增减函数教案ppt.docx
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增减函数教案ppt
增减函数教案ppt
篇一:
初中课件-实际问题中的函数(含答案)
一、实际问题中的一次函数“模型”
1、利用一次函数解决“调配问题”
“调配”问题是利用一次函数解决问题的典型题目,首先可利用图示法或表格法表示出各个变量,从而确定所示费用等信息的一次函数表达式,运用一次函数的性质分析问题得出正确的判断。
例1:
某市A、B两村盛产柑桔,A村有柑桔200吨,B村有柑桔300吨.现将这些柑桔运到C、D两个冷冻厂,已知C厂可储存240吨,D厂可储存260吨;从A村运往C、D两厂的费用分别为每吨20元和25元,从B村运往C、D两厂的费用分别为每吨15元和18元,设从A村运往C厂的柑桔重量为x吨,A、B两村运往两厂的柑桔运输费用分别yA元
AB(3)若B村的柑桔运费不得超过4830元,在这种情况下,请问怎样调配数量,才能使两村所花运费之和最小?
并求出这个最小值.
解:
表中从上而下,从左到右依次填:
(200-x)吨、(240-x)吨、(60+x)吨;
故答案为:
(200-x)吨、(240-x)吨、(60+x)吨.
(2)解:
根据题意得:
yA=20x+25(200-x)=5000-5x,
yB=15(240-x)+18(60+x)=3x+4680,
x的取值范围是:
0≤x≤200,
答:
yA、yB与x之间的函数关系式分别是yA=20x+25(200-x)=5000-5x,yB=15(240-x)+18(60+x)=3x+4680,自变量x的取值范围是0≤x≤200.
(3)解:
由yB≤4830,得3x+4680≤4830,
∴x≤50,设A、B两村运费之和为y,
则y=yA+yB=-2x+9680,
y随着x的增大而减小,又0≤x≤50,
∴当x=50时,y有最小值.最小值是y=9580(元),
200-50=150,240-50=190,60+50=110,
答:
若B村的柑桔运费不得超过4830元,在这种情况下,从A村运往C厂的柑桔重量为50吨,运往D厂的柑桔重量为150吨,从,B村运往C厂的柑桔重量为190吨,运往D厂的柑桔重量为110
吨才能使两村所花运费之和最小,这个最小值是9580元.
2、利用一次函数自变量的取值范围解决选择问题
在实际问题中建立了一次函数模型,就是运用一次函数的函数值、图象、性质等知识进行探索,以获得使问题的答案最优的自变量的值或取值范围,问题的本质就是在自变量的不同取值范围内比较多个函数值的大小,它是通过将比较函数值的大小问题转化为解方程或解不等式的问题(或利用一次函数的图象)加以处理。
例2:
南宁市狮山公园计划在健身区铺设广场砖.现有甲、乙两个工程队参加竞标,甲工程队铺设广场砖的造价y甲(元)与铺设面积x(m2)的函数关系如图所示;乙工程队铺设广场砖的造价y乙(元)与铺设面积x(m2)满足函数关系式:
y乙=kx.
(1)根据图写出甲工程队铺设广场砖的造价y甲(元)与铺设面积x(m2)的函数关系式;
(2)如果狮山公园铺设广场砖的面积为1600m2,那么公园应选择哪个工程队施工更合算?
3、利用一次函数最值解决最优化问题
最值问题是中考中的热点与难点问题,我舞知道一次函数y=kx+b(k,b是常数,k≠0)中的自变量x的取值范围是全体实数,其图象象是一条直线,所以函数既没有最大值,也没有最小值,但由于在实际问题中,所列函数表达式中自变量的取值范围往往有一定的限制,其图象为线段或射线,故其就有了最值。
在求函数的最值时,我舞应先求出函数的表达式,并确定其增减性,再根据题目条件确定出自变量的取值范围,然后结合增减性确定出最大值或最小值。
某公司装修需用A型板材
240块、B型板材180块,A型板材规格是60cm×30cm,B型板材规格是40cm×30cm.现只能购得规格是150cm×30cm的标准板材.一张标准板材尽可能多地裁出A型、B型板材,共有下列三种裁法:
(图是裁法一的裁剪示意图)
?
设所购的标准板材全部裁完,其中按裁法一裁x张、按裁法二裁y张、按裁法三裁z张,且所裁出的
A、B两种型号的板材刚好够用.
(1)上表中,m=,n=;
(2)分别求出y与x和z与x的函数关系式;
(3)若用Q表示所购标准板材的张数,求Q与x的函数关系式,并指出当x取何值时Q最小,此时按三种裁法各裁标准板材多少张?
?
解:
(1)0,3.
(2)由题意,得
,∴.
,∴.
(3)由题意,得.
整理,得.
由题意,得
解得x≤90.
【注:
事实上,0≤x≤90且x是6的整数倍】
由一次函数的性质可知,当x=90时,Q最小.
此时按三种裁法分别裁90张、75张、0张.
二、实际问题中的反比例函数“模型”
1、把实际问题转化为反比例函数应用题的关键是建立反比例函数模型,即列出符合题意的
反比例函数解析式,然后根据反比例函数的性质综合方程(组)、不等式(组)及图象求解。
例1:
李先生参加了新月电脑公司推出的分期付款购买电脑活动,他购买的电脑价格为1.2万元,交了首付4000元之后每期付款y元,x个月结清余款.
(1)写出y与x的函数关系式.
(2)李先生若用4个月结清余款,每月应付多少元?
(3)如打算每月付款不超过500元,李先生至少几个月才能结清余款?
例2:
近年来,我国煤矿安全事故频频发生,其中危害最大的是瓦斯,其主要成分是CO.在一次矿难事件的调查中发现:
从零时起,井内空气中CO的浓度达到4mg/L,此后浓度呈直线型增加,在第7小时达到最高值46mg/L,发生爆炸;爆炸后,空气中的CO浓度成反比例下降.如图所示,根据题中相关信息回答下列问题:
(1)求爆炸前后空气中CO浓度y与时间x的函数关系式,并写出相应的自变量取值范围;
(2)当空气中的CO浓度达到34mg/L时,井下3km的矿工接到自动报警信号,这时他们至少要以多少km/h的速度撤离才能在爆炸前逃生?
(3)矿工只有在空气中的CO浓度降到4mg/L及以下时,才能回到矿井开展生产自救,求矿工至少在爆炸后多少小时才能下井?
篇二:
二次函数复习课件
《二次函数》
一、二次函数的概念和图像
1、二次函数的概念
一般地,如果y?
ax2?
bx?
c(a,b,c是常数,a?
0),那么y叫做x的二次函数,
y?
ax2?
bx?
c(a,b,c是常数,a?
0)叫做二次函数的一般式。
2、二次函数的图像:
二次函数的图像是一条关于x?
?
b
对称的曲线,这条曲线叫抛物线。
2a
抛物线的主要特征:
①有开口方向;②有对称轴;③有顶点。
几种特殊的二次函数的图像特征如下:
例:
(2012泰安)二次函数y?
a(x?
m)2?
n的图象如图,则一次函数y?
mx?
n的图象经过()A.第一、二、三象限B.第一、二、四象限C.第二、三、四象限D.第一、三、四象限考点:
二次函数的图象;一次函数的性质。
解:
∵抛物线的顶点在第四象限,
∴﹣m>0,n<0,∴m<0,
∴一次函数y?
mx?
n的图象经过二、三、四象限,故选C.
3、二次函数图像的画法(五点法):
(1)先根据函数解析式,求出顶点坐标,在平面直角坐标系中描出顶点M,并用虚线画出对称轴
(2)求抛物线y?
ax?
bx?
c与坐标轴的交点:
当抛物线与x轴有两个交点时,描出这两个交点A,B及抛物线与y轴的交点C,再找到点C的对称点D。
将这五个点按从左到右的顺序连接起来,并向上或向下延伸,就得到二次函数的图像。
当抛物线与x轴只有一个交点或无交点时,描出抛物线与y轴的交点C及对称点D。
由C、M、D三点可粗略地画出二次函数的草图。
如果需要画出比较精确的图像,可再描出一对对称点A、B,然后顺
1
2
次连接五点,画出二次函数的图像。
2
2
2-3
y=-2x2
2
y=-2(x-3)2
2
二、二次函数的解析式
(1)二次函数有四种表达形式
①二次一项式型:
形如y=ax2(a是常数,且a≠0),x取任意实数。
②二次二项式型:
形如y=ax2+bx(a是常数,且a≠0,b是常数,b≠0),x取任意实数。
③二次二项式型:
形如y=ax2+c(a是常数,且a≠0,c是常数,c≠0),x取任意实数。
④二次三项式型:
形如y=ax2+bx+c(a是常数,且a≠0,b是常数,b≠0,c是常数,c≠0),x取任意实数。
(2)不论是哪一种表示形式,都必须规定a≠0,否则,就没有了二次项,二次函数就没有意义了。
(3)二次函数解析式的三种形式:
(1)一般式:
y?
ax2?
bx?
c(a,b,c是常数,a?
0)
(2)顶点式:
y?
a(x?
h)2?
k(a,h,k是常数,a?
0)(3)交点式:
y?
a(x?
x1)(x?
x2)(a≠0)
2
当抛物线y?
ax?
bx?
c与x轴有交点时,即对应二次好方程ax?
bx?
c?
0有实根x1和x2存在时,
2
根据二次三项式的分解因式ax2?
bx?
c?
a(x?
x1)(x?
x2),二次函数y?
ax?
bx?
c可转化为两根式y?
a(x?
x1)(x?
x2)(a≠0)。
如果没有交点,则不能这样表示。
例:
(2012泰安)将抛物线y?
3x2向上平移3个单位,再向左平移2个单位,那么得到的抛物线的解析式为()A.y?
3(x?
2)?
3B.y?
3(x?
2)?
3C.y?
3(x?
2)?
3D.y?
3(x?
2)?
3
考点:
二次函数图象与几何变换。
解:
由“上加下减”的原则可知,将抛物线y?
3x向上平移3个单位所得抛物线的解析式为:
2
2
2
2
2
2
y?
3x2?
3;
由“左加右减”的原则可知,将抛物线y?
3x?
3向左平移2个单位所得抛物线的解析式为:
2
y?
3(x?
2)2?
3.
故选A.
三、二次函数的最值
如果自变量的取值范围是全体实数,那么函数在顶点处取得最大值(或最小值),
b4ac?
b2即当x?
?
时,y最值?
。
2a4a
3
如果自变量的取值范围是x1?
x?
x2,那么,首先要看?
b
是否在自变量取值范围x1?
x?
x2内,若2a
b4ac?
b2
在此范围内,则当x=?
时,y最值?
;若不在此范围内,则需要考虑函数在x1?
x?
x2范
2a4a
2
围内的增减性,如果在此范围内,y随x的增大而增大,则当x?
x2时,y最大?
ax2?
bx2?
c,当x?
x122时,y最小?
ax1如果在此范围内,y随x的增大而减小,则当x?
x1时,y最大?
ax1?
bx1?
c;?
bx1?
c,2当x?
x2时,y最小?
ax2?
bx2?
c。
例:
如图,在平面直角坐标系中,已知矩形ABCD的三个顶点B(1,0),C(3,0),D(3,4).以A为顶点的抛物线y=ax+bx+c过点C.动点P从点A出发,沿线段AB向点B运动.同时动点Q从点C出发,沿线段CD向点D运动.点P,Q的运动速度均为每秒1个单位.运动时间为t秒.过点P作PE⊥AB交AC于点E.
(1)直接写出点A的坐标,并求出抛物线的解析式;
(2)过点E作EF⊥AD于F,交抛物线于点G,当t为何值时,△ACG的面积最大?
最大值为多少?
(3)在动点P,Q运动的过程中,当t为何值时,在矩形ABCD内(包括边界)存在点H,使以C,Q,E,H为顶点的四边形为菱形?
请直接写出t的值.解答:
解:
(1)A(1,4).?
(1分)
由题意知,可设抛物线解析式为y=a(x﹣1)+4∵抛物线过点C(3,0),
∴0=a(3﹣1)+4,解得,a=﹣1,
∴抛物线的解析式为y=﹣(x﹣1)+4,即y=﹣x+2x+3.?
(2分)
(2)∵A(1,4),C(3,0),∴可求直线AC的解析式为y=﹣2x+6.∵点P(1,4﹣t).?
(3分)
∴将y=4﹣t代入y=﹣2x+6中,解得点E的横坐标为x=1+.?
(4分)∴点G的横坐标为1+,代入抛物线的解析式中,可求点G的纵坐标为4﹣∴GE=(4﹣
)﹣(4﹣t)=t﹣
.?
(5分)
.
2
2
2
2
2
4
又点A到GE的距离为,C到GE的距离为2﹣,
即S△ACG=S△AEG+S△CEG=?
EG?
+?
EG(2﹣)=?
2(t﹣
)=﹣(t﹣2)2+1.?
(7分)
当t=2时,S△ACG的最大值为1.?
(8分)
(3)t=
或t=20﹣8
.…(12分)
四、二次函数的性质
5
篇三:
1.3.1单调性与最值说课稿
1.3.1单调性与最大(小)值
各位老师,大家好!
今天我说课的课题是:
人教版高中数学必修模块一第一章第三节“函数的基本性质”中“单调性与最大(小)值”的第一课时,下面,我将从教材分析、学法分析、教法分析、教辅手段、教学过程、板书设计等六个方面对本课时的教学设计进行说明.
一、教材分析
(一)教材特点、教材的地位与作用
1、教材特点
本节课内容教材共分两课时进行,这是第一课时,本课时主要学习函数的单调性的概念,依据函数图象判断函数的单调性和依据定义证明函数的单调性。
2、教材的地位与作用
本节课是在学生学习了函数概念的基础上所研究的函数的一个重要性质。
函数单调性的概念是研究具体函数函数单调性的一句,在研究函数的值域、定义域、最值等性质中有重要应用;在解不等式、证明不等式、数列的性质等数学的其他内容的研究中也有重要的应用。
可见,不论在函数内部还是在外部,函数的单调性都有重要应用,因而在数学中具有核心地位。
此外函数单调性的研究方法也具有典型意义,体现了对函数研究的一般方法。
这就是,加强“数”与“形”的结合,由直观到抽象;由特殊到一半。
首先借助对函数图像的观察、分析、归纳,发现函数的增、减变化的直观特征,进一步量化,发现增、减变化数字特征,从而进一步用数学符号刻画。
(二)教学内容
本学时的主要学习内容是:
1、通过图象判断函数的单调性,理解函数单调性的概念;
2、掌握用定义判断一些简单函数的单调性;
(三)重点、难点
1、本课时的教学重点是:
形成增减函数的形式化定义
2、本课时的教学难点是:
形成增减函数感念的过程中,如何从图像升降的直观认识过渡到函数增减的数学符号语言表述;用定义证明函数的单调性。
(四)教学目标
1、知识与技能
(1)使学生理解函数单调性的概念,并能判断一些简单函数在给定区间上的单调性。
(2)启发学生发现问题和提出问题,培养学生分析问题、认识问题和解决问题的能力。
(3)通过观察-猜想-推理-证明这一个重要的思想方法,进一步培养学生的逻辑推理能力和创新意识。
2、过程与方法
(1)通过渗透数形结合的数学思想,对学生进行辨证唯物主义的思想教育。
(2)探究与活动,明白考虑问题要细致,说理要明确。
3、情感、态度与价值观:
理性描述生活中的增长、递减现象。
二、学法分析
学生已有的认知基础是:
初中学习过函数的概念,初步认识到函数是一个刻画某种运动变化数量关系的数学概念;进入高中以后,又进一步认识到函数是两个数集之间的对应,了解函数有三种表示方法,特别是可以借助图像对函数特征加以直观观察。
此外,还学习过一次函数、二次函数、反比例韩式等几个简单而具体的函数,了解他们的图像及性质。
尤其值得注意的事,学生有利用函数性质进行两个数大小比较的经验,仅就图像角度直观描述函数单调性特征,学生并不感到困难,困难在于,把具体的、直观形象的函数单调性的特征抽象出来。
教学中,通过一次函数、二次函数等具体函数的图像及数值变化特征的研究,初步提出单调递增的说法,通过讨论、交流,让学生尝试,就一把情况进行刻画,进一步给出函数单调性的定义,然后通过辨析、联系等帮助学生理解这一概念。
三、教法分析
在本节课中的教学中以函数的单调性的概念为主线,它始终贯穿于整个课堂教学过程。
对函数单调性概念的深入而正确的理解往往是学生认知过程的难点,因此在课堂上突出对概念的分析不仅仅是为了分析函数单调性的定义,而是想让学生对如何学会、弄懂一个概念有初步得认识,并且在今后的学习中有所用;使用函数单调性定义证明具体函数的单调性又是一个难点,使用函数的单调性定义证明是对函数单调性概念的深层理解,给出一定的步骤“作差、变形、定号”是必要的,有利于学生理解概念,也可以对学生掌握证明方法、形成证明思路有所帮助。
另外,这也是以后学习的不等式证明方法中比较法的基本思路,现在提出要求,对今后的教学做一定的铺垫。
利用函数的单调性的定义证明具体函数的单调性是对函数单调性概念的深层理解,且在“作差、变形、定号”过程学生不易掌握。
按现行新教材结构体系,学生只学过一次函数、反比例函数、正比例函数、二次
函数,所以对函数的单调性研究也只能限于这几种函数,学生的现有认知结构中能根据函数的图象观察出“随着自变量的增大函数值增大”等变化趋势,所以在教学中要充分利用好函数图象的直观性、发挥好多媒体教学的优势;由于学生在概念的掌握上缺少系统性、严谨性,在教学中须加强。
四、教辅手段
以PPT和板书相结合,使学生更直观地掌握本课时的学习内容,而且可以扩大教学容量.
五、教学过程
本课时的教学过程是由“创设情境、引入新课”、“合作学习、问题探究”、“知识总结、及时体验”、“归纳总结、知识整合”、“课后作业、巩固提高”五个环节来体现和达到教学目标.
(一)创设情境、引入新课
1、利用课件展示几个函数图像,观察各个函数的图像,你能说说他们分别反映了相应函数的哪些变化特征码?
由教师引导,借助对几个函数图像的观察,对所观察到得特征进行归类,引入函数的单调性研究。
设计意图:
通过几何直观,引导学生关注图像所反映出的特征。
(二)合作学习、问题探究
问题1:
如图观察一次函数和二次函数的图像,说说随着自变量的增大,图像的升降情况。
引导学生利用图像描述变化规律,如上升、下降,从几何直观角度认识函数的单调性。
设计意图:
通过几何直观,引导学(本文来自:
WWw.bDFQ千叶帆文摘:
增减函数教案ppt)生关注图像所反映出的特征,体验自变量从小到大变化时,函数值大小变化在图像上的表现。
问题2:
观察下面的表格,描述二次函数随自变量增大函数值的变化特征。
引导学生从数值变化角度描述变化规律,图像上升(下降),也就是随着x的增大y也增大(或减小)。
设计意图:
从一个特殊例子,结合前面的图像特征,从数值变化角度认识函数的单调性。
问题3:
对于一般函数,如果在区间(0,+∞)上有“图像上升”“随着x的增大,相应的f(x)值也增大”的特点,那么应该如何刻画呢?
在这个过程中,二次函数的特征是一个具体的载体,可以起到验证、支持的作用。
如果学生主动提
出函数单调性的一般定义,则可以讨论“为什么”,让学生以二次函数为例解释定义的合理性。
这个问题具有较高的思维要求,需要“跳一跳才能摘到果子”。
教学生,可以让学生开展讨论、交流。
通过学生的活动民主不认识函数单调性的刻画方法。
设计意图:
从形象到抽象,从具体到一般。
先然学生尝试描述一般函数在(0,+∞)上“图像上升”“随着x的增大,相应的f(x)值也增大”的特征。
(三)知识总结、及时体验
给出函数单调性的一般定义:
一般地,设函数f(x)的定义域为I:
如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1、x2,当x1x2时,都有f(x1)f(x2),那么就说函数f(x)在区
间D上是增函数.
一般地,设函数f(x)的定义域为I:
如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1、x2,当x1x2时,都有f(x1)f(x2),那么就说函数f(x)在区间D
上是减函数.
师生互动:
引导学生学习定义,强调关键词句:
定义域I内某个区间D、任意、都有。
设计意图:
使学生明白函数的单调性是函数的局部性质,在整个定义域上不一定具有,函数的单调区间是函数定义域的一个子集。
给出单调性概念的应用的例题。
引导学生归纳判定函数在某个区间上的单调性的方法步骤:
取值、作差、判断、结论。
例1:
证明函数f(x)=3x+2在R上市增函数。
例2:
物理学中的玻意耳定律(k为正常数)告诉我们,对于一定量的气体,当其体积v减小时,压强p将增大.试用函数的单调性证明之.
设计意图:
通过例题讲解加深学生对定义的理解和知识的应用。
例3能说反比例函数f(x)=(k>0)在整个定义域内是单调函数吗?
并用定义证明你的结论.
设计意图:
进一步使学生明白函数的单调性是函数的局部性质。
(四)归纳总结、知识整合
1、增函数、减函数的定义
要特别注意定义中“定义域内某个区间”“属于”“任意”“都有”这几个关键词语;
2、判断函数的单调性
1)、从图象上直观判断
2)、根据定义判定
其一般步骤为:
①取值:
任取,且;
②作差:
;(对其进行因式分解,要注意变形的程度);
③判断:
判断上述差的符号,即得到(或),
(要注意说理的充分性);
④结论:
若为,则在区间D内为增函数;
若为,则在区间D内为减函数.
(五)课后延续
1、回顾本课所学的内容,整理学习笔记.
2、P43页习题1.3(A组)1、2、3、4
3、预习作业:
函数的最大值与最小值。
预习题纲:
函数最大值与最小值的含义是什么?
函数最大值与最小值和函数的单调性有何关系?
六、板书设计
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