数字信号处理基础书后题答案中文版.doc
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Chapter2Solutions2.1最小采样频率为两倍的信号最大频率,即44.1kHz。
2.2(a)、由=2f=20rad/sec,信号的频率为f=3.18Hz。
信号的奈奎斯特采样频率为6.37Hz。
(b)、35000=,所以f=833.3Hz,奈奎斯特采样频率为1666.7Hz。
(c)、73000=,所以f=214.3Hz,奈奎斯特采样频率为428.6Hz。
2.3(a)12580001f1TSS=s(b)、最大还原频率为采样频率的一半,即4000kHz。
2.4=4000rad/sec,所以f=4000/
(2)=2000/Hz,周期T=/2000sec。
因此,5个周期为5/2000=/400sec。
对于这个信号,奈奎斯特采样频率为2(2000/)=4000/Hz。
所以采样频率为fS=4(4000/)=16000/Hz。
因此5个周期收集的采样点为(16000/samples/sec)(/400sec)=40。
2.5=2500rad/sec,所以f=2500/
(2)=1250Hz,T=1/1250sec。
因此,5个周期为5/1250sec。
对于这个信号,奈奎斯特采样频率为2(1250)=2500Hz,所以采样频率为fS=7/8(2500)=2187.5Hz。
采样点数为(2187.5点/sec)(5/1250sec)=8.75。
这意味着在模拟信号的五个周期内只有8个点被采样。
事实上,对于这个信号来说,在整数的模拟周期中,是不可能采到整数个点的。
2.6频谱搬移均匀地发生在每个采样频率的整数倍2.7信号搬移发生在kfSf处,换句话说,频谱搬移发生在每个采样频率的整数倍(a)采样频率满足奈奎斯特采样定理,所以没有混叠发生。
-20002004006008001000120000.10.20.30.40.50.60.70.80.91幅度频率(b)采样频率对于这个信号来说太低了,所以混叠发生了。
混叠图用虚线展示,最后的频谱用实线展示。
2.8蜂窝电话信号是带宽受限的。
传输范围为30kHz。
最小采样频率至少为60kHz。
在这道题中,60kHz采样频率是足够的。
传输范围的基带搬移能被一个截止频率为30kHz的滤波器弥补。
2.9(a)、信号在300Hz处的镜像出现在3001000,3000,3001000,3002000Hz,.,即1300,700,300,700,1300,1700,2300Hz,.。
这些信号只有一个位于奈奎斯特范围内(采样后能被恢复的范围,这道题为0到500Hz)。
真实的信号频率为300Hz,没有混叠发生。
(b)、信号的镜像出现在6001000,6000,6001000,6002000Hz,.,即1600,600,400,400,600,1400,1600,2600Hz,.。
这些信号只有400Hz落在奈奎斯特范围内。
这是混叠频率。
(c)、信号的镜像出现在13001000,13000,13001000,13002000Hz,.,即2300,1300,300,300,700,1300,2300,3300Hz,.。
这些信号只有300Hz落在奈奎斯特范围内。
这是混叠频率。
2.10(a)、信号在100到400Hz发生混叠。
频率倒置不发生在基带。
0102030405060708090100110120130140150频率/kHz03060901200102030405060708090100110120130140150频率kHz(b)、带宽受限信号在50到200Hz发生混叠。
频谱倒置发生在基带。
2.118kHz的采样频率允许奈奎斯特范围为0到4kHz。
在采样之后,信号的频谱搬移发生在2400025000,1600025000,800025000,025000,800025000,1600025000Hz.。
奈奎斯特范围内唯一的镜像点为1000Hz。
这就是混叠频率。
2.12最简单的方法是通过看这两个信号有相同的采样点来比较两者。
采样时刻由nTS确定,其中n是采样数,TS是采样间隔,即1/150sec。
nt=nTSx1(t)x2(t)001.0001.00011/1500.8090.80922/1500.3090.30933/1500.3090.30944/1500.8090.80955/1501.0001.00066/1500.8090.8092.13由于目标的镜像出现在00.2MHz,20.2MHz,40.2MHz,9000.2MHz,目标的实际频率为900.2MHz。
2.14车轮每转一圈,轮胎走过d=.635=1.995m。
自行车速为15km/h,即15000/3600=4.17m/sec。
因此,自行车每个轮子以cycles/sec09.2m/cycle1.995m/sec17.4=的-500050010001500-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81fS幅度频率-500050010001500-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81fS幅度频率频率往复出现。
根据奈奎斯特采样定理,每个周期至少有两个采样点。
所以采样频率应为4.18samples/sec。
这能通过每100s418次快照完成。
2.15当信号以600Hz的频率采样,正弦波频率的镜像出现在采样频率整数倍的两边。
由于混叠频率为150Hz。
镜像出现在0150,600150,1200150Hz.。
只有150、450、750Hz在1kHz以下。
当采样频率为550Hz时,混叠频率为200Hz,所以镜像出现在050,550200,1100200Hz.。
只有200、350、750和900Hz处在1kHz以下。
与两者都一致的正弦波频率为750Hz。
2.16模拟电压范围为6V。
(a)量化步长为6/24=375mV(b)量化步长为6/28=23.44mV(c)量化步长为6/216=91.55V2.17(a)28=256(b)210=1024(c)212=40962.18量化映射一个无限模拟信号等级到一个有限数字信号等级,量化程度由使用的数位来决定。
对于任意有限数位,误差一定会出现,因为量化步长的大小是非零的。
2.19量化误差由真实信号与量化值相减得到。
n0123456789量化误差0.40.30.10.40.30.10.40.10.20.22.20量化步长为范围/2N=4/24=0.25V。
下表标书了量化方法。
底端范围是步长的一半,顶端范围是步长的1.5倍。
所有其他的范围是一倍步长。
量化图标也给出了。
数字编码量化标准(V)映射到数字编码的模拟输入范围(V)00002.02.0x1.87500011.751.875x1.62500101.51.625x1.37500111.251.375x1.12501001.01.125x0.87501010.750.875x0.62501100.50.625x0.37501110.250.375x0.125100000.125x0.12510010.250.125x0.37510100.50.375x0.62510110.750.625x0.87511001.00.875x1.12511011.251.125x1.37511101.51.375x1.62511111.751.625x2.02.21n模拟采样(V)数字编码量化标准(V)量化误差(V)00.57150010.6250.053514.95751114.3750.582520.6250010.6250.000033.61251103.7500.137544.05001103.7500.300050.95550101.2500.294562.78251002.5000.282571.56250111.8750.312582.75001002.5000.2592.87551013.1250.24952.22动态范围为20log(2N)(a)24.1dB(b)48.2dB(c)96.3dB2.23动态范围为20log(2N)=60.2dB,由此可以得出2N=1023.29。
N的值最靠近10,所以N取10。
-2-1.5-1-0.500.511.52-2-1.5-1-0.500.511.52模拟采样值量化值0111011001010100001100100001000011111110110111001011101010011000数字编码2.24范围=R,量化步长=QR=1V0.5Q=0.1V因此,Q=0.2VR/Q=2N=5两个量化位(N=2)不满足需求。
至少需要三个量化位(N=3)。
2.25比特率=Bbits/sample*fsamples/sec=16*8000=128kbps2.26中间范围最大量化误差是量化步长Q的一半。
对于范围R,位数N来说,步长为R/2N因此。
R01.02R21Q21N=将会保持量化误差在满意范围内。
消去R然后解出N为02.021N,即502N。
N满足关系的最小值为N=6。
因此,最小比特率为NfS=6(16)=96kbps。
2.27这个表展示了与3位编码相称的电压。
数位编码相应的模拟电压0000.00000010.71430101.42860112.14291002.85711013.57141104.28571115.0000对于编码111101011101000001011010100110对应的零阶保持信号如下:
.2.28抗镜像滤波器从零阶保持信号中移除了尖峰。
这样做之后,所有的奈奎斯特范围外的频率都被移除了。
但是滤波器引起了一个附加时延。
Chapter3Solutions3.1(a)(i)x0=3(ii)x3=5(iii)x1=2(b)(i)(ii)xn+1序列的略图没显示x5的值,那是因为这道题没提供这个信息。
3.2冲激函数除了n=0处之外都是0(a)4=0(b)0=105010015020025030035040045050000.511.522.533.544.55电压时间-3-2-10123450123456xn+1n-3-2-10123450123456xn-2n(c)2=03.3(a)、这个函数是冲激函数关于纵轴的镜像,没有其他改变。
(b)这个函数是由冲激函数向右移两个单位得到,然后将它的振幅扩大一倍。
(c)这个函数是两个冲激函数之和3.4阶跃函数对于n2f,采样率足够避免混叠。
3.19(a)下面的采样点在下面画出n012345xn0.001.181.901.901.180.00n6789101112xn1.181.901.901.180.001.181.90(b)2/的比值为2/(4/5)=10/4=5/2。
分子5表示正弦序列每5个采样点重复一次。
因为比率的分母为2。
这5个采样点是在两个模拟周期中取得的。
(c)在下表中,模拟信号用虚线附加在数字信号上。
3.20x(t)的模拟频率为f=/
(2)=2500
(2)=1250Hz。
xn的数字频率为/3rads。
这些频率必须满足如下等式:
SSf12502ff23=024681012-2-1.5-1-0.500.511.52xnn通过这个等式解得fS=7500Hz.其他解也是可能的,由=3n5cos3nn2cos3ncos.通过这个式子可以得出Sf1250235=即fS=1500Hz.。
在这个频率下,混叠发生了。
这个信号出现在250Hz。
这解释了为什么第二个采样率起了作用315002502ff2S=3.21(a)由052n92=+,n=59。
位移将信号左移了9/5个采样点。
(b)两个信号的采样点不匹配,因为位移不是一个整数。
(c)951.052)0(92sin0x1=+=927.052)1(92sin1x1=+=(d)对于两个信号向右的相移0)2(92n92=+=+,所以94=。
因此,=94n92sinnx1。
这个信号的一个周期包含了和x2n一个周期相同的采样值。
3.22(a)(b)-2024681012-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81xnn(c)(d)3.23(a)、由于数字正弦曲线是周期的,M10MN2=。
根据Sff2=,M10ffS=。
因此,10MffS=。
模拟信号的可能频率f由M=1,3,7,9,11,决定,也就是不包括10的因数的所有整数。
其他整数M得出的结果中数字周期小于10。
对于4kHz的采样来说,f的可能频率为400,1200,2800,3600,4400,Hz。
(b)、(a)中只有两个频率处在奈奎斯特范围内,它们是400Hz和1200Hz。
所有其他的f频率在采样频率为4kHz的情况下,都在400或者1200Hz产生了混叠。
-2024681012012345678xnn-2024681012-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.8xnn-2024681012-2-1.5-1-0.500.511.52xnn3.24一个16比特图用16位灰度来表现图中的每个像素。
16位总计能代表65536个灰度值。
3.25棋盘上每个方块被16*16的像素块记录。
所有白块里的像素点的灰度值为255,所有黑块里的像素的灰度值为0。
Chapter4Solutions4.1(a)、这个滤波器的通带增益是1单位的。
增益衰减到0.707是在频率为2400Hz和5200Hz时。
能通过这个滤波器的频率范围为2400到5200Hz。
(b)、这个滤波器是带通滤波器。
(c)、频率的通带范围是增益超过最大值的0.707的范围,即52002400=2800Hz。
4.2一个低通滤波器能通过在直流和它的截止频率之间的频率。
通带也就等同于截止频率。
因此,截止频率是2kHz。
4.3滤波器的最大通带增益是20dB。
带宽定义为:
增益比通带增益低不超过3dB的频率范围。
对于这道题为17dB。
这个增益出现在截止频率700Hz上。
对于高通滤波器来说,带宽是在截止频率,700Hz,和奈奎斯特频率(等于采样频率的一半),2kHz,之间的范围。
带宽为1300Hz。
4.4低通滤波器截止频率为150Hz,带宽为150Hz。
带通滤波器截止频率为250Hz和350Hz,带宽为100Hz。
高通滤波器截止频率为400Hz,带宽为100Hz,也就是从它的截止频率增加到奈奎斯特限制(采样频率的一半)。
4.5(a)、低通滤波器输出在上边,高通滤波器的在下边。
(b)、原始元音信号的近似值能通过高通和低通波形的叠加得到。
4.6(a)、线性(b)、非线性(c)、非线性(d)、线性4.7由于新输入是原输入向右移两个单位得到的,新输出也是原输出向右移动两个单位得到的。
4.8(a)yn=0.25yn1+0.75xn0.25xn1(b)yn=yn1xn0.5xn14.9(a)、系统是非递归的。
b0=b1=b2=1/3(b)、系统是递归的。
a0=1,a1=0.2,b0=1(c)、系统是递归的。
a0=1,a1=0.5,b0=1,b1=0.4-2-1012345600.20.40.60.81ynnxnn4.10(a)n0123456789yn1.00.13.01.70.80.10.00.00.00.0(b)(c)n0123456789yn1.00.63.364.023.412.051.230.740.440.27n0123456789yn1.01.64.444.103.293.663.292.962.672.40-202468-5-4-3-2-1012345ynn-202468-5-4-3-2-1012345ynn(d)n0123456789yn0.50.51.52.51.50.50.00.00.00.04.11n0123456789xn1.001.0001.0001.0001.0000.0000.0000.0000.0000.000n0123456789yn1.000.7500.8130.7970.8010.200.0500.0130.0030.001-202468-5-4-3-2-1012345ynn-202468-5-4-3-2-1012345ynn4.12n0123456789xn2.000.001.000.000.000.000.000.000.000.00n0123456789yn0.60.50.10.250.10.00.00.00.00.04.13xn采样时刻的全部输入是输入x1n和x2n之和。
全部输入被应用于差分方程在正常求输出时。
n0123456789xn0.000.8071.2001.0070.4000.5000.6000.7000.8000.900n0123456789yn0.000.8070.8370.4670.0530.320.3750.4300.4850.544.14n0123456789xn0.000.3940.6320.7770.8650.9180.9500.9700.9820.989n0123456789yn0.000.3940.3170.5230.4460.5610.5020.5690.5270.5684.15-202468-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81ynn4.16yn=0.5yn2+1.2xn0.6xn1+0.3xn24.17yn=2.1xn11.5xn24.18wn=xn+0.3wn10.1wn2yn=0.8wn0.4wn24.19第一个二阶部分的差分方程为y1n=0.1xn+0.2xn1+0.1xn2第二个二阶部分差分方程为yn=y1n+0.3y1n2将第一个等式代入第二个中得到yn=(0.1xn+0.2xn1+0.1xn2)+0.3(0.1xn2+0.2xn3+0.1xn4)=0.1xn+0.2xn1+0.07xn2+0.06xn3+0.03xn44.20xnyn+延迟0.51.00.8延迟延迟xn1xn3ynxn延迟延迟0.50.3+4.21直接型方程为wn=xn+1.2wn10.5wn2yn=wn0.2wn14.22(a)yn=0.14yn10.38yn2+xn(b)wn=xn0.14wn10.38wn2yn=wn请注意这部分的差分方程和(a)部分是一样的ynxnwn延迟延迟0.140.38+0.2ynxnwn延迟延迟0.140.38+4.23前10个脉冲响应的采样为n0123456789hn1.01.20.80.40.00.00.00.00.00.04.24从表中可以看出,滤波器是有限脉冲响应。
它能用一系列脉冲函数之和来表示:
hn=0.5n+0.4n1+0.3n2+0.2n2差分方程有种平行形式yn=0.5xn+0.4xn1+0.3xn2+0.2xn34.25脉冲函数是有限的,采样点如下:
n0123456hn1.0000.3000.0900.0270.0000.0000.000FIR滤波器的冲激响应采样点直接用系数bk表示,如下yn=xn+0.3xn1+0.09xn2+0.027xn3这个结果也可以以冲函数的形式写成冲激响应hn=n+0.3n1+0.09n2+0.027n34.26n01234hn1.00000.30000.24000.19200.1536n56789hn0.12290.09830.07860.06290.05034.27冲激响应可以从差分方程中得到hn=0.5hn1+n0.8n1阶跃响应能从下式中得到sn=0.5sn1+un0.8un1或者通过冲激响应采样点的累加和得到n0123456789hn1.001.3000.6500.3250.1630.0810.0410.0200.0100.005sn1.000.3000.3500.0250.1880.1060.1470.1270.1370.1324.285项平滑滤波器的差分方程为()4nx3nx2nx1nxnx51ny+=冲激响应为()4n3n2n1nn51nh+=画图如下:
4.29这个冲激响应属于非递归滤波器,因为在有限采样点之后,输出永远归于0。
4.30(a)、由定义可知,脉冲函数的响应被称为脉冲响应。
因此,(a)问的答案已经在问题中提供了。
(b)、信号xn由两个不同振幅和位置的脉冲信号组成。
这个输入的响应将和脉冲响应的结合相同。
也就是,yn=0.8hn+0.5hn1012345678900.050.10.150.20.25hnn输出样值点在下表中列出n0123456789yn3.24.43.11.80.50.00.00.00.00.04.31阶跃响应能通过下式得到sn=un0.5un10.7un2前10个样值点为n0123456789sn1.000.500.200.200.200.200.200.200.200.204.32(a)、冲激响应能通过下式得到hn=0.75hn1+n0.5n1-202468101200.511.522.533.544.55n0.8hn+0.5hn1-202468101200.511.522.533.544.550.5hn1n-202468101200.511.522.533.544.550.8hnn(b)阶跃响应能通过下式得到sn=0.75sn1+un0.5un1或者通过冲激响应样值点的累加和得到。
n01234hn1.0001.2500.9380.7030.527sn1.0000.2500.6880.0160.512n56789hn0.3
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