第12章《全等三角形》人教版八年级上册解答题压轴题能力提升专练2份解析版.docx
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第12章《全等三角形》人教版八年级上册解答题压轴题能力提升专练2份解析版.docx
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第12章《全等三角形》人教版八年级上册解答题压轴题能力提升专练2份解析版
人教版八年级上册《全等三角形》解答题压轴题能力提升专练
全等三角形的性质和判定
1.全等三角形的性质:
全等三角形的对应边相等;全等三角形的对应角相等。
2.判断两个三角形全等常用的方法如下表:
已知条件
可选择判定方法
寻找条件
两边对应相等(SS)
SSS或SAS
第三边或两边的夹角对应相等
一边及其邻角对应相等(SA)
SAS、ASA
已知角的另一边对应相等或已知边的另一邻角对应相等
一边及其对角对应相等(SA)
AAS
另一个角对应相等
两角对应相等(AA)
ASA、AAS
两角的夹边或其中一角的对边对应相等
经典题型专练
1.已知:
在△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,点D是AB的中点,点E是AB边上一点.
(1)直线BF垂直于直线CE于点F,交CD于点G(如图1),求证:
AE=CG;
(2)直线AH垂直于直线CE,垂足为点H,交CD的延长线于点M(如图2),找出图中与BE相等的线段,并证明.
2.如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AC=2AB,点D是AC的中点.将一块锐角为45°的直角三角板如图放置,使三角板斜边的两个端点分别与A、D重合,连接BE、EC.
试猜想线段BE和EC的数量及位置关系,并证明你的猜想.
3.如图,△ACD和△BCE都是等腰直角三角形,∠ACD=∠BCE=90°,AE交CD于点F,BD分别交CE、AE于点G、H.试猜测线段AE和BD的数量和位置关系,并说明理由.
4.课外兴趣小组活动时,许老师出示了如下问题:
如图1,己知四边形ABCD中,AC平分∠DAB,∠DAB=60°,∠B与∠D互补,求证:
AB+AD=
AC.小敏反复探索,不得其解.她想,若将四边形ABCD特殊化,看如何解决该问题.
(1)特殊情况入手添加条件:
“∠B=∠D”,如图2,可证AB+AD=
AC;(请你完成此证明)
(2)解决原来问题受到
(1)的启发,在原问题中,添加辅助线:
如图3,过C点分别作AB、AD的垂线,垂足分别为E、F.(请你补全证明)
5.如图,△ABC中,AD⊥BC于D,点E在AD上,△ADC和△BDE是等腰三角形,EC=5cm,求AB的长.
6.CD经过∠BCA顶点C的一条直线,CA=CB.E,F分别是直线CD上两点,且∠BEC=∠CFA=∠α.
(1)若直线CD经过∠BCA的内部,且E,F在射线CD上,请解决下面两个问题:
①如图1,若∠BCA=90°,∠α=90°,
则BE CF;EF |BE﹣AF|(填“>”,“<”或“=”);
②如图2,若0°<∠BCA<180°,请添加一个关于∠α与∠BCA关系的条件 ,使①中的两个结论仍然成立,并证明两个结论成立.
(2)如图3,若直线CD经过∠BCA的外部,∠α=∠BCA,请提出EF,BE,AF三条线段数量关系的合理猜想(不要求证明).
7.在△ABC中,∠ACB=2∠B,如图①,当∠C=90°,AD为∠ABC的角平分线时,在AB上截取AE=AC,连接DE,易证AB=AC+CD.
(1)如图②,当∠C≠90°,AD为∠BAC的角平分线时,线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系?
不需要证明,请直接写出你的猜想:
(2)如图③,当AD为△ABC的外角平分线时,线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系?
请写出你的猜想,并对你的猜想给予证明.
8.如图,在锐角△ABC中,AB=4
,∠BAC=45°,∠BAC的平分线交BC于点D,M、N分别是AD和AB上的动点,求BM+MN的最小值.
9.如图,在△ABC中,AB≠AC,∠BAC的外角平分线交直线BC于D,过D作DE⊥AB,DF⊥AC分别交直线AB,AC于E,F,连接EF.
(1)求证:
EF⊥AD;
(2)若DE∥AC,且DE=1,求AD的长.
10.如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,E为CD的中点,连接AE、BE,BE⊥AE,延长AE交BC的延长线于点F.
求证:
(1)FC=AD;
(2)AB=BC+AD.
11.如图,已知点D为等腰直角△ABC内一点,∠CAD=∠CBD=15°,E为AD延长线上的一点,且CE=CA.
(1)求证:
DE平分∠BDC;
(2)若点M在DE上,且DC=DM,求证:
ME=BD.
12.图1、图2中,点C为线段AB上一点,△ACM与△CBN都是等边三角形.
(1)如图1,线段AN与线段BM是否相等?
证明你的结论;
(2)如图2,AN与MC交于点E,BM与CN交于点F,探究△CEF的形状,并证明你的结论.
人教版八年级上册《全等三角形》解答题压轴题能力提升专练
(答案版)
全等三角形的性质和判定
1.全等三角形的性质:
全等三角形的对应边相等;全等三角形的对应角相等。
2.判断两个三角形全等常用的方法如下表:
已知条件
可选择判定方法
寻找条件
两边对应相等(SS)
SSS或SAS
第三边或两边的夹角对应相等
一边及其邻角对应相等(SA)
SAS、ASA
已知角的另一边对应相等或已知边的另一邻角对应相等
一边及其对角对应相等(SA)
AAS
另一个角对应相等
两角对应相等(AA)
ASA、AAS
两角的夹边或其中一角的对边对应相等
经典题型专练
1.已知:
在△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,点D是AB的中点,点E是AB边上一点.
(1)直线BF垂直于直线CE于点F,交CD于点G(如图1),求证:
AE=CG;
(2)直线AH垂直于直线CE,垂足为点H,交CD的延长线于点M(如图2),找出图中与BE相等的线段,并证明.
解:
(1)证明:
∵点D是AB中点,AC=BC,∠ACB=90°,
∴CD⊥AB,∠ACD=∠BCD=45°,
∴∠CAD=∠CBD=45°,
∴∠CAE=∠BCG,又BF⊥CE,
∴∠CBG+∠BCF=90°,又∠ACE+∠BCF=90°,
∴∠ACE=∠CBG,
∴△AEC≌△CGB,
∴AE=CG,
(2)BE=CM,
证明:
∵CH⊥HM,CD⊥ED,
∴∠CMA+∠MCH=90°,∠BEC+∠MCH=90°,
∴∠CMA=∠BEC,
又∵AC=BC,∠ACM=∠CBE=45°,
∴△BCE≌△CAM,
∴BE=CM.
2.如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AC=2AB,点D是AC的中点.将一块锐角为45°的直角三角板如图放置,使三角板斜边的两个端点分别与A、D重合,连接BE、EC.
试猜想线段BE和EC的数量及位置关系,并证明你的猜想.
证明:
∵△AED是直角三角形,∠AED=90°,且有一个锐角是45°,
∴∠EAD=∠EDA=45°,
∴AE=DE,
∵∠BAC=90°,
∴∠EAB=∠EAD+∠BAC=90°+45°=135°,
∠EDC=∠ADC﹣∠EDA=180°﹣45°=135°,
∴∠EAB=∠EDC,
∵D是AC的中点,
∴AD=
AC,
∵AC=2AB,
∴AB=AD=DC,
∴△EAB≌△EDC,
∴EB=EC,且∠AEB=∠DEC,
∴∠BEC=∠DEC+∠BED=∠AEB+∠BED=∠AED=90°,
∴BE⊥EC.
3.如图,△ACD和△BCE都是等腰直角三角形,∠ACD=∠BCE=90°,AE交CD于点F,BD分别交CE、AE于点G、H.试猜测线段AE和BD的数量和位置关系,并说明理由.
解:
猜测AE=BD,AE⊥BD;
理由如下:
∵∠ACD=∠BCE=90°,
∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE,即∠ACE=∠
DCB,
∵△ACD和△BCE都是等腰直角三角形,
∴AC=CD,CE=CB,
∴△ACE≌△DCB(SAS),
∴AE=BD,∠CAE=∠CDB;
∵∠AFC=∠DFH,又∠FAC+∠AFC=90°,
∴∠DHF=∠ACD=90°,
∴AE⊥BD.
故线段AE和BD的数量相等,位置是垂直关系.
4.课外兴趣小组活动时,许老师出示了如下问题:
如图1,己知四边形ABCD中,AC平分∠DAB,∠DAB=60°,∠B与∠D互补,求证:
AB+AD=
AC.小敏反复探索,不得其解.她想,若将四边形ABCD特殊化,看如何解决该问题.
(1)特殊情况入手添加条件:
“∠B=∠D”,如图2,可证AB+AD=
AC;(请你完成此证明)
(2)解决原来问题受到
(1)的启发,在原问题中,添加辅助线:
如图3,过C点分别作AB、AD的垂线,垂足分别为E、F.(请你补全证明)
证明:
(1)∠B=∠D=90°,
∠CAD=∠CAB=30°,
∴AB=
AC,AD=
.
∴AB+AD=
.
(2)由
(1)知,AE+AF=
AC,
∵AC为角平分线,CF⊥CD,CE⊥AB,
∴CE=CF.
而∠ABC与∠D互补,
∠ABC与∠CBE也互补,
∴∠D=∠CBE.
∴Rt△CDF≌Rt△CBE.
∴DF=BE.
∴AB+AD=AB+(AF+FD)=(AB+BE)+AF=AE+AF=
AC.
5.如图,△ABC中,AD⊥BC于D,点E在AD上,△ADC和△BDE是等腰三角形,EC=5cm,求AB的长.
解:
∵△ADC和△BDE是等腰三角形且AD⊥BC
∴△ADC和△BDE均为等腰直角三角形
∴AD=DC,BD=ED
∴Rt△ADB≌Rt△CDE(HL)
∴AB=CE=5cm
6.CD经过∠BCA顶点C的一条直线,CA=CB.E,F分别是直线CD上两点,且∠BEC=∠CFA=∠α.
(1)若直线CD经过∠BCA的内部,且E,F在射线CD上,请解决下面两个问题:
①如图1,若∠BCA=90°,∠α=90°,
则BE CF;EF |BE﹣AF|(填“>”,“<”或“=”);
②如图2,若0°<∠BCA<180°,请添加一个关于∠α与∠BCA关系的条件 ,使①中的两个结论仍然成立,并证明两个结论成立.
(2)如图3,若直线CD经过∠BCA的外部,∠α=∠BCA,请提出EF,BE,AF三条线段数量关系的合理猜想(不要求证明).
解:
(1)①∵∠BCA=90°,∠α=90°,
∴∠BCE+∠CBE=90°,∠BCE+∠ACF=90°,
∴∠CBE=∠ACF,
∵CA=CB,∠BEC=∠CFA;
∴△BCE≌△CAF,
∴BE=CF;EF=|BE﹣AF|.
②所填的条件是:
∠α+∠BCA=180°.
证明:
在△BCE中,∠CBE+∠BCE=180°﹣∠BEC=180°﹣∠α.
∵∠BCA=180°﹣∠α,
∴∠CBE+∠BCE=∠BCA.
又∵∠ACF+∠BCE=∠BCA,
∴∠CBE=∠ACF,
又∵BC=CA,∠BEC=∠CFA,
∴△BCE≌△CAF(AAS)
∴BE=CF,CE=AF,
又∵EF=CF﹣CE,
∴EF=|BE﹣AF|.
(2)EF=BE+AF.
7.在△ABC中,∠ACB=2∠B,如图①,当∠C=90°,AD为∠ABC的角平分线时,在AB上截取AE=AC,连接DE,易证AB=AC+CD.
(1)如图②,当∠C≠90°,AD为∠BAC的角平分线时,线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系?
不需要证明,请直接写出你的猜想:
(2)如图③,当AD为△ABC的外角平分线时,线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系?
请写出你的猜想,并对你的猜想给予证明.
解:
(1)猜想:
AB=AC+CD.
证明:
如图②,在AB上截取AE=AC,连接DE,
∵AD为△ABC的角平分线时,
∴∠BAD=∠CAD,
∵AD=AD,
∴△ADE≌△ADC(SAS),
∴∠AED=∠C,ED=CD,
∵∠ACB=2∠B,
∴∠AED=2∠B,
∴∠B=∠EDB,
∴EB=ED,
∴EB=CD,
∴AB=AE+DE=AC+CD.
(2)猜想:
AB+AC=CD.
证明:
在BA的延长线上截取AE=AC,连接ED.
∵AD平分∠FAC,
∴∠EAD=∠CAD.
在△EAD与△CAD中,AE=AC,∠EAD=∠CAD,AD=AD,
∴△EAD≌△CAD.
∴ED=CD,∠AED=∠ACD.
∴∠FED=∠ACB.
又∠ACB=2∠B,∠FED=∠B+∠EDB,∠EDB=∠B.
∴EB=ED.
∴EA+AB=EB=ED=CD.
∴AC+AB=CD.
8.如图,在锐角△ABC中,AB=4
,∠BAC=45°,∠BAC的平分线交BC于点D,M、N分别是AD和AB上的动点,求BM+MN的最小值.
解:
如图,在AC上截取AE=AN,连接BE.
∵∠BAC的平分线交BC于点D,
∴∠EAM=∠NAM,
在△AME与△AMN中,
,
∴△AME≌△AMN(SAS),
∴ME=MN.
∴BM+MN=BM+ME≥BE.
∵BM+MN有最小值.
当BE是点B到直线AC的距离时,BE⊥AC,
又AB=4
,∠BAC=45°,此时,△ABE为等腰直角三角形,
∴BE=4,
即BE取最小值为4,
∴BM+MN的最小值是4.
9.如图,在△ABC中,AB≠AC,∠BAC的外角平分线交直线BC于D,过D作DE⊥AB,DF⊥AC分别交直线AB,AC于E,F,连接EF.
(1)求证:
EF⊥AD;
(2)若DE∥AC,且DE=1,求AD的长.
证明:
(1)∵AD是∠EAF的平分线,∴∠EAD=∠DAF.
∵DE⊥AE,DF⊥AF,∴∠DEA=∠DFA=90°
又AD=AD,∴△DEA≌△DFA.∴EA=FA
∵ED=FD,∴AD是EF的垂直平分线.
即AD⊥EF.
(2)∵DE∥AC,∴∠DEA=∠FAE=90°.
又∠DFA=90°,∴四边形EAFD是矩形.
由
(1)得EA=FA,∴四边形EAFD是正方形.
∵DE=1,∴AD=
.
10.如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,E为CD的中点,连接AE、BE,BE⊥AE,延长AE交BC的延长线于点F.
求证:
(1)FC=AD;
(2)AB=BC+AD.
解:
(1)∵AD∥BC(已知),
∴∠ADC=∠ECF(两直线平行,内错角相等),
∵E是CD的中点(已知),
∴DE=EC(中点的定义).
∵在△ADE与△FCE中,∠ADC=∠ECF,DE=EF,∠AED=∠CEF,
∴△ADE≌△FCE(ASA),
∴FC=AD(全等三角形的性质).
(2)证明:
∵△ADE≌△FCE,
∴AE=EF,AD=CF(全等三角形的对应边相等),
∴BE是线段AF的垂直平分线,
∴AB=BF=BC+CF,
∵AD=CF(已证),
∴AB=BC+AD(等量代换).
11.如图,已知点D为等腰直角△ABC内一点,∠CAD=∠CBD=15°,E为AD延长线上的一点,且CE=CA.
(1)求证:
DE平分∠BDC;
(2)若点M在DE上,且DC=DM,求证:
ME=BD.
证明:
(1)∵△ABC是等腰直角三角形,∴∠BAC=∠ABC=45°,
∵∠CAD=∠CBD=15°,
∴∠BAD=∠ABD=45°﹣15°=30°,
∴BD=AD.
在△BDC与△ADC中,
,
∴△BDC≌△ADC,
∴∠DCB=∠DCA,
又∵∠DCB+∠DCA=90°,
∴∠DCB=∠DCA=45°.
由∠BDM=∠ABD+∠BAD=30°+30°=60°,
∠EDC=∠DAC+∠DCA=15°+45°=60°,
∴∠BDM=∠EDC,
∴DE平分∠BDC;
(2)如图,连接MC.
∵DC=DM,且∠MDC=60°,
∴△MDC是等边三角形,即CM=CD.
又∵∠EMC=180°﹣∠DMC=180°﹣60°=120°,
∠ADC=180°﹣∠MDC=180°﹣60°=120°,
∴∠EMC=∠ADC.
又∵CE=CA,
∴∠DAC=∠CEM.
在△ADC与△EMC中,
,
∴△ADC≌△EMC,
∴ME=AD=DB.
12.图1、图2中,点C为线段AB上一点,△ACM与△CBN都是等边三角形.
(1)如图1,线段AN与线段BM是否相等?
证明你的结论;
(2)如图2,AN与MC交于点E,BM与CN交于点F,探究△CEF的形状,并证明你的结论.
解:
(1)∵△ACM与△CBN都是等边三角形,
∴AC=MC,CN=CB,∠ACM=∠BCN=60°.
∴∠MCN=60°,∠ACN=∠MCB.
∴△ACN≌△MCB.
∴AN=BM.
(2)∵△ACN≌△MCB,
∴∠CAE=∠CMB.
∵∠MCN=60°=∠ACM,AC=MC,
∴△ACE≌△MCF.
∴CE=CF.
∴△CEF的形状是等边三角形.
人教版八年级数学上册《全等三角形》解答题能力提升
靶向专练
一.SSS型全等
1.如图,AB=AC,DB=DC,EB=EC.
(1)图中有几对全等三角形?
请一一写出来.
(2)选择
(1)中的一对全等三角形加以证明.
2.如图,已知AB=CD,AC=BD,求证:
∠A=∠D.
3.根据图中尺规作图的痕迹,先判断得出结论,然后证明你的结论(不要求写已知、求证).
4.如图,在△ABC中,AB=AC,点D是BC中点.
(1)求证:
△ABD≌△ACD;
(2)判断AD与BC的位置关系,并说明理由.
5.已知:
如图,AB=AC,AD=AE,BD=CE.试说明∠BAC=∠DAE.
6.已知,如图
(1),点A,C,F,D在同一直线上,AF=DC,AB=DE,BC=EF.
(1)试说明AB∥ED,BC∥EF的理由.
(2)把图中的△DEF沿直线AD平移到四个不同位置,如图
(2),(3),(4),(5),仍有上面的结论吗?
二.SAS型全等
1.如图,点D是△ABC的边AB上一点,DF交AC于点E,DE=FE,FC∥AB,那么AE=CE吗?
2.如图,在△ABC中,AB=AC,作AD⊥AB交BC的延长线于点D,作AE∥BD,CE⊥AC,且AE,CE相交于点E,求证:
AD=CE.
3.如图,点C,E,F,B在同一直线上,点A,D在BC异侧,AB∥CD,AE=DF,∠A=∠D.
(1)求证:
AB=CD.
(2)若AB=CF,∠B=30°,求∠D的度数.
4.如图,在△ABC中,∠C=90°,点D是AB边上的一点,DM⊥AB,且DM=AC,过点M作ME∥BC交AB于点E.试说明△ABC≌△MED.
5.如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,点D在边AB上,使DB=BC,过点D作EF⊥AC,分别交AC于点E,CB的延长线于点F.
求证:
AB=BF.
6.如图,分别过点C,B作△ABC的边BC上的中线AD及其延长线的垂线,垂足分别为E,F.求证:
BF=CE.
7.在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,直线MN经过点C,且AD⊥MN于D,BE⊥MN于E,试说明:
DE=AD+BE.
三.ASA和AAS型全等
1.已知:
如图,AB∥CD,点E是AB的中点,CE=DE.
求证:
(1)∠AEC=∠BED.
(2)AC=BD.
2.如图所示,在某市郊的空旷平地上有一个较大的土丘,经分析判断很可能是一座王储陵墓,请你应用所学的知识设计一种方案,能用尺量出不能到达的A,B两点的距离.(只要求说明设计方案和这种方案设计的根据,并画出草图,不要求数据计算).
3.在△ABC中,AB=5,AC=3,AD是BC边上的中线,求AD的取值范围.
【解析】如图,延长AD至点E使DE=AD,连接CE,因为AD是BC边上的中线,所以BD=CD,
4.如图,点E,F是四边形ABCD的对角线BD上的两点,AE∥CF,AE=CF,BE=DF.
求证:
△ADE≌△CBF.
5.如图所示,在有公共顶点的△ABC和△ADE中,AB=AC,AD=AE,且∠CAB=∠EAD.
6.如图,在四边形ABCD中,∠A=∠BCD=90°,BC=DC,延长AD到E点,使DE=AB.
(1)求证:
∠ABC=∠EDC.
(2)求证:
△ABC≌△EDC.
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靶向专练(解析版)
一.SSS型全等
1.如图,AB=AC,DB=DC,EB=EC.
(1)图中有几对全等三角形?
请一一写出来.
(2)选择
(1)中的一对全等三角形加以证明.
【解析】
(1)3对.△ABD≌△ACD,△ABE≌△ACE,
△DBE≌△DCE.
(2)△ABD≌△ACD.
证明:
在△ABD与△ACD中,
AB=AC,DB=DC,AD=AD,
所以△ABD≌△ACD(SSS).
2.如图,已知AB=CD,AC=BD,求证:
∠A=∠D.
【证明】连接BC,在△ABC和△DCB中,
所以△ABC≌△DCB(SSS),
所以∠A=∠D.
3.根据图中尺规作图的痕迹,先判断得出结论,然后证明你的结论(不要求写已知、求证).
【解析】结论:
OM平分∠BOA,
证明:
由作图的痕迹可知,OC=OD,CM=DM,
在△COM和△DOM中,
所以△COM≌△DOM,所以∠COM=∠DOM,
所以OM平分∠BOA.
4.如图,在△ABC中,AB=AC,点D是BC中点.
(1)求证:
△ABD≌△ACD;
(2)判断AD与BC的位置关系,并说明理由.
【解析】
(1)因为点D是BC中点,所以BD=CD.
在△ABD和△ACD中,AB=AC,AD=AD,BD=CD,
所以△ABD≌△ACD(SSS).
(2)AD⊥BC.理由:
由
(1),得△ABD≌△ACD,
所以∠ADB=∠ADC=90°,所以AD⊥BC.
5.已知:
如图,AB=AC,AD=AE,BD=CE.
试说明∠BAC=∠DAE.
【解析】在△ABD和△ACE中,
因为AB=AC,AD=AE,BD=CE,所以△ABD≌△ACE(SSS),
所以∠BAD=∠CAE,
所以∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC,
即∠BAC=∠DAE.
6.已知,如图
(1),点A,C,F,D在同一直线上,AF=DC,AB=DE,BC=EF.
(1)试说明AB∥ED,BC∥EF的理由.
(2)把图中的△DEF沿直线AD平移到四个不同位置,如图
(2),(3),(4),(5),仍有上面的结论吗?
【解析】
(1)因为AF=DC,所以AF-CF=DC-CF,
即AC=DF,
在△ABC和△DEF中,
所以△ABC≌△DEF(SSS),
所以∠A=∠D,∠ACB=∠DFE,
所以AB∥ED,∠BCF=∠EFC,所以BC∥EF.
(2)在图
(2)中AB∥ED,BC和EF在同一条直线上,
图(3),(4),(5)中上面的结论仍成立,
证明方法与
(1)类似.
二.SAS型全等
1.如图,点D是△ABC的边AB上一点,DF交AC于点E,DE=FE,FC∥AB,那么AE=CE吗?
【解析】AE=CE.
因为FC∥AB,所以∠ADE=∠F,
又因为DE=FE,∠DEA=∠FEC(对顶角相等),
所以△ADE≌△CFE(ASA),
所以AE=CE.
2.如图,在△ABC
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