,将所得的值代入公式就可以®243x273
T.
生写出解答:
仃)因为a、=勺,q=勺,所以当n=8时
(2)由51=27,dg
尸243'川得Q243x27
又由qVO,nJ得今=一一
【例题2】某商场今年销售计算机5000台,如果平均每年的销售量比上一年的销售量增加10%,那么从今年起,大约几年可使总销售量达到30000台(结果保留到个位)?
师根据题意,从中发现等比关系,从中抽象出等比数列,并明确这是一个已知Sf30000求
刀的问题.
生理解题意,从中发现等比关系,并找出等比数列中的基本量,列式,计算.
解:
根据题意,每年的销售量比上一年增加的百分率相同,所以,从今年起,每年销售量组
成一个等比数列{/},其中护5000,q=l+10%=l.l,Sn=30000.
于是得到驾半¥0000,
整理得1.1=1.6,
两边収对数,得gl.l=lgl.6,
用计算器算得n=里M〜-=5(年).
lgl.l0.041
答:
大约5年可以使总销售量达到30000台.
练习:
教材笫66页,练习第1、2、3题.
课堂小结
本节学习了如下内容:
1.等比数列前项和公式的推导;特别是在推导过程屮,学到了“错位相减法”.
2.等比数列前刀项和公式的应用.因为公式涉及到等比数列的基本量中的4个量,一般需要知道其中的3个,才能求出另外一个量.另外应该注意的是,由于公式有两个形式,在应用中应该根据题意所给的条件,适当选择运用哪一个公式.
在使用等比数列求和公式时,注意q的取值是至关重要的一个环节,需要放在第一位来思考.布置作业
课本第69页习题2.5A组第1、2、3题.
板书设计
等比数列前刀项和公式的推导与应用
等比数列的前〃项和公式
悄境问题的推导
一般情形的推导
例1
练习:
(学生板演)
例2
练习:
(学生板演)
第二课时
教学过程
推进新课
[例题剖析]
师出示投影胶片2:
课本第70页B组题第4题:
例1思考以下问题:
(1)依教育储蓄的方式,每月存50元,连续存3年,到期(3年)或6年时一次可支取本息共多少元?
(2)依教育储蓄的方式,每月存臼元,连续存3年,到期(3年)或6年时一次可支取本息共多
少元?
(3)依教育储蓄的方式,每月存50元,连续存3年,到期(3年)时一次可支取本息比同档次的
“零存整取”多收益多少元?
(4)欲在3年后一次支取教育储蓄本息合计1万元,每月应存入多少元?
(5)欲在3年后一次支収教育储蓄本息合计曰万元,每月应存入多少元?
(6)依教育储蓄方式,原打算每月存100元,连续存6年,可是到了4年吋,学生需要提前支取全部本息,一次可支取本息共多少元?
(7)依教育储蓄方式,原打算每月存日元,连续存6年,可是到了b年时,学生需要提前支取全部本息,一次可支取本息共多少元?
(8)不用教育储蓄方式,而用其他的储蓄方式,以每月可存100元,6年后使用为例,探讨以现行的利率标准可能的最大收益,将得到的结果与教育储蓄比较.
[合作探究]
师要解决上面的这些问题,我们必须要了解一点银行的业务知识,据调查,银行整存整取定期储蓄存款利率计算公式是这样的:
若每月固定存日元,连续存7?
个月,则计算利息的公式为曲+讪X月利率.
2
师你能解释这个公式的含义吗?
生独立思考、合作交流、自主探究.
师(在学生充分探究后揭示)设月利率为q,
则这个公式实际上是数列:
aq,2aq,3aq,…,加q,…的前/?
项和.
这个数列的项不正是依次月数的利息数?
这个数列具有什么特征呢?
生发现等差关系.
师用我们的数学语言来说,这是个首项为臼q,公差为臼q的等差数列,而不是一个等比数列.从这个公式中我们知道,银行整存整取定期储蓄存款利率计算不是按复利(利生息一一利滚利)计算的.
我们把这样的计算利息的方法叫做按单利(利不生息一一利不滚利)计算.
这是我们在计算时必须弄明白的,否则,我们计算的结果就会与银行计算的实际结果不一致.师我们还需要了解银行的三年期、五年期的整存整取的存款利率,以及三年期零存整取的存款利率和利息税率:
三年期整存整取存款年利率为2.52%,月利率为0.21%;
五年整存整取存款年利率为2.79%,月利率为0.2325%;
三年期零存整収存款年利率为1.89%,月利率为0.1575%;
利息税率为20%.
师下面我们来看第一个问题的结果.
生计算,报告结果.
师生共同解答:
(1)解:
因为三年期整存整取存款年利率为2.52%,月利率为0.21%,故依教育储蓄的方式,每月存50元,连续存3年,到期-次可支取本息共
(50+50x36)x36/一、
X0.21%+1800=1869.93(兀).
2
因为五年整存整収存款年利率为2.79%,月利率为0.2325%,故依教育储蓄的方式,若每月存入每月存50元,连续存6年,到期一次可支取本息共
厂—X0.2325%+3600^3905.50(X).
(2)每月存入每月存自元,连续存3年,到期一次可支取本息共
(q+qx36)x36…cq/—、
X0.21%+36班兀).
2
若每月存入每月存臼元,连续存6年,到期一次可支取本息共
(a+ax72)x72°““(_、
X0.2325%+72&(兀).
2
(3)因为三年期零存整収存款年利率为1.89%,月利率为0.1575%,故每月存50元,连续存3
(50+50x36)x36
2
年,到期一次可支取本息共
X0.1575%X8O%+1800=1841.96(元).
比教育储蓄的方式少收益27.97(元).
(4)设每月应存入x元,由教育储蓄的计•算公式得
(x+xx36)x36
——X0.21%+36x=10000.
2
解得x~267・39(元),即每月应存入267.39(元).
(5)设每月应存入x元,由教育储蓄的计•算公式得
(x+xx36)x36
X0.21%+36x=10000乩
2
解得乂二1°°°°。
=267.39/即每月应存入267.39日(元).
37.3986
(6)根据银行岀台的教育储蓄《管理办法》,需要提前支取的,在提供证明的情况下,按实际
存期和开户口同期同档次整存整取定期储蓄存款利率计付利息,并免征储蓄存款利息所得税.
故该学生支収时,应按照三年期整存整収存款年利率为2.52%,月利率为0.21%进行计算.由计算公式得
(100+100x48)x48/一、
X0.21%+4800=5046.96(兀).
2
(7)与笫6小题类似,应根据实际存期进行同档次计算.
一到两年的按一年期整存整取汁息•一年期整存整取存款年利率为1.98%,月利率为0.165%,
故当戻1或2时,由计算公式得
(a-kaxl2b)xl2b、门「一、
X0.]65%+]2白方(兀).
2
当戻3或4或5吋,应按照三年期整存整取存款年利率为2.52%,月利率为0.21%进行计算.
根据计算公式得
(d+dX12b)xl2/?
/一、
X0.21%+12"(兀).
2
(8)此题可以选择多种储蓄方式,学生可能提供多个结果,只要他们计算方式符合规定的储蓄方式即可•教师可以组织学生讨论,然后选择一个最佳答案.
[概括总结]
师在我们上述探究问题的过程中,我们学到了许多课本上没有的东西,增长了一些银行存款的知识•我们可以用这些知识去规划一下自己将来接受教育的存款计划,并与家长商量,看能不能付诸于现实;我们也可以为身边的亲朋好友当个小参谋,把你学到的知识讲解给他们听一听,看他们能不能接受你的意见和建议.
从生产实际和社会生活中,我们还能寻找到更多的探究题材,只要我们做个有心人,我们学到的知识就能与生产实际与社会生活紧密的结合起来.
说明:
此例文字量大,阅读理解能力要求较高,但是弄通问题的基本含义后,因为其蕴含的数学知识和方法并不深奥,计算量也不大,所以可以说是一个非常好的探究性问题.可以猜想,这也是普通高屮新课程标准推崇它作为一个典型例题的理市.
师下面的问题需要我们用更多的数学知识才能解决它.
出示投影胶片3:
例2你能估计函数y=9-x2在第一象限的图象与x轴、y轴围成的区域的血积吗?
出示多媒体图片1:
师如图,为了估计函数y=9-x2在笫一象限的图象与x轴、y轴围成的区域的面积x,把x轴上的区间[0,3]分成刀等份.从各分点作y轴平行线与图象相交,再从各交点向左作x轴平行线,构成(旷1)个矩形•下面用程序来计算这(旷1)个矩形的面积的和S.
SUM二0
K=1
IAPUT请输入将[0,3]分成的份数/?
:
”;N
WHILEkVWl
AN二(9-(k*3/〃厂2)*3/W
SUM二SUM二
PRIATk,AN,SUM
K二k=l
WEAZ?
END
阅读程序,回答下列问题:
⑴程序中的簡;SUM分别表示什么,为什么?
(2)请根据程序分别计算当/7=6,11,16时,各个矩形的面积的和(不必在计算机上运行程序).
师你能回答第一个问题吗?
生AN表示第k个矩形的面积,SUM表示前k个矩形面积的和.
3
生当把x轴上的区间[0,3]分成刀等份时,各等份的长都是2.
n
理市是:
各分点的横坐标分别是
33x23x(/?
-1)
—
>>>•
nnn
从各分点作y轴平行线与y=9-x2图象相交,交点的纵坐标分别是
9-(-)2,9-(^)2,-,9-[3X(n~1)]2.
nnn
它们分别是各个相应矩形的高,所以各个矩形血积分别是
rn门2】33x22】3(3x(z?
-l)213
[9-(-)-]x-,[9-(——)]x-,-,<9一[(—-——)]}x-・
nnnn{nJn
师对学生的思考给予高度的赞扬.
师当我们把x轴上的区I、可[0,3]分成刀等份时,按照上面的作图方法,我们得到了函数y-9-x2
在第一象限的图象与x轴、y轴围成的区域内的/厂1个矩形.
师想一想,这个由各个矩形面积组成的数列的前才1项和如何求.
生自主探究.
列式:
5n_1^[9-(-)2]x-+[9-(^)2]x-+...+|9-
nnnn[nJn
-~{[9-(-)2]+[9-(—)2]+-+[9-(3X(n-1})2]-
nnnn
=-j9(n-l)-(-)2[l2+22+...+(/t-l)2]k
n[nJ
师引导学生整理所列出的式子,得到上述最后一道式子.
师求和时遇到了12+22+・・・+/的计算问题,这也是一个求数列前〃项和的问题.
关于这个问题,我们只要求大家知道,这是求数列:
匚口3;…,/,…的前/?
项和的问题.由于这个数列不是等差数列,也不是等比数列,因此不能用己经推导出來的等差数列前刀项和公式与等比数列前〃项和公式.而这个和的计算,要求同学们记得它的计算公式.
即要求记住:
12+2?
+…+#二斤(斤+1)(2斤+1)
6
关于这个公式的推导过程,我们对以作为知识拓展的材料,放在课外进行探究性学习.
师运用这个公式,请把上面的/厂1个矩形面积的和计算出來.
生继续运算.
33
S.f-{9(/rl)-(-)2[12+22+-+(/t-D2]}
nn
丄[9i(E)2(〃T)心T)]
nn6
9(4zz2-3/?
-1)
2^•
师明确一下计算结果,再继续带领学生一起理解第2小题的含义并得出结果.
师根据程序,当刀=6吋,5个矩形的面积的和就是输入N=6,SUM的最后一个输出值,SUM二15.625.
那么当/?
=11时,10个矩形的面积的和就是11时,SUM的最后一个输出值,即SUM二16.736;
当/7=16时,我们就得到15个矩形面积的和SUM二17.139.
当严17吋,SUM的最后一个输出值是多少?
生严17时,SUM的最后一个输出值SUM二17.190.
师你是怎么计算尸17时,SUM的最后一个输出值的呢?
生是用上面推导出來的计算公式:
S“-=9(4b—严T)2n
当77=500吋,SUM的最后一个输出值SUM=?
当严1000时,SUM的最后一个输出值SUM二?
9(4几2-3h-1)
生用公式S”.]=,不难算出尸500时,SUM二17.973;尸1000时,SUM二17.986.
2n
师在计算尸500与尸1000吋的最后一个输出值SUM吋,为什么用上血推导出来的公式而不用程序中的步骤呢?
师这是因为公式s=9(4矿_严_1)用起来很方便,只要给出上一个门的值,就可以代入2n2
公式,一下子得出结果.另一方面,程序设计的是一个递推的循环结构•它在上机运行时,对于每个给定的刀,都要从21依次循环到k=^l,这是同学们在没有上机条件吋很难做到而又没有必要做到的事.
师至此,你能估计出函数y=9-x2在第一象限的图象与x轴、y轴围成的区域的面积了?
生由沪500与圧1000时的最后一个输出值SUM,可以估计,这个面积大约是18.
师一个非常准确的结果!
[教师精讲]
师通过本例的探索,我们来归纳一下收获:
1.本例中,程序使用了S”的递推公式,即
=S“_]+d“(M>l)
这个递推公式的推导,同学们可以自己去思考一下;
2.需要同学们必须想到的是,这个公式还有一个非常重要的作用,那就是:
它给我们提供了求数列的首项和第〃项的办法,即
[a\~S|,
[q“=S〃+S“4>1)
3.关于估计函数y-9-x2在笫一象限的图象与x轴、y轴围成的区域的面积,这里采用的是无限逼近的思想,即[0,3]区I'可分得越细,前k个矩形面积的和SUM就越接近函数y=9-x2在第一象限的图象与x轴、y轴围成的区域的面积.教材屮已经在用旁白告诉我们,用微积分的知识可得x=18,而我们的估计值也是18,可见我们的估计非常准确.
课堂小结
本节学习了如下内容:
1•教育储蓄中的有关计算.
2.用计算机程序计算数列的和.
布置作业
课本第69页习题2.5第4.5题.
板书设计
求数列前刀项和知识的运用
问题情境导引
例1
例2
- 配套讲稿:
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- 特殊限制:
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- 关 键 词:
- 金识源 高中数学 新人 必修 教案 25 等比数列 doc