南京航空航天大学结构力学课后习题答案第6章.docx
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南京航空航天大学结构力学课后习题答案第6章
6-1题6—1图所示平面桁架,各杆Ef相同,求在载荷
解:
(1)解除约束:
系统静不定度为K=1,故解除1-2杆的约束,代之以约束力X1,如图6-1a所示。
(2)内力分析:
求<
>状态下的内力Np、单位状态<<1>>下的内力N1,内力分别如图6-1b,6-1c所示。
(3)求典型方程中的影响系数S11和载荷系数△1P
P作用下桁架各杆的内力。
、T1=
N;li
Ef
Y2)Ef
SJe-ia
N1Npli
Efi
1Pd
2Ef
(4)求解多余约束力Xi:
由典型方程•3p
=0解得:
X1
—-■:
1P/•:
;11
Pd2Ef
2Ef(32.2)d
=(3-2、.2)P:
0.172P
(5)用叠加原理N=NP•N1X1求出各杆的内力
N12=(3-2:
2)P;N13二N25=(2-2)P;
r~f—
N14二N24=(2—2.2)P;N34=N452-1)P
图6]c
mfi-lrl
p
6-2题6-2图所示平面桁架,杆长AD=DC=BC=1m,AC杆和
BD杆的截面积Aac=ABD=200mm,Aad=Adc=ABC=150mm,各杆材料均相同,E=200KN/mm2,当C点受垂直载荷P=100KN
作用时,求该结构各杆的内力。
解:
(1)解除约束:
系统静不定度为K=1,故解除CD杆的约束,
代之以约束力X1,如图6-2a所示。
(2)内力分析:
求<
>状态下的内力Np、单位状态<<1>>下的内力口,内力分别如图6-2b,6-2c所示。
(3)
(5)
求典型方程中的影响系数Sii和载荷系数△ip
433
80
:
0.1150
NiNpli
EfT
43-9
480
(4)求解多余约束力Xi:
由典型方程rip
Xi=—■:
ip/-ii
=0解得:
480p
80
43.3
用叠加原理求出各杆的内力:
72-433
66
P3.755
=NpNiXi
Nc_d=3.755KN
如图6-2d所示。
6-3题6-3图所示为固定在水平面上的刚架结构,在点3有垂直拉杆支持,设刚架构件弯曲
刚度EI=i000Ncm2,扭转刚度GJ=800Ncm2,垂直拉杆3-4的抗拉刚度为EA=iON,求图示载荷作用下拉杆的轴力和刚架构件i-2、2-3的弯矩和扭矩(作内力图)。
解:
(i)解除约束:
系统静不定度为K=i,故解除3-4杆的约束,
代之以约束力Xi,如图6-3a所示。
(2)内力分析:
图6-3
求<
>状态下的内力Np,如图6-3b所示:
n34=0Mt=-2p(g-Z)
mZ12=2P(I12—X)mP12=-2Pl23
单位状态<<1>>下的内力N1,如图6-3c所示:
N34=1M;23=(123
11
MZ12=-(l12-X)MX12=l23
Li3
图6-3c
(3)求典型方程中的影响系数
S11和载荷系数△1P
M12ds
EJ
+〒『MMsJGJp
叫)I34
EA34
l23
EA343EJ
1
l23(MX23
Fz
EJ
b(M;12)2dx
-l12
1
(MX12
)2dx
EJ
32
I12I/23400603
十=r
3100031000
+
3EJ3GJr10
603
+心0=760
800
—叽:
M"MPds
-M1kMPkds
EAi
EJ
GJ.:
■
EA34
1P
l23MX23MX23dz.
EJ
1P1P
l12MZ12MZ12dxl12MX12M
EJ
X12MZ12dx
GJ.:
■
l3
=_2P(』
3EJ
li2
+
3EJ
)「2P(注+注
3GJ,3100031000
l』23
60290、
+)=-1440P
800
图6-3d
(4)求解多余约束力Xi:
由典型方程Xr-1^^1P=0解得:
X"--卄/仆=1440P/760:
1.895P
(5)用叠加原理求出各杆的内力,
N=NPNX
N34=Xi=1.895P
Mx23(2P-Xi)(G-Z)一0.105P(G-Z)
Mz12=(2P—XJ(l12—X)=0.105P(l12—X)M:
12=「0.105Pl23
6-4
为常数。
解:
如图6-3d所示。
用力法求解题6-4图所示静不定刚架的内力(作弯矩图),元件剖面的抗弯刚度EI
因为对称系统在对称载荷作用下,对称面内仅有对称内力。
所以如图6-4a:
取四分
之一刚架,由平衡条件可得:
PPl
X2;X^X1;X4=0
24
即系统为一度静不定系统。
作<
>和<<1>>状态下的弯矩如图
¥丄l=2—=丄
M;ds
EIEIEI
M1MPds
El
Pxdx
2
E
6-4b所示:
图6-4
PI
16EI
—p=「1='
图6-4b
由典型方程•U1P=0解得:
Pl2EI
16EIl
Pl
16
由叠加原理求弯矩如图6-4c所示。
题6-5图所示为半径为
在载荷P作用下求剖面内力。
R的刚性圆环,剖面弯曲刚度为EI,
解:
整体为研究对象,地面支反力为P,竖直向上。
如图6-5a,
以水平和竖直为对称轴,在对称载荷P下,对称面仅有对称内
力,并考虑力和弯矩的平衡可知系统静不定度为
K=1,代之以约
M1=1
Mp=pR(1_cos旳
则得:
:
R
2EI
EI
PR(1一cos,)Rdd
EI
兀2
(-1)PR2
2
2EI
P.'J
―A|I一f
PR-
粧阳M..■[i-
■Z£*
图6-5b
图6-c
图6-6a
由Xrw*p=0得:
X1=」1p/、:
11=一(孑—1)PR故内可由叠加原理求得:
P
X厂o;Yj-2
P3兀cos日
MR(1-cos旳X1=()PR
2222
弯矩如图6-5c所示。
6-6题6-6图所示为固定起落架的机身隔框的计算模型,它受由
起落架传来的集中弯矩m和机身蒙皮的平衡剪流qm-的作用,求
2兀R2框剖面内力(绘出弯矩图)。
设框剖面EI为常数。
解:
如图6-6a在对称面上切开,利用对称性,简化为一度静不定系统。
作<
>和<<1>>状态下的弯矩图如图6-6b所示。
;Mp=qR2(®—sin®)(0兰®兰兀)
M1=Rsin®(0兰® 由典型方程Xin•.*p=0解得: 弯矩图如图6-6c所示。 图6-7 由叠加原理可知,弯矩M为: 2 M二MpX1M1二qR(「-2sin)(0空「二) 6-7题6-7图所示为一圆形机身隔框,在集中力P作用下, p 机身蒙皮对隔框的支反剪流为qsin•'。 框剖面El为常数, 兀R 求框剖面的内力,作弯矩图。 解: 如图6-7a所示,沿对称面切开,利用对称性可知,系统静 不定度为2。 求< >、<<1>>和<<2>>状态下的弯矩, PSin二R2(1-cos(: -旳加 0^R PR,sin「 ---(1-cos) 兀2 =R(1-cos: ) 图6-7a 图6-7b 图 2^ (b) X2 2R EP2『EI 如图6-8a-3所示。 如图6-8b-1在对称面切开,利用对称性,取四分之一隔框。 由平衡条件可知: 1 -X1;X3=—m+X1R,系统简化为一度静不定。 2 求< >和<<1>>状态的弯矩图如图6-8b-2所示。 a/2 I 由典型方程Xim•角p=0解得: 2 Mikds 6-10题6-10所示的刚架处于水平面位置,在3点受垂直载荷P作用,求内力。 构件 剖面的弯曲刚度为EI,扭转刚度为GJ。 解: (1)解除约束: 系统静不定度为K=6,故解除节点2处的约束,代之以约束力X、Y、Z、Mx、My,Mz (2)内力分析: M: 34=P(a-Z) 单位状态<<1>>下的内力Ni,如图6-10b所示: MY24=(2a—Z) YY Mzi2二—(2a-x)M_(2a-Z) MY12--(2a-x) MxMx MX12=-1MX24-1 MY12--1MY24=1 MZM2二「1MM2;=1 (3) 求典型方程中的影响系数 Sj和载荷系数△ iP 「•ii Mi2ds M: ds 「•ij =0..ji ■"■UP =Z 8a -'11 -'21 -'31 EJ 3EI =0; =0; =0; : GJ MiMjds EJ MiMpds EJ -'22 -'32 2a2 EI -'12 16a 3EI 2a EI -'13 MikMjkds GJ =0; MikMPkds =0; -'14 =0; 15 2a EI ;"16 「52=0; 2a EI '23=0; 「24 2a2 EI 、: 25=0;〔26 2a2 EI 8a 3EI 、: 43 「53 "'63 34 =0; 35 =0; 2a2 EI "44 「54 EI =0; =0; 「64 =0; 2a2 EI 2a GJ 「65 =0; 4a EI 36 =0 =0; : i46 56 =0 2a 2a EI GJ A B P 点作用有集中力P、框缘作用有分布剪流q)。 兀R 解: 由对称系统在反对称载荷下仅有反对称内力可知,对称面上仅有剪力X1、X2,如图6-11a所示。 由 6-11题6—11图为等剖面圆形刚架,半径为弯曲刚度为EI,求图示载荷作用下剖面的弯矩( R,剖面 图6-11 卩 5a3a2 -1P=0;=2P=-P6EI;=3P=0;=4P=P2EI;=5P=0;=6P=0 (4)求解多余约束力X,Y,乙MX,My,Mz: 6 由典型方程7Xjjr: iP=0(i=1,2,...,6)解得: j4 水平和竖直方向的力平衡方程可知: Xi=02qcosTRd日=qR pP- X22qcosrRd二一qR= (1)qR 2022 (2)内力分析: .■-Z2: : .2 M一= (1)qRRsin: -qqR(1一cos(: -v))dv-()qRsin: - 弯矩图如图6-11b所示。 6-12利用对称条件求题6-12图所示桁架结构的 内力。 各杆面积如图所示。 解: 系统为对称系统,在反对称载荷P作用下,对称面上仅有反对称内力,又因为13为二力杆, 故N13=0;系统简化为静定系统如图6-12a所示, N12cos45°+N14cos45"=0 P+N14cos45°-N12cos45"=0 解得: 2 P; 2 综上所述: <242 N”2P;NHN—2P 6—13题6—13图所示为一半圆环并处于垂直平面位置,其比重为? N/cm(单位长度上的重量),试利用对称性求半圆环在自重作用下的弯矩。 解: 由对称系统在反对称载荷作用下仅有反对称内力可知, 对称面上仅有剪力X1存在,如图6-13a所示。 对A点取矩,由M=0得: 图6-9b 图6-12a 图6—12 图6-13图6-13a XiR二 2JR2cos如-氓2二X1=JR 2 -cos: )dv-「'Rcos: 二 qN/ClU rt 图6-14 故弯矩M一.为 M一=氓2sin: ;i': R2(cosv 如图所示6-13b。 6-14题6—14图所示为平面刚架结构,剖面弯曲刚度为EI,利用对称性求结构的内力,作内力图(弯矩图、轴力图和剪力图)。 解: 由对称系统在反对称载荷作用下仅有反对称内 力可知,对称面上仅有剪力X1存在,如图6-14a所示。 对A点取矩,由 M=0得: a X1^=0qxdx X1 qa 2 作内力图如图6-14b所示。 Xi qN/cm 图6-14a qs/2 ER qa/2 軸力图 qa/2 剪力图 图6-14b a,剖面弯曲qN/cm作用下的 6—15题6—15图所示为直角等边的角形刚架,处于水平面位置。 其边长为刚度为EI,扭转刚度为GJ,并有关系式GJ=EI。 求在均匀分布垂直载荷内力(弯矩和扭矩)。 解: 因为对称系统在对称载荷作用下,对称面内仅有对称内力。 在A点处切开,系统静不 定度为4。 如图6-15a所示。 分别作出< >、<<1>>、<<2>>、<<3>>和<<4>>状态的内力图如图6-15b所示。 求解影响系数如下: 12Mpqxp2 -■11 '■21 a3 3EI 2a2; 一■; 2EI .: 冷3=°;■■14=°; 、、2a2; —> 2EI 2a El °; <31=°; ■: 『32=°;■: 『33 空;「34=°; El 、: 41=°; -■42=0;43=0; 2a 44 El 1P =°;2P=°;3P 3 qa 3 qa 6EI 6E「 代入典型方程中可解得: 22 X-°;X-°;X-12;X-12 4P 图6-16b 于是由叠加原理可求出结构内力,弯矩图扭矩图如图 6-16有一圆环垂直支持在地面上,如题6-16图所示。 设线密度pN/cm(单位长度上的重量),剖面面积为f,弯,曲刚度为EI半径为R。 求环在自重作用下的内力。 解: 如图6-16a所示,在对称面切开,利用对称性系 统简化为2度静不定系统。 求< >、<<1>>和<<2>>状态下的弯矩如图6-16b所示: 22二 Mp=°JRsin^dJ-「R(1—cos: )(°_: _-) MP-;? R2sinrdv-_】R2(sin-sin-: >)d^ =很2(13cos: ): : R2sin: (2;;、一M)() 2 M1=R(1-cos: ) M2=-1 求影响系数得: 列力图 —+5)卅'tina 6-17 题6—17图为平面薄壁结构,已知载荷P=10000N,各杆图6-1 长a=20cm,各杆截面均为f=0.5cm2,板厚为t=0.13cm,弹性模数—E=7X106N/cm2,且有关系式E/G=2.6。 求结构的内力和节点2的 垂直位移。 解: 如图切开3-4杆,求< >和<<1>>状态的内力 如图6-17a所示: 求影响系数: 其中Ef=10Gt 图6-17 -11=7 J Ef q;F8a222 "GT3Ef3Gt N1NPl Ef qgpF Gt 5PaP6 2EfG^Gt 代入典型方程X1r「.;1P=0解得: Xj=-Sp/'F9P=8181.82N 11 由叠加原理求内力N=NP+X1N1,如图6-17b所示。 6-18试求题6-18图所示各平面薄壁结构的内力图。 各杆截面面积均为f,板厚为t, 杆长均为a,材料弹性常数为E、G。 (1)题6—18(a)(b)图中,有关系式Gta/Ef=1。 (2)题6—18(c)(d)图中,P=10000N,f=1cm2,a=100cm,t=0.1cm,E/G=2.6。 解: (1)(a).如图切开5-8杆,求< >和<<1>>状态的内力如图6-18a-1所示: 求影响系数: 其中Ef二Gta 券一I左 S6-18a-2 i/2 VJ-U*-2 '■11-' N: l、、.q: F_2a1_3EfGt-EfGCGt --1P='' N^pI、.q^FPaP EfGt一2Ef一2Gt 代入典型方程X仁仆: 二1P=0解得: .1 X11-“p/「IP 6 由叠加原理求内力N=Np•X1N1,如图6-18a-2所示。 (b).如图切开1-2杆,求< >和<<1>>状态的内力如图6-18b-1所示: 求影响系数: 其中Ef=Gta -'■ii='' N: l Ef q2F 8a 12 -ip=' N1NPl Ef Gt Ef Gt Gt +Z qgpF 15Pa 21P Gt 6Ef Gt 6Gt 代入典型方程X1「1•厶仲=0解得: X1=—•: : 1p/■、11P 11P1124 由叠加原理求内力N=NPX1N1,如图6-18a-2所示。 (2)(c).如图切开5-8杆的,求< >、<<1>>和<<2>>状态的内力如图6-18C-1所示: 求影响系数: 1IH0W iocoon丽罚茂 图618C2 P 3: 3 图618C1 1 ■: >11=' -22二7 22 Nil、qiF2a1 ~Ef"GT_EfGt 22 N2I、.q2F2a1 EfGt3Ef2Gt 代入典型方程 "宀屈宀"°解得: X1”21+X2°22+心2P=0 取1=1135N X2=304N 由叠加原理求内力N=NpX1N1X2N2,如图6-18c-2所示。 (d).如图切开5-8杆的,求< >、<<1>>和<<2>>状态的内力如图6-18d-1所示: 求影响系数: 图6-18d-1 =E N;l q: F 2a 1 +Z —— + Ef Gt Ef Gt =Z N;l q;F 2a 1 Ef Gt Ef Gt ='21 =11 N1 N2I - qqF N1NPl qgpF '■12 •: ;22 5a 12Ef 1 2Gt Ef 3Pa Gt 2Ef Gt N2NPI Ef q2qpF 2Pa 代入典型方程 Gt 3Ef +X2612+A1P X1》21+X2》22+^2P 0解得: =0 ■^X^-9029N 、X2=-5134N 由叠加原理求内力N=NPX1N1X2N2,如图6-18d-2所示。
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