高考数学一轮复习专题函数模型及其应用教学案文WORD版.doc
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专题12函数模型及其应用
1.综合考查函数的性质;
2.考查一次函数、二次函数、分段函数及基本初等函数的建模问题;
3.考查函数的最值.
1.几类函数模型及其增长差异
(1)几类函数模型
函数模型
函数【解析】式
一次函数模型
f(x)=ax+b(a、b为常数,a≠0)
反比例函数模型
f(x)=+b(k,b为常数且k≠0)
二次函数模型
f(x)=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)
指数函数模型
f(x)=bax+c
(a,b,c为常数,b≠0,a>0且a≠1)
对数函数模型
f(x)=blogax+c
(a,b,c为常数,b≠0,a>0且a≠1)
幂函数模型
f(x)=axn+b(a,b为常数,a≠0)
(2)三种函数模型的性质
y=ax(a>1)
y=logax(a>1)
y=xn(n>0)
在(0,+∞)
上的增减性
单调递增
单调递增
单调递增
增长速度
越来越快
越来越慢
相对平稳
图象的变化
随x的增大逐渐表现为与y轴平行
随x的增大逐渐表现为与x轴平行
随n值变化而各有不同
值的比较
存在一个x0,当x>x0时,有logax 2.解函数应用问题的步骤(四步八字) (1)审题: 弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系,初步选择数学模型; (2)建模: 将自然语言转化为数学语言,将文字语言转化为符号语言,利用数学知识,建立相应的数学模型; (3)解模: 求解数学模型,得出数学结论; (4)还原: 将数学问题还原为实际问题的意义. 以上过程用框图表示如下: 【疑点清源】 1.要注意实际问题的自变量的取值范围,合理确定函数的定义域. 2.解决实际应用问题的一般步骤 (1)审题: 深刻理解题意,分清条件和结论,理顺其中的数量关系,把握其中的数学本质. (2)建模: 由题设中的数量关系,建立相应的数学模型,将实际问题转化为数学问题. (3)解模: 用数学知识和方法解决转化出的数学问题. (4)还原: 回到题目本身,检验结果的实际意义,给出结论. 高频考点一、用函数图象刻画变化过程 例1、 (1)设甲、乙两地的距离为a(a>0),小王骑自行车以匀速从甲地到乙地用了20分钟,在乙地休息10分钟后,他又以匀速从乙地返回到甲地用了30分钟,则小王从出发到返回原地所经过的路程y和其所用的时间x的函数图象为( ) (2)物价上涨是当前的主要话题,特别是菜价,我国某部门为尽快实现稳定菜价,提出四种绿色运输方案.据预测,这四种方案均能在规定的时间T内完成预测的运输任务Q0,各种方案的运输总量Q与时间t的函数关系如图所示,在这四种方案中,运输效率(单位时间的运输量)逐步提高的是( ) 【答案】 (1)D (2)B 【感悟提升】判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法 (1)构建函数模型法: 当根据题意易构建函数模型时,先建立函数模型,再结合模型选图象. (2)验证法: 当根据题意不易建立函数模型时,则根据实际问题中两变量的变化快慢等特点,结合图象的变化趋势,验证是否吻合,从中排除不符合实际的情况,选择出符合实际情况的答案. 【变式探究】已知正方形ABCD的边长为4,动点P从B点开始沿折线BCDA向A点运动.设点P运动的路程为x,△ABP的面积为S,则函数S=f(x)的图象是( ) 【答案】 D 【解析】 依题意知当0≤x≤4时,f(x)=2x;当4 高频考点二 已知函数模型的实际问题 例2、候鸟每年都要随季节的变化而进行大规模的迁徙,研究某种鸟类的专家发现,该种鸟类的飞行速度v(单位: m/s)与其耗氧量Q之间的关系为v=a+blog3(其中a、b是实数).据统计,该种鸟类在静止的时候其耗氧量为30个单位,而其耗氧量为90个单位时,其飞行速度为1m/s. (1)求出a、b的值; (2)若这种鸟类为赶路程,飞行的速度不能低于2m/s,则其耗氧量至少要多少个单位? 解 (1)由题意可知,当这种鸟类静止时,它的速度为0m/s,此时耗氧量为30个单位,故有a+blog3=0,即a+b=0;当耗氧量为90个单位时,速度为1m/s,故a+blog3=1,整理得a+2b=1. 【感悟提升】求解所给函数模型解决实际问题的关注点 (1)认清所给函数模型,弄清哪些量为待定系数. (2)根据已知利用待定系数法,确定模型中的待定系数. (3)利用该模型求解实际问题. 【变式探究】某般空公司规定,乘飞机所携带行李的质量(kg)与其运费(元)由如图的一次函数图象确定,那么乘客可免费携带行李的质量最大为kg. 【答案】 19 【解析】 由图象可求得一次函数的解析式为y=30x-570,令30x-570=0,解得x=19. 高频考点三 构造函数模型的实际问题 例3、某汽车销售公司在A,B两地销售同一种品牌的汽车,在A地的销售利润(单位: 万元)为y1=4.1x-0.1x2,在B地的销售利润(单位: 万元)为y2=2x,其中x为销售量(单位: 辆),若该公司在两地共销售16辆该种品牌的汽车,则能获得的最大利润是( ) A.10.5万元 B.11万元 C.43万元 D.43.025万元 【答案】 C 【解析】 设公司在A地销售该品牌的汽车x辆,则在B地销售该品牌的汽车(16-x)辆,所以可得利润y=4.1x-0.1x2+2(16-x)=-0.1x2+2.1x+32=-0.1(x-)2+0.1×+32. 因为x∈[0,16],且x∈N,所以当x=10或11时,总利润取得最大值43万元. 【变式探究】 (1)世界人口在过去40年翻了一番,则每年人口平均增长率约是(参考数据lg2≈0.3010,100.0075≈1.017)( ) A.1.5%B.1.6%C.1.7%D.1.8% (2)某位股民购进某支股票,在接下来的交易时间内,他的这支股票先经历了n次涨停(每次上涨10%),又经历了n次跌停(每次下跌10%),则该股民这支股票的盈亏情况(不考虑其他费用)为( ) A.略有盈利 B.略有亏损 C.没有盈利也没有亏损 D.无法判断盈亏情况 【答案】 (1)C (2)B 【举一反三】某市出租车收费标准如下: 起步价为8元,起步里程为3km(不超过3km按起步价付费);超过3km但不超过8km时,超过部分按每千米2.15元收费;超过8km时,超过部分按每千米2.85元收费,另每次乘坐需付燃油附加费1元.现某人乘坐一次出租车付费22.6元,则此次出租车行驶了km. 【答案】 9 【解析】 设出租车行驶xkm时,付费y元, 则y= 由y=22.6,解得x=9. 思维升华 构建数学模型解决实际问题,要正确理解题意,分清条件和结论,理顺数量关系,将文字语言转化成数学语言,建立适当的函数模型,求解过程中不要忽略实际问题对变量的限制. 【变式探究】 (1)一个人喝了少量酒后,血液中的酒精含量迅速上升到0.3mg/mL,在停止喝酒后,血液中的酒精含量以每小时25%的速度减少,为了保障交通安全,某地根据《道路交通安全法》规定: 驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.09mg/mL,那么,此人至少经过小时才能开车.(精确到1小时) (2)某企业投入100万元购入一套设备,该设备每年的运转费用是0.5万元,此外每年都要花费一定的维护费,第一年的维护费为2万元,由于设备老化,以后每年的维护费都比上一年增加2万元.为使该设备年平均费用最低,该企业需要更新设备的年数为( ) A.10B.11C.13D.21 【答案】 (1)5 (2)A 高频考点四、函数应用问题 例4、已知美国某手机品牌公司生产某款手机的年固定成本为40万美元,每生产1万部还需另投入16万美元.设公司一年内共生产该款手机x万部并全部销售完,每万部的销售收入为R(x)万美元,且R(x)= (1)写出年利润W(万美元)关于年产量x(万部)的函数【解析】式; (2)当年产量为多少万部时,公司在该款手机的生产中所获得的利润最大? 并求出最大利润. 解 (1)当0 =-6x2+384x-40, 当x>40时,W=xR(x)-(16x+40) =--16x+7360. 所以W= 当x=32时,W取得最大值6104万元。 【特别提醒】 (1)此类问题的关键是正确理解题意,建立适当的函数模型. (2)分段函数主要是每一段自变量变化所遵循的规律不同,可以先将其当作几个问题,将各段的变化规律分别找出来,再将其合到一起,要注意各段自变量的范围,特别是端点值. 【方法技巧】 1.认真分析题意,合理选择数学模型是解决应用问题的基础. 2.实际问题中往往解决一些最值问题,我们可以利用二次函数的最值、函数的单调性、基本不等式等求得最值. 3.解函数应用题的五个步骤: ①审题;②建模;③解模;④还原;⑤反思. 高频考点五、构建函数模型解决实际问题 例5、 (1)(2016·四川卷)某公司为激励创新,计划逐年加大研发资金投入,若该公司2015年全年投入研发资金130万元,在此基础上,每年投入的研发资金比上一年增长12%,则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是(参考数据: lg1.12≈0.05,lg1.3≈0.11,lg2≈0.30)( ) A.2018年B.2019年 C.2020年 D.2021年 (2)为了降低能源损耗,某体育馆的外墙需要建造隔热层,体育馆要建造可使用20年的隔热层,每厘米厚的隔热层建造成本为6万元.该建筑物每年的能源消耗费用C(单位: 万元)与隔热层厚度x(单位: cm)满足关系: C(x)=(0≤x≤10,k为常数),若不建隔热层,每年能源消耗费用为8万元,设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和. ①求k的值及f(x)的表达式; ②隔热层修建多厚时,总费用f(x)达到最小? 并求最小值. 【答案】 B (2)解 ①当x=0时,C=8,∴k=40, ∴C(x)=(0≤x≤10), ∴f(x)=6x+=6x+(0≤x≤10). ②由①得f(x)=2(3x+5)+-10. 令3x+5=t,t∈[5,35], 则y=2t+-10,∴y′=2-, 当5≤t<20时,y′<0,y=2t+-10为减函数; 当20 ∴函数y=2t+-10在t=20时取得最小值,此时x=5, 因此f(x)的最小值为70. ∴隔热层修建5cm厚时,总费用f(x)达到最小,最小值为70万元. 【方法规律】 (1)构建函数模型解决实际问题的常见类型与求解方法: ①构建二次函数模型,常用配方法、数形结合、分类讨论思想求解. ②构建分段函数模型,应用分段函数分段求解的方法. ③构建f(x)=x+(a>0)模型,常用均值不等式、导数等知识求解. (2)解函数应用题的程序是: ①审题;②建模;③解模;④还原. 【变式探究】 (1)某食品的保鲜时间y(单位: 小时)与储藏温度x(单位: ℃)满足函数关系y=ekx+b(e=2.718…为自然对数的底数,k,b为常数).若该食品在0℃的保鲜时间是192小时,在22℃的保鲜时间是48小时,则该食品在33℃的保鲜时间是________小时. (2)某旅游景点预计2017年1月份起前x个月的旅游人数的和p(x)(单位: 万人)与x的关系近似地满足p(x)=x(x+1)(39-2x)(x∈N+,且x≤12).已知第x个月的人均消费额q(x)(单位: 元)与x的近似关系是q(x)= ①写出2017年第x个月的旅游人数f(x)(单位: 万人)与x的函数关系式; ②试问2017年第几个月旅游消费总额最大? 最大月旅游消费总额为多少元? 【答案】 24 (2)解 ①当x=1时,f (1)=p (1)=37, 当2≤x≤12,且x∈N+时,f(x)=p(x)-p(x-1) =x(x+1)(39-2x)-(x-1)x(41-2x)=-3x2+40x,验证x=1也满足此式, 所以f(x)=-3x2+40x(x∈N+,且1≤x≤12). ②第x个月旅游消费总额为 g(x)= 即g(x)= (ⅰ)当1≤x≤6,且x∈N+时, g′(x)=18x2-370x+1400, 令g′(x)=0,解得x=5或x=(舍去). 当1≤x<5时,g′(x)>0, 当5 ∴当x=5时,g(x)max=g(5)=3125(万元). (ⅱ)当7≤x≤12,且x∈N+时, g(x)=-480x+6400是减函数, ∴当x=7时,g(x)max=g(7)=3040(万元). 综上,2017年5月份的旅游消费总额最大,最大旅游消费总额为3125万元. 1.(2016·浙江卷)设函数f(x)=x3+3x2+1,已知a≠0,且f(x)-f(a)=(x-b)(x-a)2,x∈R,则实数a=________,b=________. 【答案】 -2 1 2.【2016高考上海理数】已知,函数. (1)当时,解不等式; (2)若关于的方程的解集中恰好有一个元素,求的取值范围; (3)设,若对任意,函数在区间上的最大值与最小值的差不超过1,求的取值范围. 【答案】 (1). (2).(3). 【解析】 (1)由,得, 解得. (2),, 综上,的取值范围为. (3)当时,,, 所以在上单调递减. 函数在区间上的最大值与最小值分别为,. 即,对任意 成立. 因为,所以函数在区间上单调递增,时, 有最小值,由,得. 故的取值范围为. 3.【2016年高考北京理数】设函数. ①若,则的最大值为______________; ②若无最大值,则实数的取值范围是________. 【答案】,. 【2015高考天津,理8】已知函数函数,其中,若函数恰有4个零点,则的取值范围是() (A)(B)(C)(D) 【答案】D 所以恰有4个零点等价于方程 有4个不同的解,即函数与函数的图象的4个公共点,由图象可知. 【2015高考浙江,理10】已知函数,则,的最小值是. 【答案】,. 【解析】,当时,,当且仅当时,等 号成立,当时,,当且仅当时,等号成立,故最小值为. 【2015高考四川,理13】某食品的保鲜时间y(单位: 小时)与储存温度x(单位: )满足函数关系(为自然对数的底数,k、b为常数)。 若该食品在0的保鲜时间设计192小时,在22的保鲜时间是48小时,则该食品在33的保鲜时间是小时。 【答案】24 【解析】 由题意得: ,所以时,. 【2015高考上海,理10】设为,的反函数,则的最大值为. 【答案】4 【2015高考北京,理14】设函数 ①若,则的最小值为 ; ②若恰有2个零点,则实数的取值范围是 . 【答案】 (1)1, (2)或. 【解析】①时,,函数在上为增函数,函数值大于1,在为减函数,在为增函数,当时,取得最小值为1; (2)①若函数在时与轴有一个交点,则,并且当时, ,则,函数与轴有一个交点,所以; ②若函数与轴有无交点,则函数与轴有两个交点,当时与轴有无交点,在与轴有无交点,不合题意;当时,,与轴有两个交点,和,由于,两交点横坐标均满足;综上所述的取值范围或. 【2015高考浙江,理18】已知函数,记是在区间上的最大值. (1)证明: 当时,; (2)当,满足,求的最大值. 【答案】 (1)详见【解析】; (2)3. 【解析】 (1)由,得对称轴为直线,由,得 在上的最大值为,即,∴的最大值为3. (2014·湖南卷)某市生产总值连续两年持续增加,第一年的增长率为p,第二年的增长率为q,则该市这两年生产总值的年平均增长率为( ) A.B. C.D.-1 【答案】D 【解析】设年平均增长率为x,则有(1+p)(1+q)=(1+x)2,解得x=-1. (2014·陕西卷)如图12,某飞行器在4千米高空水平飞行,从距着陆点A的水平距离10千米处开始下降,已知下降飞行轨迹为某三次函数图像的一部分,则该函数的【解析】式为( ) 图12 A.y=x3-xB.y=x3-x C.y=x3-xD.y=-x3+x 【答案】A 【解析】设该三次函数的【解析】式为y=ax3+bx2+cx+d.因为函数的图像经过点(0,0),所以d=0,所以y=ax3+bx2+cx.又函数过点(-5,2),(5,-2),则该函数是奇函数,故b=0,所以y=ax3+cx,代入点(-5,2)得-125a-5c=2.又由该函数的图像在点(-5,2)处的切线平行于x轴,y′=3ax2+c,得当x=-5时,y′=75a+c=0.联立解得故该三次函数的【解析】式为y=x3-x. (2013·陕西卷)设[x]表示不大于x的最大整数,则对任意实数x,y,有( ) A.[-x]=-[x]B.[2x]=2[x] C.[x+y]≤[x]+[y]D.[x-y]≤[x]-[y] 【答案】D (2013·重庆卷)若a<b<c,则函数f(x)=(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a)的两个零点分别位于区间( ) A.(a,b)和(b,c)内B.(-∞,a)和(a,b)内 C.(b,c)和(c,+∞)内D.(-∞,a)和(c,+∞)内 【答案】A 【解析】因为f(a)=(a-b)(a-c)>0,f(b)=(b-c)(b-a)<0,f(c)=(c-a)(c-b)>0,所以f(a)f(b)<0,f(b)f(c)<0,所以函数的两个零点分别在(a,b)和(b,c)内,故选A. 1.某家具的标价为132元,若降价以九折出售(即优惠10%),仍可获利10%(相对进货价),则该家具的进货价是( ) A.118元 B.105元 C.106元 D.108元 【解析】: 选D 设进货价为a元,由题意知132×(1-10%)-a=10%·a,解得a=108. 2.某商店已按每件80元的成本购进某商品1000件,根据市场预测,销售价为每件100元时可全部售完,定价每提高1元时销售量就减少5件,若要获得最大利润,销售价应定为每件( ) A.100元 B.110元 C.150元 D.190元 【解析】: 选D 设售价提高x元,利润为y元,则依题意得y=(1000-5x)×(20+x)=-5x2+900x+20000=-5(x-90)2+60500.故当x=90时,ymax=60500,此时售价为每件190元. 3.设某公司原有员工100人从事产品A的生产,平均每人每年创造产值t万元(t为正常数).公司决定从原有员工中分流x(0 A.15 B.16 C.17 D.18 4.世界人口在过去40年内翻了一番,则每年人口平均增长率是(参考数据lg2≈0.3010,100.0075≈1.017)( ) A.1.5% B.1.6% C.1.7% D.1.8% 【解析】: 选C 设每年人口平均增长率为x,则(1+x)40=2,两边取以10为底的对数,则40lg(1+x)=lg2,所以lg(1+x)=≈0.0075,所以100.0075=1+x,得1+x=1.017,所以x=1.7%. 5.将甲桶中的a升水缓慢注入空桶乙中,t分钟后甲桶中剩余的水符合指数衰减曲线y=aent.假设过5分钟后甲桶和乙桶的水量相等,若再过m分钟甲桶中的水只有,则m的值为( ) A.7 B.8 C.9 D.10 【解析】: 选D 根据题意知=e5n, 令a=aent,即=ent, 因为=e5n,故=e15n, 比较知t=15,m=15-5=10. 6.将甲桶中的aL水缓慢注入空桶乙中,tmin后甲桶中剩余的水量符合指数衰减曲线y=aent.假设过5min后甲桶和乙桶的水量相等,若再过mmin甲桶中的水只有L,则m的值为( ) A.5B.8 C.9 D.10 【解析】 ∵5min后甲桶和乙桶的水量相等, ∴函数y=f(t)=aent满足f(5)=ae5n=a, 可得n=ln,∴f(t)=a·, 因此,当kmin后甲桶中的水只有L时, f(k)=a·=a,即=, ∴k=10,由题可知m=k-5=5. 【答案】 A 7.某化工厂生产一种溶液,按市场要求杂质含量不超过0.1%,若初时含杂质2%,每过滤一次可使杂质含量减少,至少应过滤________次才能达到市场要求(已知lg2≈0.3010,lg3≈0.4771). 【答案】 8 8.某商家一月份至五月份累计销售额达3860万元,预测六月份销售额为500万元,七月份销售额比六月份递增x%,八月份销售额比七月份递增x%,九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等.若一月份至十月份销售总额至少达7000万元,则x的最小值是______. 【解析】: 由题意知七月份的销售额为500(1+x%),八月份的销售额为500(1+x%)2,则一月份到十月份的销售总额是3860+500+2[500(1+x%)+500(1+x%)2], 根据题意有3860+500+2[500(1+x%)+500(1+x%)2]≥7000,即25(1+x%)+25(1+x%)2≥66, 令t=1+x%,则25t2+25t-66≥0, 解得t≥或t≤-(舍去),故1+x%≥, 解得x≥20.故x的最小值为20. 【答案】: 20 9.如图所示,已知边长为8米的正方形钢板有一个角被锈蚀,其中AE=4米,CD=6米.为合理利用这块钢板,在五边形ABCDE内截取一个矩形BNPM,使点P在边DE上. (1)设MP=x米,PN=y米,将y表示成x的函数,求该函数的解析式及定义域; (2)求矩形BNPM面积的最大值. 解: (1)作PQ⊥AF于Q,所以PQ=(8-y)米, EQ=(x-4)米. S(x)是关于x的二次函数,且其图象开口向下,对称轴为x=10,所以当x∈[4,8]时,S(x)单调递增. 所以当x=8米时,矩形BNPM的面积取得最大值,为48平方米. 10.一片森林原来面积为a,计划每年砍伐一些树,且每年砍伐面积的百分比相等,当砍伐到面积的一半时,所用时间是10年,为保护生态环境,森林面积至少要保留原面积的,已知到今年为止,森林剩余面积为原来的. (1)求每年砍伐面积的百分比; (2)到今年为止,该森林已砍伐了多少年? (3)今后最多还能砍伐多少年? 解: (1)设每年砍伐面积的百分比为x(0 则a(1-x)10=a,即(1-x)10=,解得x=1-. 即每年砍伐面积的百分比为1-. (2)设经过m年剩余面积为原来的,则a(1-x)m=a, 即=,所以=, 故今后最多还能砍伐15年. 11.候鸟每年都要随季节的变化而进行大规模的迁徙,研究某种鸟类的专家发现,该种鸟类的飞行速度v(单位: m/s)与其耗氧量Q之间的关系为v=a+blog3(其中a、b是实数).据统计,该种鸟类
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