高一数学221对数与对数运算 精品.docx
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高一数学221对数与对数运算精品
2.2.1对数与对数运算
第3课时
课标要求
理解对数的概念及其运算性质,知道换底公式能将一般对数转化为自然对数或常用对数,通过阅读材料,了解对数的发现历史以及对简化运算的作用。
教材分析与教学建议
对数
对数函数
性质
图像
定义
运算性质
定义
对数的应用
换底公式
对数的和
对数的差
[重点难点]
重点:
对数的运算和换底公式,难点理解换底公式熟练进行对数的运算。
[要点分析和教学建议]
1、教学内容分析
对数的换底公式是进行对数运算的重要基础,这里只要求学生知道换底公式并利用它将对数转化为常用对数或自然对数来计算,因此教科书把换底公式的证明作为学生“探究”活动证明换底公底的方法很多,下面给出一种参考证法:
设logab=
plogca=logcb
logcap=logcb
ap=b,
logab=
(a>0,且a≠1,c>0,.且c≠1,b>0)
学生了解换底公式后,第一个应用就是解决引入对数概念时人口问题中的设问,教科书只给出了约经过33年人口达到18亿,教学时可以让学生解决其他几个问题,并以此印证引入对数概念时用指数函数图像所获得的认识。
2、例题教学分析
例5、例6均是对数的应用问题,教学时,要注意帮助学业生理解题意,弄清各字母的含义,以及它们在对数式中的具体名称及计算方法。
例5可以让学生自己思考解决,以培养学生的阅读能力。
例6需要教师引导学生说出变量x,再自主解决,问题解决后可引导学生结合教材第56页问题2进行对比分析。
[教学流程]
复习对数运算性质引入换底公式
运用对数运算性质和换底公式解决一些问题
小结和练习
备课资料
[相关教学资料]
阅读材料1
很多关于大数的故事里(例如“棋盘上的学问”,“64片金片在三根金针上移动的审议”)都涉及264这个数。
(1)你能用64个2相乘算出它的大小吗?
(2)你会用计算器得出结果吗?
(3)如果恰好你手头没带计算器,又需要你马上近似地估计出它的大小,你有力法吗?
如果你愿意不厌其烦地计算,可以得出
264=184********709551616
使用科学计算器,可以近似算出:
264=1.844674407×1019
这里我们进行了指数换底,可以说,264是1019和1020之间的数,264颗大概是全世界2000年生产的全部小麦;264秒大概是58000亿年,而太阳系的生命大约30亿年。
一般地,根据指数函数的性质可以知道,对于任意的正数a和b,总能把a的指数幂化为b的指数幂。
因为一定存在唯一的常数a,使得a=ba,所以根据实数指数幂的运算性质,得:
an=(ba)n=bna)
这就是指数换底公式,其中a=logba
例如,可以用这个公式把以3为底的幂转为以10或以e为底的幂:
35=105lg3,35=e5ln3
y
y=10χ
3
2—A(a,10a)
|
1|
|
oa1χ
问题与思考:
你能证明指数换底公式吗?
你能比较2100与365的大小吗?
阅读材料2
对数是由苏格兰数学家纳皮尔(J.Napier,1550~1617)发明的,纳皮尔为了简化天文学问题的球面三角计算,在没有指数概念的情况下发明了对数,并于1614年在:
《论述对数的奇迹》中,介绍发他的方法和研究成果。
我们课本中的对数概念是在指数概念下引入的,这种对数定义最早见于1742年WillianJoneo(1675~1783)深刻地提示了指数与对数的密切联系,他曾说“对数源出于指数”。
在纳皮尔著作发表40年后,对数传入我我国,logarithm一词被译成比例数,后逐步演变成对数,意指“对(照)表中的数”。
清代数学家戴煦(1805~1860)等,经过独立的刻苦研究,也取得了很多成就。
现在通用的“常用对数”,是与纳皮尔同时期的英国数学家布里格斯(Briggs,1561~1630)引入的,并于1617年出版了常用对数表。
1622年英国数学家皮德尔(Speidell)给出了以e为底的自然对数表。
恩格斯在他的著作《自然辩证法》中,曾经把笛卡儿的坐标系,、纳皮尔的对数、牛顿和莱布尼茨的微积分共同称为17世纪的三大教学发明。
法国著名的数学家、天文学家拉普拉斯(P.S.Laplace,1749~1827)曾说:
对数可以缩短计算时间,“在实效上等于把天文学家的寿命延长了许多倍”。
由此可见,对数的发明对人们研究科学和了解自然起了重大作用
补充例题:
例1、如图2—3—1,2000年我国国内生产总值(GDP)为89442亿元,如果我国GDP年均增长7.8%左右,按照这个增长速度,在2000年的基础上,经过多少年以后,我国GDP才能实现比2000年翻两番的目标?
解:
假设经过χ年实现GDP比2000年翻两番的目标,如根据题意,得:
89442×(1+7.8%)χ=89442×4,
1078χ=4,
χ=log1.0784=
≈
≈18.5
答:
约经过19年后,我国GDP才能实现比2000年翻两番的目标。
例2在本章第2.2.2节的开头问题中,已知测得出土的古莲子中14C的残余含量占原来87.9%,试推算古莲子的生活年代.
解:
根据本章第2.2.2节的讨论,可以设经过χ年后的残余量是y=aχ,0 由14C的半衰期是5570年,即χ=5570时,y= 得 =a5570 两对取对数得: lg =5570lga lga=- . 所以,由y=87.9%=0.879可知 1.879=aχ χlga=lg0.879× 从而: χ·(- )=lg0.879, χ=- ≈1040 故古莲子约是1040年前的遗物. 回到本节开始提出的问题,用计算器计算,得 log0.840.5= ≈ ≈4 结论是: 约经过4年以后,物质的剩留量是原来的一半. 2.2.2对数函数及其性质 第1课时 讲标要求 通过具体实例,直观了解对数函数模型所刻画的数量关系,初步理解对数函数的概念,体会对数函数是一类重要的函数模型,能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图像,探索并了解对数函数的单调性和特殊点。 知道指数函数y=aχ和对数函数y=logaΧ互为反函数(а>0且α≠1) 教材分析与教学建议 [知识结构] 对数函数 对数 性质 图像 定义 定义 运算性质 雎体实例 图像作法 图像特点 确定概念 [重点难点] 重点: 对数函数的概念、图像;难点: 理解对数函数的概念 1、对数函数概念的引入 教科书以2.2.1的例6为背景引入对数函数,以表明对数函数来于实践,教学时,可以让学生利用计算器填写下来。 碳14的含量P 0.5 0.3 0.1 0.01 0.001 生物死亡年数t 学生填写完毕后,导他们观察上表,体会“对第一个碳14的含量P的取值,通过对应关系t=log5 P,生物死亡年数t都有唯一的值与之对应,从而t是P的函数”,所以我们把函数y=logaχ(a>0,且a≠1)叫做对数函数,其中χ是自变量,定义域是(0,+∞). 联系对数的学习,学生会比较自然地明白,“规定a>0,且a≠1”和对数函数的定义域是(0,+∞)。 2、对数函数的图像及其性质的教学分析 (1)对数函数的图像与性质的研究过程和方法与指数函数是一样的,所以教学时,可以类比指数函数图像和性质的研究,引导学生自己研究对数函数的性质,获得如下结论: 图像特征 函数性质 ①这些图像都位于y轴右方 ①χ可取任何正数值,函数值y∈R ②这些图像都经过(1,0)点. ②无论a为任何正数,总有Loga1=0 ③图像可以分为两类: 一类图像在区间(0,1)内纵坐标都小于0,在区间(1,+∞) ③当a>1时,若0<χ<1,则logaχ<0、若χ>1,则logaχ>0; ④自左向右看,a>1时图像逐渐上升,0 ④当a>1时,y=logaχ是增函数;
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