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3
x,0时,fxlog22x7,则f2017
A.log25B.2C.2D.log25
2.已知函数『(对是周期为2的奇函数,且rt[-1.0]时,二彳,则f(弓)=.
结论三函数的对称性
已知函数f(x)是定义在R上的函数.
(1)若f(a+x)=f(b-x)恒成立,则y=f(x)的图象关于直线x=对称,特别地,若f(a+x)=f(a-x)恒成立,
则y=f(x)的图象关于直线x=a对称;
(2)若f(a+x)+f(b-x)=c,贝Uy=f(x)的图象关于点;
了对称.特别地,若f(a+x)+f(a-x)=2b恒成立,
则y=f(x)的图象关于点(a,b)对称.
例3【2018四川省广元市统考】已知定义在R上的函数fx满足f(1x)f(1x)2,
gxx11,若函数fx图象与函数gx图象的交点为,y,X2,y2,L,X2°
18,y2018,则
2018
xyi()
i1
A.8072
B.6054
C.4036
D.2018
【答案】B
【解析】由题意知」函数朗(刃二(工-厅十1的團象也关于点(1.1)对称.
3013
苛—仙+x“i9)+(花+J^bqt)+…+(西《»
+西恥)=100?
>
<
2=2018?
另比=("
十旳01J十也十如门)十十〔〉1工;
十如)0)二1°
%2=2018
M1S
所叹十
xm十
2x2018=403$-SC.
沁
-i
1.【2018安徽省六安市第
•中学模拟】设函数
fx是定义在
R上的偶函数,且fx
x
当x2,0
时,fx
1,若在区间2,6内关于x的方程
fxloga
x20(a
0,a
1)有且只有
4个不同的根,则实数a的取值范围是(
A.丄,1
B.1,4
C.
1,D.
8,+
4
2.【2019年安徽省宿州市十二所重点中学】定义在
R上的偶函数
y=fM,其图像关于点
)
〔护〕对称,且当
[0J|时,畑=一工+土,则f(町二(
A.
C
D
[7
B.
结论四反函数的图象与性质
若函数y=f(x)是定义在非空数集D上的单调函数,则存在反函数y=f"
(X).特别地,y=a%与y=logax(a>
且1)互为反函数,两函数图象在同一直角坐标系内关于直线y=x对称,即(xo,f(xo))与(f(xo),x0)分别在
函数y=f(x)与反函数y=f-1(x)的图象上.
例4【2019年上海市浦东新区】已知函数,的图像经过点,反函数的图像经过点.
(1)求丄一$;
,「的解析式;
(2)求证:
T;
J-.迸.』;
•V是增函数.
【答案】
(1)/、:
—■「,-⑵见证明【解析】
由题意可得:
皑,
•-山护得
(2)——-:
-■'
-:
任取x|Tx2e且砂<
勺,
F(x^-F^x2)-(41-4】)-(4J42)
.•.聲*争(1+丄花0
X/IX-+X*
\412J
•是增函数•
21
【变式训练】【2018四川省成都市9校联考】已知函数fXX2ax(xe,e为自然对数的底数)
e
与gx
ex的图象上存在关于直线
y
x对称的点,则实数
a取值范围是
1
A.1,e
—
B.1,e
e一,e
-D.
结论五
两个经典不等式
(1)对数形式
X
ln(x+1)
wx(x>
-1),
当且仅当
x=0时,等号成立.
⑵指数形式:
ex>
x+1(x€R),当且仅当x=0时,等号成立.
例5设函数f(x)=1-e-x.证明:
当x>
-1时,f(x)》.•.
证明
x>
-1时,f(x)
e-x(x>
-1)
(x>
-1)e
x+1wex(x>
-1).
-1时,ex>
x+1恒成立,所以当x>
-1时,f(x)
【变式训练】「已知函数f(x)=—•.;
『则y=f(x)的图象大致为(
与曲线
2.已知函数f(x)=ex,x€R.证明:
曲线y=f(x)
2、
y=x+x+1有唯一公共点
结论六三点共线的充要条件
设平面上三点O,A,B不共线,则平面上任意一点P与A,B共线的充要条件是存在实数入与卩,使得
0P=入血+卩血,且入+卩=1.特别地,当P为线段AB的中点时,肋」如月.
例6【福建省厦门市2019届高三上期末】在平面四边形卩:
士;
屈中,弟:
:
工面积是H面积的2倍,数列满足旳=3|,且币=他+1-閒宓+他-2)切,则也=()
A.31B.33C.63D.65
【解析】
设交于点『和0A眈的高分另优饥忌.
\AACD的面积是山月匚面积的2倍…•九二2兀n|DE|=2|EJJ|,
=gpCE-CJ=2(CB-CE^.,
:
XE^-CB十丄丽,
RCA=—3)丽*(氏-2)丽・
由平面向量基本定理得
由几CE三点共纯iSS^ACE=pCB+¥
而』
•••”讥1-了=2(馮-2),即叫*I-11)|,
•••数列|:
飞■花是以卜为首项,以2为公比的等比数列,
所以«
5=32+1=33.
1.【2018河南省郑州市质量检测】如图,在VABC中,N为线段AC上靠近A的三等分点,点P在BN
uuv
上且AP=m
2ULUV2UUV
—AB—BC,则实数m的值为(
1111
9
5
A.1
B.-
C.—
11
2.【河北省唐山一中2019届高三上期中】如图,在△
ABC,;
,过点M的直线分别交射线ABAC
于不同的两点P、Q若AP—n\ABrAQ—nAC,则eh+m的最小值为()
A.2B.I®
詞C.6D.
结论七三角形“四心”向量形式的充要条件
a,b,c,贝U
(1)0ABC的外心?
||=||=|制|=.
⑵OABC的重心?
++=0.
⑶OABC的垂心?
••=••=•.
(4)OABC的内心?
a+b+c=0.
例7【2019年吉林省辽源市田家炳高级中学】在厶
设OABC所在平面上一点,内角A,B,C所对的边分别为
ABC中,点M是BC的中点,AM=1,点P在AM上,
44
-1
A.-
B.——
C.弓
D.~
39
且满足AP=2PM,则乱3用-卜丸j等于()
"
是DC的中点,知皿是巩边上的中线,又由点.F在AM上且;
荷足卫P=2PM
・〔P是三角形血的重心
.PA・〔而+P?
)二芮•乔=-|wf
又・.・AM=i
|=;
.PA■血十反)二一|方「二--.
1.【吉林省长春市实验中学2019届高三上学期期中】点M为财呦的重心,打甘二占甘心=,贝U
-.()
A.B..C.D.
2.O是平面上一定点,A、BC是平面上不共线的三个点,动点P满足旳理卡竝+入打,入€[0,+s),贝UP
的轨迹一定通过厶ABC的()
动点P满足『二;
=-
入€[0,+s),
A.外心B.内心C.重心D.垂心
3.0是平面上一定点,A,B,C是平面上不共线的三个点
则P的轨迹一定通过厶ABC的()
4.【吉林省长春市实验中学2019届高三期末】乩1勺是平面上不共线的三点,•为;
所在平面内一点,
”是川啲中点,动点卩满足前=扌(2-鮎)0初+(1+2刖此|口€/?
),则点P的轨迹一定过斶C心(内心、
■J
外心、垂心或重心).
结论八等差数列
设Sn为等差数列{an}的前n项和•
*
(1)an=ai+(n_1)d=am+(n_m)d,p+q=m+n?
ap+aq=am+an(m,n,p,q€N).
(2)ap=q,aq=p(p丰q)?
ap+q=0.
⑶Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…构成的数列是等差数列
!
-片是关于n的一次函数或常函数,数列
也是等差数列
_ng+
』(叫+岛-i)
陀4+叫-Z)
\2
=2
2\
(5)Sn:
(6)若等差数列{an}的项数为偶数2m,公差为d,所有奇数项之和为S奇,所有偶数项之和为S偶,则所有项
之和S2n=m(am+am+1),S偶-S<
=md
(7)若等差数列{an}的项数为奇数2m-1,所有奇数项之和为S奇,所有偶数项之和为S偶,则所有项之和
S2m-1=(2m-1)amS奇=man,S偶=(m-1)am,S奇-S偶=am
(8)若Sr=n,S门=口(金n),贝USm+n=-(m+n).
(9)Sm+r=Srn+Si+mnd・
例8【广东省揭阳市2019届高三学业水平考试】已知数列{%}满足①=_£
%+严蓊彳〔朋旷},则数
列中最大项的值为・
11,
由%4】
~^+1
即数列是公差为8的等差数列,故
斗=0,
听+1%
=—+(rt-1)x8=-1
R口1
当时;
当时,
0,数列(叫;
递减,故最大项的值为旳=-■
1・等差数列an共有3m项,若前2m项的和为200,前3m项的和为225,则中间m项的和为()
A.50B.75C.100D.125
2.【2018宁夏育才中学模拟】已知无穷等差数列an的公差d0,an的前n项和为Sn,若0,
则下列结论中正确的是()
A.&
是递增数列B.Sn是递减数列
C.S2n有最小值D.S2n有最大值
3.【四川省广元市2019届高三第一次高考适应】已知方程.Lm十:
厂的四个根组成一个
首项为耳的等差数列,则Im-nl=.
结论九等比数列
已知等比数列{an},公比为q,前n项和为Sn.
n-mmn*、
(1)an=am•q,an+m=anq=amq(m,n€N).
(2)若m+n=p+q,贝Ham•an=ap•aq(m,n,p,q€N);
反之,不一定成立
(3)a1a2a3•••&
m,am+am+2・・・a2m,a2m+Q2m+2・・a3円…成等比数列(m€N).
(4)公比qM-1时,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…成等比数列(n€N).
=q.
⑸若等比数列的项数为2n(n€N),公比为q,奇数项之和为S奇,偶数项之和为S偶,则L
q
其图象是指数函数图象上一群孤立的点
⑺通项公式an=aiqn-1
•qn.从函数的角度来看,它可以看作是一个常数与一个关于n的指数函数的积,
fl]
{anbn},J—
弘.
MJ
⑹{an},{bn}是等比数列,则{入an}.
也是等比数列(入工0,n€N).xk-*/w
(8)与等差中项不同,只有同号的两个数才能有等比中项;
两个同号的数的等比中项有两个,它们互为相
反数.
x,xq;
四个数成等比数列,通常设为
「,xq,xq
(9)三个数成等比数列,通常设为兰
例9【吉林省高中2019届高三上期末】在递增的等比数列〔叭}中,叫=6,且耳(口牛-旳)=•
(1)求卜廟的通项公式;
(2)若bH=aH+2n-l,求数列仇}的前乳项和斗.
(1)%=2门”1
(2)=
(1)设公1比为\-az)=a斗一£
»
得4(6q-6)=bq2-6,
化简得旷-4g+3=6解得q=$諏=1.
因为等比数列%展递增枫所以厂亦^=2,-
所臥窃=2x孙-X
(2)由
(1)得"
所以^,
则「卷0色+碩乜7,
111-32
所以【变式训练】
8
1.【2018西藏拉萨一模】已知等比数列an的前n项积为Tn,若a124,-,则当「取得最
大值时,n的值为()
A.2B.3C.4D.6
2.【广东省惠州市2019届高三第三次调研】已知公差为正数的等差数列•的前•项和为’,且’,
y兰,数列H的前.项和-严.「几1厂]
(1)求数列肚]与的通项公式;
(2)求数列的前项和沆]
结论十多面体的外接球和内切球
1.长方体的体对角线长d与共顶点的三条棱的长a,b,c之间的关系为d2=a2+b2+c2;
若长方体外接球的半
径为R,则有(2R)2=a2+b2+c2.
2.棱长为a的正四面体内切球半径r=da,外接球半径R="
a.
12的
例10【四川省泸州市2019届高三第一次诊断】已知三棱锥
正三角形且和球心在同一平面内,若此三棱锥的最大体积为
-的所有顶点都在同一球面上,底面V:
是
1G心,则球D的表面积等于.
3沁.与球心悴在同一平面内,|曲巴|是」的外心,
设球半径为,
则的边长卜円:
爲脚
当列』肿C所在面的距离为球的半径胡寸,
5-ABCft积最大,
耳"
=莎3"
2尹彳启肘心二16岳
aff3=64,=4,
球表面fR^)4irl?
I=471X16=64ur故答素为
1•《九章算术》中,将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑,若三棱锥PABC为鳖臑,PA平
面ABC,PA3,AB4,AC5,三棱锥PABC的四个顶点都在球0的球面上,则球O的表面积为()
A.17B.25C.34D.50
2.球O的球心为点O,球O内切于底面半径为.3、高为3的圆锥,三棱锥V-ABC内接于球O,已知OM
OBAC丄BC则三棱锥V-ABC的体积的最大值为.
结论十
焦点三角形的面积公式
a
+
(1)在椭圆
=1(a>
b>
0)中,F1,F2分别为左、右焦点,P为椭圆上一点,则厶PF1F2的面积
a卩F]F'
2=b•tan‘,其中0=/F1P^.
⑵在双曲线
0,b>
0)中,F1,F2分别为左、右焦点,P为双曲线上一点,则厶PF1F2的面积
“其中
Lun-
0=ZFiPF2.
例11已知椭圆的中心在原点,对称轴为坐标轴,
Fi、F2为焦点,点P在椭圆上,直线PFi与PF2倾斜
角的差为90,△FiPF2的面积是20,
离心率为
5,求椭圆的标准方程•
F1PF2
,则90.
rpf2
b2tanb2tan45b2
20,
1bl
12
20~~2"
a
解得:
a2
45
所求椭圆的标准方程为
20
1或-
X-1
1.已知P是椭圆
x2
25
—1上的点,
F1、F2分别是椭圆的左、右焦点,若
PF1PF2
IPF1||PF2|
△F1PF2的面积为(
B.23
C.3
2.双曲线—
16
1两焦点为F1,F2,点
P在双曲线上,直线PF1,PF2倾斜角之差为孑则
△F1PF2面积为()
A.16.3B.32■3C.32D.42
结论十二圆锥曲线的切线问题
222
1.过圆C:
(x-a)+(y-b)=R上一点P(xo,yo)的切线方程为(xo-a)(x-a)+(yo-b)(y-b)=R
/b2!
心才yoy
2•过椭圆+=1上一点P(x0,y0)的切线方程为+=1.
a2fa2b2
3.已知点M(X0,y°
),抛物线C:
y=2px(p丰0)和直线l:
y°
y=p(x+x0).
(1)当点M在抛物线C上时,直线I与抛物线
C相切,其中M为切点,1为切线.
(2)当点M在抛物线C外时,直线I与抛物线
C相交,其中两交点与点M的连线分别是抛物线的切线,即
直线I为切点弦所在的直线.
(3)当点M在抛物线C内时,直线I与抛物线
C相离.
例12已知抛物线C:
x2=4y,直线I:
x-y-2=0,
设P为直线I上的点,过点P作抛物线C的两条切线PA,PB,其中A,B为切点,当点P(X0,y。
)为直线I上的定点时,求直线AB的方程.
解析联立万程得・;
一矍“
消去风整理得『-虹栢乂’
△二(-炉-彳兀匪-切。
故直线1与抛物线C相离.
由结论$比P在抛物缁卜故切点弦AB所在的直线方程为沖如巧込即产耳岀乎
1.过点(3,1)
作圆(x-1)2+y2=1的两条切线,切点分别为A,B,则直线AB的方程为()
A.2x+y-3=0
B.2x-y-3=0
C.4x-y-3=0
D.4x+y-3=0
2.设椭圆C:
则椭圆C在点P处的切线方程为
结论十三圆锥曲线的中点弦问题
jf2y2
1.在椭圆E:
+=1(a>
0)中:
a2//
(1)如图①所示,若直线y=kx(k丰0)与椭圆E交于A,B两点,过A,B两点作椭圆的切线1,1'
有I//I'
b2
设其斜率为k0,则k0•k=-*
⑵如图②所示,若直线y=kx与椭圆E交于A,B两点,P为椭圆上异于A,B的点,若直线PA,PB的斜率存
在,且分别为k1,k2,则k1・k2=-
⑶如图③所示,若直线y=kx+m(k^0且详0)与椭圆E交于A,B两点,P为弦AB的中点,设直线PO的斜
率为k0,则k0-k=-.
2.在双曲线E:
0)中,类比上述结论有:
b2
(1)k
0-k=.
1-k2=
ka2
(3)k
o-k=
1„2|
XE:
0)的右焦点为F(3,0),
例13已知椭圆
过点F的直线交椭圆E于A,B两点.若AB的中
点坐标为(1,-1),
则椭圆E的方程为()
k
27
18
=1
36
+-
B.
解析
如團所肮iS-1),贝惰Ju*咗二务
即-寻也•"
守》7=梟卩a==2b:
J故冼D.
【变式训练】1.椭圆C
7]
的左、右顶点分别为A1,A2,点P在椭圆C上且直线PA2的斜率的取值范围
是[-2,-1],那么直线PA1的斜率的取值范围是
2•如图所示,在平面直角坐标系
xOy中,过坐标原点的直线交椭圆
k.对任意k>
0,求证:
PA丄PB.
+=1于P,A两点,其中P在第一象限,过P
结论十四圆锥曲线中的一类定值问题
在圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)中,曲线上的一定点P(非顶点)与曲线上的两动点A,B满足直线PA与PB的斜率互为相反数(倾斜角互补),则直线AB的斜率为定值.
图示
条件
结论
L厂
A-
22
已知椭圆1+[=1(a>
0),定点P(xO,yO)(xOyO工0)在椭盘b
圆上,设A,B是椭圆上的两个动点,直线PA,PB的斜率
分别为kPA,kPB,且满足kPA+kPB=0.
直
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