杨辉三角及其空间拓展.doc
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杨辉三角及其空间拓展.doc
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杨辉三角及其空间拓展
株洲市二中G0216刘子儒郭时伟
摘要
本文首先对杨辉三角中特有的数学规律作了初步探索,发现了其奇偶排列的等边三角形现象。
然后,在研究中,我们在空间杨辉三角的问题上迈出了第一步——由平面杨辉三角走向三维杨辉三角。
我们在研究过程中推导出了三维杨辉三角数坐标公式,并总结出其与三项式系数的关系。
在三维杨辉三角模型的基础上我们又续而导出四维杨辉三角和N维杨辉三角。
经过努力的研究,最后归纳出了四维及N维杨辉三角数坐标公式。
由此得出了N项式展开项系数定理。
在研究过程中我们还有机地结合现代计算机技术协助公式的推导,并将其付之实用,进一步完善了课题的研究。
对此,还有几名著名的数学教授提出了宝贵的意见。
这些都是前人从未涉足过的领域,而这篇论文把这次研究的新颖性给淋漓尽致地体现出来了。
关键词:
杨辉三角 空间 公式 系数
杨辉三角,作为中国古代数学中的奇迹。
在数学计算中,日常生活中,无时不刻地展示着自己的魅力。
从古至今,从中国到外国,有无数的学者为之着迷。
但是,以往的学者们的研究只限于平面内的杨辉三角。
如果考虑到空间上的拓展,那在学术上是突破性的。
所以我们决定对杨辉三角进行全面、深刻地分析,将其拓展到三维、四维乃至N维。
研究杨辉三角,是在偶然中想到的。
对于多次出现在数学课本上的“杨辉三角”,不对其有些想法才是奇怪了。
而恰好我的母亲又叫“杨辉”。
所以,小时候第一次在《十万个为什么》中看到时就留下了深刻的印象。
再加上多次、再次地在高中数学课本中“相遇”,愈发觉得亲切。
一.杨辉三角的相关信息
看似简单的一个数字列表,却蕴藏着很深的奥秘。
这无疑是我国古代劳动人民智慧的结晶,也集中地体现了数学的奥妙无穷。
有了它,我们可以轻易地计算两个数的和的几次方,甚至用来开一个数的几次方。
杨辉(约十三世纪)字谦光,钱塘(今浙江杭州)人,是我国南宋时的数学家,杨辉的数学著作有《讲解九章算法》十二卷,流传至今的只是其中的一部分,其中“开方作法本源”载有二项式系数三角形,后人称为杨辉三角形,此外,他还著有《日用算法》二卷,《乘除通变算宝》三卷,《田亩比类乘除捷法》二卷、《续古摘奇算法》二卷等。
1
/\
1
/\/\
/\/\/\
(a+b)0
1
1
1
2
/\/\/\/\
3
1
3
/\/\/\/\/\
6
1
4
10
1
5
1
10
5
1
1
4
(a+b)1
(a+b)2
(a+b)3
(a+b)4
(a+b)5
20
图 1.1
\/
二项式展开的系数,按(图1.1)排列成一个三角形。
这里每一行的外侧的两数都是1,中间的数字等于两肩的数的和。
这一三角形最早发现于我国南宋数学家杨辉所著《详解九章算法》一书(1261年),在我国通常称为杨辉三角形,杨辉在书中指出“一出《释锁》算书,贾宪用此术”,可见更早时代的贾宪已知道这一三角形了。
并且,当时不仅用这一三角来求二项展开式的系数,还用于对一个数开n次方。
在西方,十五世纪和十六世纪时,也有多人发现了这一三角形。
国外却把它叫做帕斯卡三角形。
而法国数学家帕斯卡(BlaisePascal,1623~1662)发现这一三角形却是十七世纪的事,比我国杨辉晚了五百年左右,由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的。
首先,让我们来看看杨辉三角的某些性质。
1.项数:
在杨辉三角的第n行的项数为(n+1)。
2.系数:
在杨辉三角形的第n行,各项的系数分别为:
C、C、C……C(n=1、2、3……)
这与二项式定理有密切的联系:
(a+b)n=Can+Can-1b1+…+Can-rbr+…+Cbn(nN*)
在其中令a=b=1则C+C+C+…+C=2n
所以,可推出杨辉三角形的第n行的系数和为2n。
3.总项数:
在杨辉三角形的n行及以上,总的项数K=(n+1)(n+2)
4.通项公式:
令C表示第几行第(m+1)个数,则这个数的系数为C=
所以这个数为M=C·an-mbm=
5.最大值:
在杨辉三角的第几行中(mN*),当n=2m,Km=C,即中间的一项
当n=2m+1,Km=C,或Km=C,即中间的两项。
以上是我们查阅的资料,再来看看我们自己的发现。
A
B
图 5.1
如果用笔将杨辉三角中的偶数与奇数分别标出,便又会出现一种奇特的现象,所有的偶数都会呈现出倒立的等边三角形状排列,而奇数都成正立三角形排列,且等边三角形(偶数)的边长依次为:
3、7、15、31、63……
经过反复思考比对,我们又发出现了其中的规律即:
3=22-17=23-115=24-131=25-1
即所有的偶数依次排出以(2n-1)(nN*)的长度为边长的倒立的等边三角形。
以上种种的性质都向我们展示了杨辉三角独特的魅力,那么,它在解题中有哪些运用呢?
例:
如图5.1,有一只猫在A点,它要跑到老鼠所在的B点,要求它只能向上或向右跑,问有几种跑法。
如图,本题的背景正是著名的杨辉三角形,只需以A点为顶点,依次排出杨辉三角,容易解得共有35种走法。
这是信息学中典型的有向图的问题,或许信息学的朋友对信息题的数学解法并不陌生,但想不到还可以用杨辉三角解有向图吧!
A
B
1
1
1
1
4
10
20
35
3
6
10
15
2
3
4
5
1
1
1
1
图 5.2
1
1
(b3)
1
1
1
4
10
(ab3)
(a+b)2
(a+b)3
(a+b)1
(a+b)0
(b2)
(b1)
(b0)
(a1)
(a2b3)
(a3b3)
20
1
(a2)
1
(a3)
1
(a4)
2
3
(ab)
(a2b)
(a3b)
4
3
6
(ab2)
(a2b2)
(a3b2)
10
(a0)
a
b
图 2.1
以上的例子还有很多很多,这里就不一一列举了,这也已经足以反映杨辉三角的魅力之所在了。
二、二维直角坐标系中的杨辉三角
为了研究方便,我借鉴平面直角坐标系将杨辉三角放了进去。
正如图所示,在平面直角坐标系里,杨辉三角成了直角三角形了。
且它还具有一个特点,就是这个平面直角坐标系是由两个直角坐标系重叠而成的。
图 7.1
1
1
1
1
4
10
20
1
1
2
3
4
3
6
10
35
1
1
5
15
1
1
5
15
35
6
21
126
70
56
图 7.2
b2
b1
b0
a1
ab3
a2b3
a3b3
a2
a3
ab
a2b
a3b
ab2
a2b2
a3b2
a4b3
a4
a5
a4b
a4b2
b4
b3
ab4
a2b4
a3b4
a5b
a5b2
a5b4
a4b4
a5b3
一边是杨辉三角的系数的坐标系,另一边是a、b各项的次数的坐标系,当两者合并成为新的杨辉三角形时,一切的运算与规律都已经系统化了,沿着经过整点的斜率为-1的线,我们轻易地可以找到(a+b)n的系数与项数,这也就是坐标系,系统化的杨辉三角,二项式定理。
既然是在平面直角坐标系中(这里只考虑整点),点与坐标就会有一一对应的关系,这其中就必然有规律,经过我们的推理,得出了杨辉三角的平面公式。
∵本来杨辉三角第n行0、1、2、…m…n+1各数
则第(m+1)个数Pm=C,
m=yn=x+y
x=n-m
y=m
当呈直角坐标系时
P=C①
这就系统地表达了杨辉三角的内含,这更有助于我们研究其规律,及研究二项式的展开项。
三、三维直角坐标系中的杨辉三角
当研究了二维直角坐标系中的杨辉三角后,就很自然地想到三维直角坐标系,我们完全可以将3个二维直角坐标系中的杨辉三角放在一起,组成三维直角坐标系中的杨辉三角。
图 8.1
1
1
1
1
4
10
20
1
1
2
3
4
3
6
10
35
1
5
15
1
1
5
15
35
70
5
5
5
5
15
15
15
15
35
35
35
35
70
70
1
1
1
1
2
2
3
3
3
3
4
4
4
4
6
6
10
10
10
10
20
20
6
12
12
12
Y(b)
Z(c)
X(a)
正如上图,我们得到了一组在空间有序排列的数字,这就是我们的立体杨辉三角,那么,它又有哪些性质呢?
对此我们再度展开了研究与探索:
图 9.1
1
1
1
1
1
1
3
3
1
1
1
1
3
3
3
3
6
B
C
A
D
立体杨辉三角中的每一个平面内都是一个杨辉三角的平面型,所以它就包含了一般杨辉三角的所有性质,其中最主要的当然是对二项展开式系数的表示,对于(a+b)n,在面的斜线上我们依次可以找到各项系数分别是
C、C、C、C…C(n∈N*)
纵观整位体图,我们发现,以原点为顶点,过坐标轴上某一顶点截下一个正三棱锥,以下图为例
我们截下立体杨辉三角中的正三棱锥O—ABC,首先,沿底边依次有数字1,3,3,1,3,3,1,3,3,这到底有什么规律呢?
我们一时还看不出来,但仔细一算,我们还忽略了一点重要的地方,假设点O到ABC的距离为d,则有:
又
∴D在面ABC上
所以,这个三棱锥底面上的数字为1,3,3,1,3,3,1,3,3,6
同样也,我们共截下了3个正三棱锥,它们底边的数字为:
1、1、1、
1,2,1,2,1,2
1,3,3,1,3,3,1,3,3,6
这时,我们发现
我们又继续地研究,发现这确实是我们的立体杨辉三角的规律,有了它,我们可以做出三项式的展开项的系数,即,在面对这样的式子时,我们可以轻易地知道它的每一项的系数了。
在古希腊,毕达哥拉斯学派把1,3,6,10,15……这些数,即1,1+2,1+2+3,1+2+3+4,1+2+3+4+5……称作三角形数,因为它们可以组成正三角形,如图
而我们作的各个正三棱锥的底面上的整点数(包括原点),也正好符合三角形数的原理,而且最重要的,也是与平面的杨辉三角形的联系最紧密的是,它们正好是的各项系数。
为了更清淅地观察,我们又做了立体三维的实物模型。
与平面的杨辉三角形类似,我们又做了另一个空间直角坐标系,让三条轴分别为A、B、C三轴,轴上标出它们的项数递推。
这样一来,将两个空间直角坐标系合并后,我们便能得到将系数、项数合并系统化的杨辉三角立体图。
在实物模型上,我们可以更好地分析出各数字之间的关系,但我们又把目标瞄向了杨辉三角的立体公式。
z
x
1
1
1
1
1
1
1
1
1
4
3
6
4
3
3
22
(b2)
公式推导:
设在空间直角坐标系中有一点P(x,y,z)
首先,过y=0作x-z平面的平行截面(并以此为“标一”)
过y=1作x-z平面的平行截面
我们发现:
①当过y=y0作x-z平面的平行截面时,x、z轴上的坐标依次变成了“标一”中x(或z)=y0的那一行坐标。
即
1、、、…
z
x
5
41x
3
2
2
3
4
5
1
20
12
30
20
12
3
62
(b2)
②过截面的某一点P(x,z)做K=-1的直线与x轴交于一点,这一点的坐标为,令P点的系数为MP。
在“标一”中对应一点P’(x,z),令P’的系数为MP’,则有
MP=×MP’
根据以上两点规律,便可作出证明:
过y=y0作x-z平面的平行截面,则P在截面内的(x0,z0)
过P做K=-1的直线交x轴于第(x0+z0)个点,对应而P(x0,z0)在“标一”内对应系数
MP’=
∴MP=×
公式:
对于(a+b+c)n的展开项axbycz(x+y+z=n)的系数P,有:
P=×②
四、N维杨辉三角与N+1维杨辉三角之间的关系
平面的杨辉三角可以求出
立体的杨辉三角可以求出
我们认为:
拼凑了一定数量的杨辉三角形必可以求出(a1+a2+……+am)n的各项系数.
然而,我们的运算能力毕竟有限。
要想推导出针对N维的公式有一定的难度。
经过多次失败后,我们转向推导N维的递推公式。
根据平面杨辉三角和立体杨辉中数的规律,我们有了以下发现。
我们可以拿出平面杨辉三角和立体杨辉三角进行比较,分析一下它们的共同特点就可清楚地看到:
平面杨辉三角是二维的。
在其中任取一点p(x,y),p点所对应的数
P|(x,y)=P|(x-1,y)+P|(x,y-1)
P|(x,y)表示在平面杨辉三角中p(x,y)点所对应的数。
立体杨辉三角是三维的。
在其中任取一点p’(x,y,z),p’点所对应的数
P|(x,y,z)=P|(x-1,y,z)+P|(x,y-1,z)+P|(x,y,z-1)
所以,我们认为在四维杨辉三角中任取一点p”(w,x,y,z),p”点所对应的数
P|(w,x,y,z)=P|(w-1,x,y,z)+P|(w,x-1,y,z)+P|(w,x,y-1,z)
+P|(w,x,y,z-1)
道理很简单,四维坐标系有四个坐标轴,一个非特殊点对应四个坐标。
再拓展到N维便可得到以下公式。
同在N维的点所对应的N维杨辉三角数(系数)之间的关系:
Pn|(a1,a2,a3…an-1,an)=Pn|(a1-1,a2…an)+Pn|(a1,a2-1,a3…an)+……+P|(a1,a2…at-1…an)+……+Pn|(a1,a2…an-1)③
其中Pn|(a1,a2,a3…an-1,an)表示n维坐标系中的P点所对应的系数,a1,a2,a3…an-1,an表示n维坐标系中的P点的n个坐标。
这实际上就是把平面杨辉三角的递推公式空间化。
[注]P|(x,y)=P|(y,x),在Pn|(a1,a2,a3…an-1,an)中坐标可任意交换值不改变。
当p’(x,y,z)点的x,y,z中有一个为0时,p’的值就等于平面杨辉三角数了。
P|(x,y,z)=
P|(y,z)(x=0)
P|(x,z)(y=0)
P|(x,y)(z=0)
当p”(w,x,y,z)点的w,x,y,z中有一个为0时,p”的值就等于平面杨辉三角数了。
P|(x,y,z)(w=0)
P|(w,x,y,z)=
P|(w,y,z)(x=0)
P|(w,x,z)(y=0)
P|(w,x,y)(z=0)
这时我们发现
N维与N-1维的点的杨辉三角数(系数)的关系:
当Pn|(a1,a2,a3…an-1,an)的a1,a2,a3…an-1,an中有一个坐标为0时,
Pn|(a1,a2,a3…an-1,an)=Pn-1|(a1,a2,a3…at-1,at+1…an-1,an)(at=0)④
五、四维及N维的杨辉三角数(系数)公式
求N维杨辉三角数公式的关键突破点在于四维杨辉三角数公式。
只要四维杨辉三角数公式求出来了,N维就好办了。
先前我们之所以没有进行四维杨辉三角数公式的推导是因为,无论从四维坐标系方面还是从(a1+a2+a3+a4)n的展开项的系数来看,数字都过大,不便于运算。
现在有了N维递推程序,我们可以用它来进行复杂的数字运算。
我们在前面发现发现了四维与三维杨辉三角数之间的关系
P|(x,y,z)(w=0)
P|(w,x,y,z)=
P|(w,y,z)(x=0)
P|(w,x,z)(y=0)
P|(w,x,y)(z=0)
P|(w,x,y,z)=P|(w-1,x,y,z)+P|(w,x-1,y,z)+P|(w,x,y-1,z)
+P|(w,x,y,z-1)
这两个公式体现了四维与三维杨辉三角数之间的递归关系,通过数学归纳法可得出
P|(w,x,y,z)=×P|(x,y,z)
再把公式②代入,最终求出四维杨辉三角数公式:
P|(w,x,y,z)=×× ⑤
同理可得,N维杨辉三角数递推公式:
Pn|(a1,a2,a3…an-1,an)=×Pn-1|(a1,a2,a3…an-2,an-1)⑥
再对公式⑥递归可得,N维杨辉三角数公式:
Pn|(a1,a2,a3…an-1,an)=×……××⑦
六、小结
经过我们的研究,最终得出了以下成果。
杨辉三角数公式:
平面杨辉三角中位于P(x,y)点的杨辉三角数
P|(x,y)=
对应为(a+b)n的展开项axby的系数
立体杨辉三角中位于P(x,y,z)点的杨辉三角数
P|(x,y,z)=×
对应为(a+b+c)n的展开项axbycz的系数
四维杨辉三角中位于P(w,x,y,z)点的杨辉三角数
P|(w,x,y,z)=××
对应为(a+b+c+d)n的展开项axbyczdw的系数
N维杨辉三角中位于P(a1,a2,a3…an-1,an)点的杨辉三角数
Pn|(a1,a2,a3…an-1,an)=×……××
对应为(d1+d2+d3+…+dn-1+dn)n的展开项的系数
杨辉三角数与数之间的关系式:
同在N维的点所对应的N维杨辉三角数(系数)之间的关系
Pn|(a1,a2,a3…an-1,an)=Pn|(a1-1,a2…an)+Pn|(a1,a2-1,a3…an)+…
…+P|(a1,a2…at-1…an)+……+Pn|(a1,a2…an-1)
N维与N-1维的点的杨辉三角数(系数)的关系:
Pn|(a1,a2,a3…an-1,an)=Pn-1|(a1,a2,a3…at-1,at+1…an-1,an)(at=0)
Pn|(a1,a2,a3…an-1,an)=×Pn-1|(a1,a2,a3…an-2,an-1)
对于杨辉三角的研究到这里已经告一段落。
我们欣喜地看到无论在杨辉三角空间拓展,还是与其关联的多项式系数,我们都取得了前所未有的进展,并且得到了各方面专家的认同。
这是我们欣慰的,流再多的汗水也是值得的。
在研究过程中,我们学会了巧妙地运用各种数学手段,体会到了其中无限的奥妙,更是了解了互帮互助的重要性。
只有手挽着手才能拨开氤氲的迷雾开启科学殿堂的大门。
注:
本课题已获得株洲市创新大赛一等奖
参考书目
《数学小词典》科学技术文献出版社
《高二数学》人民教育出版社
《果壳中的宇宙》湖南科学技术出版社
《数据结构》清华大学出版社
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- 关 键 词:
- 三角 及其 空间 拓展