四年级等差数列求和Word文档格式.docx
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小高斯使用的这种求和方法,真是聪明极了,简单快捷,并且广泛地适用于“等差数列'
的求和问题。
若干个数排成一列称为数列,数列的第一个数(第一项)叫首项,最后一个数(最后一项)叫末项,如果一个数列从第二项起,每一项与前一项的差是一个不变的数,这样的数列叫做等差数列,这个不变的数则称为这个数列的公差。
计算等差数列的和,可以用以下关系式:
等差数列的和=(首项+末项)X项数*2
末项=首项+公差X(项数一1)
1/13
项数=(末项一首项)十公差+1
例1:
计算下列数列的和
(1)1,2,3,4,5,,,,100;
(2)8,15,22,29,36,71。
其中
(1)是首项为1,末项为100,公差为1的等差数列;
(2)是首项为8,末项为71,公差为7的等差数列。
由高斯的巧算方法,得到等差数列的求和公式:
和二(首项+
末项)X项数一2
随堂小练:
计算等差数列1,3,5,7,9,”,99的和
例2:
计算下面数列的和
1+2+3+,,+1999
分析:
这串加数b2,3,1999是等差数列,首项是1,末
项是1999,共有1999个数。
由等差数列求和公式可得
解:
原式二(1+1999)X19994-2=1999000
注意:
利用等差数列求和公式之前,一定要判断题目中的各个加数是否构成等差数列。
例3:
计算下面数列的和
11+12+13+,,+31
这串加数11,12,13,,,,31是等差数列,首项是11,末项是31,共有31-11+1=21(项)。
原式二(11+31)X214-2=441
在利用等差数列求和公式时,有时项数并不是一目了然的,这时就需要先求出项数。
根据首项、末项、公差的关系,可以得到项数=(末项-首项)三公差+1,末项二首项+公差X(项数-1)。
例4:
3+7+11+,,+99
3,7,11,,,,99是公差为4的等差数列,项数二(99一3)4-4+1=25
原式二(3+99)X254-2=1275
例5:
求首项是25,公差是3的等差数列的前40项的和。
末项二25+3X(40-1)=142,和二(25+142)X40—2=3340。
利用等差数列求和公式及求项数和末项的公式,也可以解决各种与等差数列求和有关的问题。
(1)求等差数列:
1、3、5、7、9……它的第21项是多少?
(2)求等差数列:
2、6、10、14、18……它的第60项是多少?
例6:
己知数列2、5、8、11、14……35,这个数列共有多少项?
第2项比首项多1个公差,第3项比首项多2个公差,第4项比首项多3个公差……,那第n项比首项多5-1)个公差。
可根据,项数=(末项一首项)宁公差+1进行计算,(35-2)宁3+1=12。
所以,这个数列共有12项。
由此可知:
项数二(末项一首项)一公差+1
(1)有一个等差数列:
1、3、5、7、9……99,这个等差数列共
有多少项?
(2)有一个等差数列:
2、5、8、11……101,这个等差数列共
有多少项?
例7:
在下图中,每个最小的等边三角形的而积是12厘米2,边长是1根火柴棍。
问:
(1)最大三角形的面积是多少平方厘米?
(2)整个图形由多
少根火柴棍摆成?
最大三角形共有8层,从上往下摆时,每层的小三角形数目为1、3、5、7、9等,由此可知,各层的小三角形数成等差数列,各层的火柴数也成等差数列。
(1)最大三角形而积为(1+3+5+,,+15)X12=[(1
+15)X84-2]X12=768(平方厘米)
2)火柴棍的数目为3+6+9+,,+24=(3+24)X84-2=108
(根)。
答:
最大三角形的面积是768厘米2,整个图形由108根火柴摆成。
例8:
盒子里放有三只乒乓球,一位魔术师第一次从盒子里拿出一只球,将它变成3只球后放回盒子里;
第二次又从盒子里拿出二只球,将每只球各变成3只球后放回盒子里“第十次从盒子里拿出十只球,将每只球各变成3只球后放回到盒子里。
这时盒子里共有多少只乒乓球?
一只球变成3只球,实际上多了2只球。
第一次多了2只球,第二次多了2X2只球,,”第十次多了2X10只球。
因此拿了十次后,多了2Xl+2X2+,,+2X10=2X(1+2+,,+10)=2X55=110(只)。
加上原有的3只球,盒子里共有球110+3=113(只)。
综合列式为:
(3-1)X(1+2+,,+10)+3
=2X[(1+10)X104-2]+3
=113(只)
课后练习:
1、求下列等差数列的和。
(1)6+7+S+9+……+74+75
(2)2+6+10+14+……+122+126
(3)1+2+3+4+……+2007+2008
2、有一个数列,4、10.16、22……52,这个数列有多少项?
3、一个等差数列,首项是3,公差是2,项数是10o它的末项是多
少?
4、求等差数列1.4、1、10……,这个等差数列的第30项是多少?
5、有一个数列:
6、10、14、18、22……,这个数列前100项的和是
多少?
6、在等差数列1、5、9、13、17……401中,401是第几项?
第50
项是多少?
7、求1——99个连续自然数的所有数字的和。
8己知等差数列5,8,11…,求岀它的第15项和第20项。
9、按照1.4.7、10、13…,排列的一列数中,第51个数是多少?
10、一个剧场设置了22排座位,第一排有36个座位,往后每排都比前一排多2个座位,这个剧场共有多少个座位?
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