直线和圆的方程知识点.doc
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直线和圆--知识总结
一、直线的方程
1、倾斜角:
L
,范围0≤<,
若轴或与轴重合时,=00。
2、斜率:
k=tan与的关系:
=0=0
已知L上两点P1(x1,y1)0<<
P2(x2,y2)=不存在
k=
当=时,=900,不存在。
当时,=arctank,<0时,=+arctank
3、截距(略)曲线过原点横纵截距都为0。
4、直线方程的几种形式
已知
方程
说明
几种特殊位置的直线
斜截式
K、b
Y=kx+b
不含y轴和行平于y轴的直线
①x轴:
y=0
点斜式
P1=(x1,y1)
k
y-y1=k(x-x1)
不含y轴和平行于y轴的直线
②y轴:
x=0
两点式
P1(x1,y1)
P2(x2,y2)
不含坐标辆和平行于坐标轴的直线
③平行于x轴:
y=b
截距式
a、b
不含坐标轴、平行于坐标轴和过原点的直线
④平行于y轴:
x=a
⑤过原点:
y=kx
一般式
Ax+by+c=0
A、B不同时为0
两个重要结论:
①平面内任何一条直线的方程都是关于x、y的二元一次方程。
②任何一个关于x、y的二元一次方程都表示一条直线。
5、直线系:
(1)共点直线系方程:
p0(x0,y0)为定值,k为参数y-y0=k(x-x0)
特别:
y=kx+b,表示过(0、b)的直线系(不含y轴)
(2)平行直线系:
①y=kx+b,k为定值,b为参数。
②AX+BY+入=0表示与Ax+By+C=0平行的直线系
③BX-AY+入=0表示与AX+BY+C垂直的直线系
(3)过L1,L2交点的直线系A1x+B1y+C1+入(A2X+B2Y+C2)=0(不含L2)
6、三点共线的判定:
①,②KAB=KBC,
③写出过其中两点的方程,再验证第三点在直线上。
二、两直线的位置关系
1、
L1:
y=k1x+b1
L2:
y=k2x+b2
L1:
A1X+B1Y+C1=0
L2:
A2X+B2Y+C2=0
L1与L2组成的方程组
平行
K1=k2且b1≠b2
无解
重合
K1=k2且b1=b2
有无数多解
相交
K1≠k2
有唯一解
垂直
K1·k2=-1
A1A2+B1B2=0
(说明:
当直线平行于坐标轴时,要单独考虑)
2、L1 到L2的角为0,则()
3、夹角:
4、点到直线距离:
(已知点(p0(x0,y0),L:
AX+BY+C=0)
①两行平线间距离:
L1=AX+BY+C1=0L2:
AX+BY+C2=0
②与AX+BY+C=0平行且距离为d的直线方程为Ax+By+C±
③与AX+BY+C1=0和AX+BY+C2=0平行且距离相等的直线方程是
5、对称:
(1)点关于点对称:
p(x1,y1)关于M(x0,y0)的对称
(2)点关于线的对称:
设p(a、b)
对称轴
对称点
对称轴
对称点
X轴
Y=-x
Y轴
X=m(m≠0)
y=x
y=n(n≠0)
一般方法:
如图:
(思路1)设P点关于L的对称点为P0(x0,y0)则Kpp0﹡KL=-1
P,P0中点满足L方程
解出P0(x0,y0)
(思路2)写出过P⊥L的垂线方程,先求垂足,然后用中点坐标公式求出P0(x0,y0)的坐标。
P
y L
P0
x
(3)直线关于点对称
L:
AX+BY+C=0关于点P(X0、Y0)的对称直线:
A(2X0-X)+B(2Y0-Y)+C=0
(4)直线关于直线对称
①几种特殊位置的对称:
已知曲线f(x、y)=0
关于x轴对称曲线是f(x、-y)=0关于y=x对称曲线是f(y、x)=0
关于y轴对称曲线是f(-x、y)=0关于y=-x对称曲线是f(-y、-x)=0
关于原点对称曲线是f(-x、-y)=0关于x=a对称曲线是f(2a-x、y)=0
关于y=b对称曲线是f(x、2b-y)=0
一般位置的对称、结合平几知识找出相关特征,逐步求解。
三、简单的线性规划
LY
不等式表示的区域
OX
AX+BY+C=0
约束条件、线性约束条件、目标函数、线性目标函数、线性规划,可行解,最优解。
要点:
①作图必须准确(建议稍画大一点)。
②线性约束条件必须考虑完整。
③先找可行域再找最优解。
四、园的方程
1、园的方程:
①标准方程,c(a、b)为园心,r为半径。
②一般方程:
,
,
当时,表示一个点。
当时,不表示任何图形。
③参数方程:
为参数
以A(X1,Y1),B(X2,Y2)为直径的两端点的园的方程是
(X-X1)(X-X2)+(Y-Y1)(Y-Y2)=0
2、点与园的位置关系:
考察点到园心距离d,然后与r比较大小。
3、直线和园的位置关系:
相交、相切、相离
判定:
①联立方程组,消去一个未知量,得到一个一元二次方程:
△>0相交、△=0相切、△<0相离
②利用园心c(a、b)到直线AX+BY+C=0的距离d来确定:
d<r相交、d=r相切d>r相离
(直线与园相交,注意半径、弦心距、半弦长所组成的kt△)
4、园的切线:
(1)过园上一点的切线方程
与园相切于点(x1、y1)的切线方程是
与园相切于点(x1、y1)的切成方程
为:
与园相切于点(x1、y1)的切线是
(2)过园外一点切线方程的求法:
已知:
p0(x0,y0)是园外一点
①设切点是p1(x1、y1)解方程组
先求出p1的坐标,再写切线的方程
②设切线是即
再由,求出k,再写出方程。
(当k值唯一时,应结合图形、考察是否有垂直于x轴的切线)
③已知斜率的切线方程:
设(b待定),利用园心到L距离为r,确定b。
5、园与园的位置关系
由园心距进行判断、相交、相离(外离、内含)、相切(外切、内切)
6、园系
①同心园系:
,(a、b为常数,r为参数)
或:
(D、E为常数,F为参数)
②园心在x轴:
③园心在y轴:
④过原点的园系方程
⑤过两园和
的交点的园系方程为
(不含C2),其中入为参数
若C1与C2相交,则两方程相减所得一次方程就是公共弦所在直线方程。
5
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