实际问题.docx
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实际问题
一、调配问题
例1、某车间有22名工人,每人每天可以生产1200个螺钉或2000个螺母。
1个螺钉需要配2个螺母,为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套,应安排生产螺钉和螺母的工人各多少名?
例2、整理一批图书,由一个人做要40h完成。
现计划由一部分人先做4h,然后增加2人与他们一起做8h,完成这项工作。
假设这些人的工作效率相同,具体应先安排多少人工作?
二、销售中的盈亏
1、商品原价200元,九折出售,卖价是元.
2、商品进价是150元,售价是180元,则利润
是元.利润率是__________
3、某商品原来每件零售价是a元,现在每件降价10%,降价后每件零售价是 元.
4、某种品牌的彩电降价20%以后,每台售价为a元,则该品牌彩电每台原价应为 元.
5、某商品按定价的八折出售,售价是14.8元,则原定售价是 .
例3、、某商店在某一时间以每件60元的价格卖出两件衣服,其中一件盈利25﹪,另一件亏损25﹪,卖这两件衣服总的是盈利还是亏损,或是不盈不亏?
6、随州某琴行同时卖出两台钢琴,每台售价为960元。
其中一台盈利20%,另一台亏损20%。
这次琴行是盈利还是亏损,或是不盈不亏?
7、某文具店有两个进价不同的计算器都卖64元,其中一个盈利60%,另一个亏本20%.这次交易中的盈亏情况
8、某商场把进价为1980元的商品按标价的八折出售,仍获利10%,则该商品的标价为元
我国政府为解决老百姓看病难的问题,决定下调药品的价格,某种药品在2005年涨价30%后,2007降价70%至a元,则这种药品在2005年涨价前价格为元.
三、球赛积分表
例4、某次男篮联赛常规赛最终积分榜
队名
比赛场次
胜场
负场
积分
前进
14
10
4
24
东方
14
10
4
24
光明
14
9
5
23
蓝天
14
9
5
23
雄鹰
14
7
7
21
远大
14
7
7
21
卫星
14
4
10
18
钢铁
14
0
14
14
问题1:
从这张表格中,你能得到什么信息
问题2:
这张表格中的数据之间有什么样的数量关系?
问题3:
请你说出积分规则.(既胜一场得几分?
负一场得几分?
)你是怎样知道这个比赛的积分规则的?
问题4:
列式表示积分与胜、负场数之间的数量关系(提示:
胜场数或负场数不确定,可以用未知数来表示)
问题5:
有没有某队的胜场总积分能等于负场总积分吗
四、电话计费问题
例5、下表给出的是两种移动电话的计费方式
月使用费/元
主叫限定时间/分
主叫超时费元/分
被叫
方式一
58
150
0.29
免费
方式二
88
350
0.19
免费
问题1:
设月主叫时间为t分钟,当t在不同时间范围内取值,列表说明按方式一和方式二如何计费。
问题2:
观察你的表列,你能从中发现如何根据主叫时间选择省钱的计费方式吗?
通过计算验证你的看法。
1、用A4纸在某印社复印文件,复印页数不超过20页时每页收费0.12元;复印页数超过20页时,超过部分每页收费0.09元.在某图书馆复印同样的文件,不论复印多少页,每页收费0.1元.如何根据复印的页数选择复印的地点使总价格比较便宜?
(复印的页数不为零)
2、这个星期周末,七年级段长准备组织学生观看电影,由各班班长负责买票,票价每张20元,1班班长问售票员买团体票是否可以优惠,售票员说:
50人以上的团体票有两个优惠方案可选择:
方案一:
全体人员可打8折;方案二:
若打9折,有7人可免票。
①2班有61名学生,他该选择哪个方案?
②1班班长思考一会儿,说:
我们班无论选择哪种方案,要付的钱是一样的。
你知道1班有几人吗?
实际问题与一元一次方程知识讲解
【学习目标】
1.熟练掌握分析解决实际问题的一般方法及步骤;
2.熟悉行程,工程,配套及和差倍分问题的解题思路.
【要点梳理】
要点一、用一元一次方程解决实际问题的一般步骤
列方程解应用题的基本思路为:
问题
方程
解答.由此可得解决此类
题的一般步骤为:
审、设、列、解、检验、答.
要点诠释:
(1)“审”是指读懂题目,弄清题意,明确哪些是已知量,哪些是未知量,以及它们之间的关系,寻找等量关系;
(2)“设”就是设未知数,一般求什么就设什么为x,但有时也可以间接设未知数;
(3)“列”就是列方程,即列代数式表示相等关系中的各个量,列出方程,同时注意方程两边是同一类量,单位要统一;
(4)“解”就是解方程,求出未知数的值;
(5)“检验”就是指检验方程的解是否符合实际意义,当有不符合的解时,及时指出,舍去即可;
(6)“答”就是写出答案,注意单位要写清楚.
要点二、常见列方程解应用题的几种类型(待续)
1.和、差、倍、分问题
(1)基本量及关系:
增长量=原有量×增长率,
现有量=原有量+增长量,现有量=原有量-降低量.
(2)寻找相等关系:
抓住关键词列方程,常见的关键词有:
多、少、和、差、不足、剩余以及倍,增长率等.
2.行程问题
(1)三个基本量间的关系:
路程=速度×时间
(2)基本类型有:
①相遇问题(或相向问题):
Ⅰ.基本量及关系:
相遇路程=速度和×相遇时间
Ⅱ.寻找相等关系:
甲走的路程+乙走的路程=两地距离.
②追及问题:
Ⅰ.基本量及关系:
追及路程=速度差×追及时间
Ⅱ.寻找相等关系:
第一,同地不同时出发:
前者走的路程=追者走的路程;
第二,第二,同时不同地出发:
前者走的路程+两者相距距离=追者走的路程.
③航行问题:
Ⅰ.基本量及关系:
顺流速度=静水速度+水流速度,
逆流速度=静水速度-水流速度,
顺水速度-逆水速度=2×水速;
Ⅱ.寻找相等关系:
抓住两地之间距离不变、水流速度不变、船在静水中的速度不变来考虑.
(3)解此类题的关键是抓住甲、乙两物体的时间关系或所走的路程关系,并且还常常借助画草图来分析.
3.工程问题
如果题目没有明确指明总工作量,一般把总工作量设为1.基本关系式:
(1)总工作量=工作效率×工作时间;
(2)总工作量=各单位工作量之和.
4.调配问题
寻找相等关系的方法:
抓住调配后甲处的数量与乙处的数量间的关系去考虑.
【典型例题】
类型一、和差倍分问题
1.旅行社的一辆汽车在第一次旅程中用去油箱里汽油的25%,第二次旅程中用去剩余汽油的40%,这样油箱中剩的汽油比两次所用的汽油少1公斤,求油箱里原有汽油多少公斤?
【答案与解析】
解:
设油箱里原有汽油x公斤,由题意得:
x(1-25%)(1-40%)+1=25%x+(1-25%)x×40%
解得:
x=10
答:
油箱里原有汽油10公斤.
【点评】等量关系为:
油箱中剩余汽油+1=用去的汽油.
举一反三:
【变式】某班举办了一次集邮展览,展出的邮票若平均每人3张则多24张,若平均每人4张则少26张,这个班有多少学生?
一共展出了多少张邮票?
【答案】
解:
设这个班有x名学生,根据题意得:
3x+24=4x-26
解得:
x=50
所以3x+24=3×50+24=174
答:
这个班有50名学生,一共展出了174张邮票.
类型二、行程问题
1.车过桥问题
2.某桥长1200m,现有一列匀速行驶的火车从桥上通过,测得火车从上桥到完全过桥共用了50s,而整个火车在桥上的时间是30s,求火车的长度和速度.
【思路点拨】正确理解火车“完全过桥”和“完全在桥上”的不同含义.
【答案与解析】
解:
设火车车身长为xm,根据题意,得:
,
解得:
x=300,
所以
.
答:
火车的长度是300m,车速是30m/s.
【点评】火车“完全过桥”和“完全在桥上”是两种不同的情况,借助线段图分析如下(注:
A点表示火车头):
(1)火车从上桥到完全过桥如图
(1)所示,此时火车走的路程是桥长+车长.
(2)火车完全在桥上如图
(2)所示,此时火车走的路程是桥长-车长.由于火车是匀速行驶的,所以等量关系是火车从上桥到完全过桥的速度=整个火车在桥上的速度.
举一反三:
【变式】某要塞有步兵692人,每4人一横排,各排相距1米向前行走,每分钟走86米,通过长86米的桥,从第一排上桥到排尾离桥需要几分钟?
【答案】
解:
设从第一排上桥到排尾离桥需要x分钟,列方程得:
,
解得:
x=3
答:
从第一排上桥到排尾离桥需要3分钟.
2.相遇问题(相向问题)
3.小李骑自行车从A地到B地,小明骑自行车从B地到A地,两人都匀速前进.已知两人在上午8时同时出发,到上午10时,两人还相距36千米,到中午12点,两人又相距36千米.求A、B两地间的路程.
【答案与解析】
解:
设A、B两地间的路程为x千米,由题意得:
解得:
108.
答:
A、B两地间的路程为108千米.
【点评】根据“匀速前进”可知A、B的速度不变,进而A、B的速度和不变.利用速度和=小李和小明前进的路程和/时间可得方程.
举一反三:
【高清课堂:
实际问题与一元一次方程
(一)388410二次相遇问题】
【变式】甲、乙两辆汽车分别从A、B两站同时开出,相向而行,途中相遇后继续沿原路线行驶,在分别到达对方车站后立即返回,两车第二次相遇时距A站34km,已知甲车的速度是70km/h,乙车的速度是52km/h,求A、B两站间的距离.
【答案】
解:
设A、B两站间的距离为xkm,由题意得:
解得:
x=122
答:
A、B两站间的距离为122km.
3.追及问题(同向问题)
4.一辆卡车从甲地匀速开往乙地,出发2小时后,一辆轿车从甲地去追这辆卡车,轿车的速度比卡车的速度每小时快30千米,但轿车行驶一小时后突遇故障,修理15分钟后,又上路追这辆卡车,但速度减小了
,结果又用两小时才追上这辆卡车,求卡车的速度.
【答案与解析】
解:
设卡车的速度为x千米/时,由题意得:
解得:
x=24
答:
卡车的速度为24千米/时.
【点评】采用“线示”分析法,画出示意图.利用轿车行驶的总路程等于卡车行驶的总路程来列方程,理清两车行驶的速度与时间.
4.航行问题(顺逆风问题)
5.(武昌区联考)盛夏,某校组织长江夜游,在流速为2.5千米/时的航段,从A地上船,沿江而下至B地,然后溯江而上到C地下船,共乘船4小时.已知A、C两地相距10千米,船在静水中的速度为7.5千米/时,求A、B两地间的距离.
【思路点拨】由于C的位置不确定,要分类讨论:
(1)C地在A、B之间;
(2)C地在A地上游.
【答案与解析】
解:
设A、B两地间的距离为x千米.
(1)当C地在A、B两地之间时,依题意得.
解这个方程得:
x=20(千米)
(2)当C地在A地上游时,依题意得:
解这个方程得:
答:
A、B两地间的距离为20千米或
千米.
【点评】这是航行问题,本题需分类讨论,采用“线示”分析法画出示意图(如下图所示),然后利用“共乘”4小时构建方程求解.
5.环形问题
6.环城自行车赛,最快的人在开始48分钟后遇到最慢的人,已知最快的人的速度是最慢的人速度的3
倍,环城一周是20千米,求两个人的速度.
【答案与解析】
解;设最慢的人速度为x千米/时,则最快的人的速度为
x千米/时,由题意得:
x×
-x×
=20
解得:
x=10
答:
最快的人的速度为35千米/时,最慢的人的速度为10千米/时.
【点评】这是环形路上的追及问题,距离差为环城一周20千米.相等关系为:
最快的人骑的路程-最慢人骑的路程=20千米.
举一反三:
【变式】两人沿着边长为90m的正方形行走,按A→B→C→D→A…方向,甲从A以65m/min的速度,乙从B以72m/min的速度行走,如图所示,当乙第一次追上甲时,在正方形的哪一条边上?
【答案】
解:
设乙追上甲用了x分钟,则有:
72x-65x=3×90
(分)
答:
乙第一次追上甲时走了
(m)此时乙在AD边上
类型三、工程问题
7.一个蓄水池有甲、乙两个进水管和一个丙排水管,单独开甲管6小时可注满水池;单独开乙管8小时可注满水池,单独开丙管9小时可将满池水排空,若先将甲、乙管同时开放2小时,然后打开丙管,问打开丙管后几小时可注满水池?
【答案与解析】
解:
设再过x小时可把水注满.由题意得:
解得:
.
答:
打开丙管后
小时可把水放满.
【点评】相等关系:
甲、乙开2h的工作量+甲、乙、丙水管的工作量=1.
举一反三:
【变式】收割一块水稻田,若每小时收割4亩,预计若干小时完成,收割
后,改用新式农机,工作效率提高到原来的
倍,因此比预计时间提早1小时完成,求这块水稻田的面积.
【答案】
解:
设这块水稻田的面积为x亩,由题意得:
解得:
.
答:
这块水稻田的面积为36亩.
类型四、配套问题(比例问题、劳动力调配问题)
8.某工程队每天安排120个工人修建水库,平均每天每个工人能挖土5m3或运土3m3,为了使挖出的土及时被运走,问:
应如何安排挖土和运土的工人?
【答案与解析】
解:
设安排x人挖土,则运土的有(120-x)人,依题意得:
5x=3(120-x),
解得x=45.
120-45=75(人).
答:
应安排45人挖土,75人运土.
【点评】用参数表示挖土数与运土数,等量关系:
挖土与运土的总立方米数应相等.
举一反三:
【高清课堂:
实际问题与一元一次方程
(一)388410配制问题】
【变式】某商店选用A、B两种价格分别是每千克28元和每千克20元的糖果混合成杂拌糖果后出售,为使这种杂拌糖果的售价是每千克25元,要配制这种杂拌糖果100千克,问要用这两种糖果各多少千克?
【答案】
解:
设要用A种糖果x千克,则B种糖果用(100-x)千克.依题意,得:
28x+20(100-x)=25×100
解得:
x=62.5.
当x=62.5时,100-x=37.5.
答:
要用A、B两种糖果分别为62.5千克和37.5千克.
要点三、常见列方程解应用题的几种类型(续)
1.利润问题
(1)
(2)标价=成本(或进价)×(1+利润率)
(3)实际售价=标价×打折率
(4)利润=售价-成本(或进价)=成本×利润率
注意:
“商品利润=售价-成本”中的右边为正时,是盈利;当右边为负时,就是亏损.打几折就是按标价的十分之几或百分之几十销售.
2.存贷款问题
(1)利息=本金×利率×期数
(2)本息和(本利和)=本金+利息=本金+本金×利率×期数=本金×(1+利率×期数)
(3)实得利息=利息-利息税
(4)利息税=利息×利息税率
(5)年利率=月利率×12
(6)月利率=年利率×
3.数字问题
已知各数位上的数字,写出两位数,三位数等这类问题一般设间接未知数,例如:
若一个两位数的个位数字为a,十位数字为b,则这个两位数可以表示为10b+a.
4.方案问题
选择设计方案的一般步骤:
(1)运用一元一次方程解应用题的方法求解两种方案值相等的情况.
(2)用特殊值试探法选择方案,取小于(或大于)一元一次方程解的值,比较两种方案的优劣性后下结论.
【典型例题】
类型一、利润问题
【高清课堂:
实际问题与一元一次方程
(二)388413利润问题例2】
1.以现价销售一件商品的利润率为30%,如果商家在现有的价格基础上先提价40%,后降价50%的方法进行销售,商家还能有利润吗?
为什么?
【答案与解析】
解:
设该商品的成本为a元,则商品的现价为(1+30%)a元,依题意其后来折扣的售价为(1+30%)a·(1+40%)(1-50%)=0.91a.
∵0.91a-a=-0.09a,
∴
·100%=-9%.
答:
商家不仅没有利润,而且亏损的利润率为9%.
【总结升华】解答此类问题时,一定要弄清题意.分清售价、进价、数量、利润之间的关系很重要.
举一反三:
【高清课堂:
实际问题与一元一次方程
(二)388413利润问题例3】
【变式1】某个商品的进价是500元,把它提价40%后作为标价.如果商家要想保住12%的利润率搞促销活动,请你计算一下广告上可写出打几折?
【答案】
解:
设该商品打x折,依题意,则:
500(1+40%)·
=500(1+12%).
x=
=8.
答:
该商品的广告上可写上打八折.
【变式2】张新和李明相约到图书大厦去买书,请你根据他们的对话内容(如图所示),求出李明上次所买书籍的原价.
【答案】
解:
设李明上次购买书籍的原价为x元,由题意得:
0.8x+20=x-12,
解这个方程得:
x=160.
答:
李明上次所买书籍的原价是160元.
类型二、存贷款问题
2.爸爸为小强存了一个五年期的教育储蓄,年利率为2.7%,五年后取出本息和为17025元,爸爸开始存入多少元.
【答案与解析】
解:
设爸爸开始存入x元.根据题意,得x+x×2.7%×5=17025.
解之,得x=15000
答:
爸爸开始存入15000元.
【总结升华】本息和=本金+利息,利息=本金×利率×期数.
类型三、数字问题
3.一个三位数,十位上的数是百位上的数的2倍,百位、个位上的数的和比十位上的数大2,又个位、十位、百位上的数的和是14,求这个三位数.
【答案与解析】
解:
设百位上的数为x,则十位上的数为2x,个位上的数为14-2x-x
由题意得:
x+14-2x-x=2x+2
解得:
x=3
∴x=3,2x=6,14-2x-x=5
答:
这个三位数为365
【总结升华】在数字问题中应注意:
(1)求的是一个三位数,而不是三个数;
(2)这类应用题,一般设间接未知数,切勿求出x就答;(3)三位数字的表示方法是百位上的数字乘以100,10位上的数字乘以10,然后把所得的结果和个位数字相加.
举一反三:
【变式】一个两位数,个位上的数字比十位上的数字大4,这个两位数又是这两个数字的和的4倍,求这个两位数.
【答案】
解:
设十位上的数字为
,则个位上的数字为(
),由题意得:
解得:
答:
这两位数是48.
类型四、方案设计问题
4.为鼓励学生参加体育锻炼.学校计划拿出不超过1600元的资金再购买一批篮球和排球.已知篮球和排球的单价比为3:
2,单价和为80元.
(1)篮球和排球的单价分别是多少元?
(2)若要求购买的篮球和排球的总数量是36个,且购买的篮球数量不少于26个.请探究有哪几种购买方案?
【答案与解析】
解:
(1)设篮球和排球的单价分别为3x元和2x元.
依题意3x+2x=80,解得x=16
即3x=48,2x=32
答:
篮球和排球的单价分别为48元和32元.
(2)采用列表法探索:
类别
方案
篮球(x个)
排球(36-x)个
合计(元)
(1)
26
10
1568
(2)
27
9
1584
(3)
28
8
1600
(4)
29
7
1616
由列表可知,共有三种购买方案:
方案一:
购买篮球26个,排球10个;
方案二:
购买篮球27个,排球9个;
方案三:
购买篮球28个,排球8个.
【总结升华】本例设未知数的方法很独特,值得借鉴.采用列表的方法探索方案,值得学习.
举一反三:
【变式】(武昌区期末调考)某校组织10位教师和部分学生外出考察,全程票价为25元,对集体购票,客运公司有两种优惠方案可供选择:
方案一:
所有师生按票价的88%购票;方案二:
前20人购全票,从第21人开始,每人按票价的80%购票.
(1)若有30位学生参加考察,问选择哪种方案更省钱?
(2)参加考察的学生人数是多少时,两种方案车费一样多?
【答案】
解:
设有x位学生参加考察.
按方案一购票费用为:
25×88%(10+x)=22x+220
按方案二购票费用为:
20×25+25×80%(x+10-20)=20x+300
(1)当x=30时:
22x+220=660+220=880(元)
20x+300=600+300=900(元)
答:
当有30位学生参加考察,选择方案一更省钱.
(2)设22x+220=20x+300,解得:
x=40
答:
参加考察的学生人数为40人时,两种方案车费一样多.
8.某校用56m长的篱笆围成一个长方形的生物园,要使长为16m,则宽为________m.
9.小明和他父亲的年龄之和为54,又知父亲年龄是小明年龄的3倍少2岁,则他父亲的年龄为____岁.
10.甲、乙二人在长为400米的圆形跑道上跑步,已知甲每秒钟跑9米,乙每秒钟跑7米.
(1)当两人同时同地背向而行时,经过________秒钟两人首次相遇;
(2)两人同时同地同向而行时,经过________秒钟两人首次相遇.
11.某项工作甲单独做4天完成,乙单独做6天完成,若甲先干一天,然后,甲、乙合作完成此项工作,若设甲一共做了x天,乙工作的天数为________,由此可列出方程________________.
11.A、B两地相距216千米,甲、乙分别在A、B两地,若甲骑车的速度为15千米/时,乙骑车的速度为12千米/时。
(1)甲、乙同时出发,背向而行,问几小时后他们相距351千米?
(2)甲、乙相向而行,甲出发三小时后乙才出发,问乙出发几小时后两人相遇?
(3)甲、乙相向而行,要使他们相遇于AB的中点,乙要比甲先出发几小时?
(4)甲、乙同时出发,相向而行,甲到达B处,乙到达A处都分别立即返回,几小时后相遇?
相遇地点距离A有多远?
12.甲乙两车间共120人,其中甲车间人数比乙车间人数的4倍少5人.
(1)求甲、乙两车间各有多少人?
(2)若从甲、乙两车间分别抽调工人,组成丙车间研制新产品,并使甲、乙、丙三个车间的人数比为13∶4∶7,那么甲、乙两车间要分别抽调多少工人?
13.有一件工程,由甲、乙两个工程队共同合作完成,工期不得超过一个月,甲独做需要50天才能完成,乙独做需要45天才能完成,现甲乙合作20天后,甲队有任务调离,由乙队单独工作,问此工程是否能如期完工。
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