.
16.[解析] 因为f(-1)=2-1-(-1)2=-
<0,f(0)=20-02=1>0,而函数f(x)=2x-x2的图象是连续曲线,所以f(x)在区间[-1,0]内有零点,即方程f(x)=0在区间[-1,0]内有解.
用二分法求方程的近似解能力强化提升
一、选择题
1.如下四个函数的图象,适合用二分法求零点的是( )
2.在用二分法求函数f(x)在区间(a,b)上的唯一零点x0的过程中,取区间(a,b)上的中点c=
,若f(c)=0,则函数f(x)在区间(a,b)上的唯一零点x0( )
A.在区间(a,c)内B.在区间(c,b)内C.在区间(a,c)或(c,d)内D.等于
3.已知函数y=f(x)的图象是连续不间断的,x,f(x)对应值表如下:
x
1
2
3
4
5
6
f(x)
12.04
13.89
-7.67
10.89
-34.76
-44.67
则函数y=f(x)存在零点的区间有( )
A.区间[1,2]和[2,3]B.区间[2,3]和[3,4]C.区间[2,3]和[3,4]和[4,5]D.区间[3,4]和[4,5]和[5,6]
4.f(x)=x4-15,下列结论中正确的有( )
①f(x)=0在(1,2)内有一实根;②f(x)=0在(-2,-1)内有一实根;③没有大于2的零点;④f(x)=0没有小于-2的根;⑤f(x)=0有四个实根.
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
5.某方程在区间(2,4)内有一实根,若用二分法求此根的近似值,将此区间分( )次后,所得近似值的精确度可达到0.1( )A.2B.3C.4D.5
6.用二分法求函数的零点,经过若干次运算后函数的零点在区间(a,b)内,当|a-b|<ε(ε为精确度)时,函数零点近似值x0=
与真实零点的误差最大不超过( )
A.
B.
C.εD.2ε
7.若函数f(x)的零点与g(x)=4x+2x-2的零点之差的绝对值不超过0.25,则f(x)可以是( )
A.f(x)=4x-1B.f(x)=(x-1)2C.f(x)=ex-1D.f(x)=ln(x-
)
8.某农贸市场出售的西红柿,当价格上涨时,供给量相应增加,而需求量相应减少,具体调查结果如下两表:
市场供给表
单价(元/kg)
2
2.4
2.8
3.2
3.6
4
供给量(1000kg)
50
60
70
75
80
90
单价(元/kg)
4
3.4
2.9
2.6
2.3
2
需求量(1000kg)
50
60
65
70
75
80
据以上提供的信息,市场供需平衡点(即供给量和需求量相等时的单价)应在区间( )
A.(2,3,2.6)B.(2,4,2.6)C.(2,6,2.8)D.(2,4,2.8)
二、填空题
9.若函数f(x)=x3+x2-2x-2的一个正数零点附近的函数值的参考数据如下表:
f
(1)=-2
f(1.5)=0.625
f(1.25)≈-0.984
f(1.375)≈
-0.260
f(1.4375)≈
0.162
f(1.46025)≈
-0.054
那么方程x3+x2-2x-2=0的一个近似的正数根(精确度0.1)为________.
10.已知二次函数f(x)=x2-x-6在区间[1,4]上的图象是一条连续的曲线,且f
(1)=-6<0,f(4)=6>0,由零点存在性定理可知函数在[1,4]内有零点,用二分法求解时,取(1,4)的中点a,则f(a)=________.
11.用二分法求方程x3-2x-5=0在区间[2,3]内的实数根时,取区间中点x0=2.5,那么下一个有根区间是______________.
12.用二分法求方程f(x)=0在[0,1]内的近似解时,经计算,f(0.625)<0,f(0.75)>0,f(0.6875)<0,即可得出方程的一个近似解为________(精确度0.1).
三、解答题
13.已知图象连续不断的函数y=f(x)在区间(0,0.1)上有唯一零点,如果用“二分法”求这个零点(精确度0.01)的近似值,求区间(0,0.1)等分的至少次数.
14.求证:
方程x3-3x+1=0的根一个在区间(-2,-1)内,一个在区间(0,1)内,另一个在区间(1,2)内.
15.求方程2x3+3x-3=0的一个近似解(精确度0.1).
16.方程x5+x-3=0有多少个实数解?
你能证明自己的结论吗?
如果方程有解,请求出它的近似解(精确到0.1).
1.[解析] 选项A,B不符合在零点两边函数值符号相异,不适宜用二分法求解;选项C中,零点左侧没有函数值,无法确定初始区间,只有D中的零点满足图象连续不断且符号相异,能用二分法.故选D.
2.[答案] D3.[答案] C4.[答案] C
5.[解析] 等分1次,区间长度为1,等分2次,区间长度变为0.5,…,等分4次,区间长度变为0.125,等分5次,区间长度为0.0625<0.1,符合题意,故选D.
6.B[解析] 真实零点离近似值x0最远即靠近a或b,而b-
=
-a=
=
,因此误差最大不超过
.
7.[解析] f(x)=4x-1的零点为
,f(x)=(x-1)2的零点为1,f(x)=ex-1的零点为0,f(x)=ln(x-
)的零点为
.现在我们来估算g(x)=4x+2x-2的零点x0,因为g(0)=-1,g(
)=1,所以g(x)的零点,x0∈(0,
).又函数f(x)的零点与g(x)=4x+2x-2的零点之差的绝对值不超过0.25,只有f(x)=4x-1的零点适合.[答案] A
8.[解析] 供给量为70时单价为2.8元/kg,需求量为70时,单价为2.6元/kg,从市场供给表和需求表观察,市场供需平衡点应在区间(2.6,2.8).故选C.
9.[答案] 1.4375(或1.375)[解析] 由于精确度是0.1,而|1.4375-1.375|=0.0625<0.1,故取区间(1.375,1.4375)端点值1.375或1.4375作为方程近似解.
10.[答案] -2.25[解析] 由(1,4)的中点为2.5,得f(2.5)=2.52-2.5-6=-2.25.
11.[答案] (2,2.5)[解析] ∵f
(2)<0,f(2.5)>0,∴下一个有根区间是(2,2.5).
12.[答案] 0.75(答案不唯一)[解析] 因为|0.75-0.6875|=0.0625<0.1,所以区间[0.6875,0.75]内的任何一个值都可作为方程的近似解.
13.解析] 依题意
<0.01,得2n>10.故n的最小值为4.
14.[解析] 证明:
令F(x)=x3-3x+1,它的图象一定是连续的,又F(-2)=-8+6+1=-1<0,F(-1)=-1+3+1=3>0,∴方程x3-3x+1=0的一根在区间(-2,-1)内.同理可以验证F(0)F
(1)=1×(-1)=-1<0,
F
(1)F
(2)=(-1)×3=-3<0,∴方程的另两根分别在(0,1)和(1,2)内.
15.[解析] 设f(x)=2x3+3x-3,经计算,f(0)=-3<0,f
(1)=2>0,所以函数在(0,1)内存在零点,即方程2x3+3x-3=0在(0,1)内有实数根.取(0,1)的中点0.5,经计算f(0.5)<0,又f
(1)>0,所以方程2x3+3x-3=0在(0.5,1)内有实数根.如此继续下去,得到方程的一个实数根所在的区间,如下表:
(a,b)
(a,b)的中点
f(a)
f(b)
f(
)
(0,1)
0.5
f(0)<0
f
(1)>0
f(0.5)<0
(0.5,1)
0.75
f(0.5)<0
f
(1)>0
f(0.75)>0
(0.5,0.75)
0.625
f(0.5)<0
f(0.75)>0
f(0.625)<0
(0.625,0.75)
0.6875
f(0.625)<0
f(0.75)>0
f(0.6875)<0
因为|0.6875-0.75|=0.0625<0.1,所以方程2x3+3x-3=0的一个精确度为0.1的近似解可取为0.75.
16.[解析] 考查函数f(x)=x5+x-3,∵f
(1)=-1<0,f
(2)=31>0,∴函数f(x)=x5+x-3在区间(1,2)有一个零点x0.∵函数f(x)=x5+x-3在(-∞,+∞)上是增函数(证明略),∴方程x5+x-3=0在区间(1,2)内有唯一的实数解.取区间(1,2)的中点x1=1.5,用计算器算得f(1.5)≈6.09>0,∴x0∈(1,1.5).同理,可得x0∈(1,1.25),x0∈(1.125,1.25),x0∈(1.125,1.1875),x0∈(1.125,1.15625),x0∈(1.125,1.140625).
由于|1.140625-1.125|<0.1,此时区间(1.125,1.140625)的两个端点精确到0.1的近似值都是1.1.
几类不同增长的函数模型能力强化提升
一、选择题
1.函数y1=2x与y2=x2,当x>0时,图象的交点个数是( )
A.0 B.1C.2D.3
2.下列函数中,随x的增大,增长速度最快的是( )
A.y=50(x∈Z)B.y=1000xC.y=0.4·2x-1D.y=
·ex
3.某种细胞分裂时,由1个分裂成2个,2个分裂成4个,4个分裂成8个,……现有2个这样的细胞,分裂x次后得到的细胞个数y为( )
A.y=2x+1B.y=2x-1C.y=2xD.y=2x
4.某公司为了适应市场需求对产品结构做了重大调整,调整后初期利润增长迅速,后来增长越来越慢,若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y与时间x的关系,可选用( )
A.一次函数B.二次函数C.指数型函数D.对数型函数
5.如果寄信时的收费方式如下:
每封信不超过20g付邮费0.80元,超过20g而不超过40g付邮费1.60元,依此类推,每增加20g需增加邮0.80元(信的质量在100g以内).某人所寄一封信的质量为72.5g,那么他应付邮费( )A.3.20元B.2.90元C.2.80元D.2.40元
6.生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本,某企业一个月生产某种商品x万件时的生产成本为
C(x)=
x2+2x+20(单位:
万元).已知1万件售价是20万元,为获取更大利润,该企业一个月应生产该商品数量为( )
A.36万件B.18万件C.22万件D.9万件
7.在某种金属材料的耐高温实验中,温度y(℃)随着时间t(分)变化的情况由计算机记录后显示的图象如图所示:
现给出下列说法:
( )
①前5分钟温度增加越来越快;②前5分钟温度增加越来越慢;
③5分钟后温度保持匀速增加;④5分钟后温度保持不变.
A.①④B.②④C.②③D.①③
8.已知某食品厂生产100g饼干的总费用为1.80元,现该食品厂对饼干采用两种包装,其包装费及售价如表所示:
型号
小包装
大包装
质量
100g
300g
包装费
0.5元
0.8元
售价
3.00元
8.40元
下列说法中,正确的是( )
①买小包装实惠 ②买大包装实惠 ③卖3包小包装比卖1包大包装盈利多 ④卖1包大包装比卖3包小包装盈利多.A.①④B.①③C.②③D.②④
9.现测得(x,y)的两组对应值分别为(1,2),(2,5),现有两个待选模型,甲:
y=x2+1,乙:
y=3x-1,若又测得(x,y)的一组对应值为(3,10.2),则应选用________作为函数模型.
10.某食品加工厂生产总值的月平均增长率为p,则年平均增长率为________.
11.以下是三个变量y1,y2,y3随变量x变化的函数值表:
x
1
2
3
4
5
6
7
8
…
y1
2
4
8
16
32
64
128
256
…
y2
1
4
9
16
25
36
49
64
…
y3
0
1
1.585
2
2.322
2.585
2.807
3
…
其中,关于x呈指数函数变化的函数是________.
12.若a>1,n>0,那么当x足够大时,ax,xn,logax的大小关系是________________.
三、解答题
13.甲、乙两人连续6年对某县农村鳗鱼养殖业的规模(总产量)进行调查,提供了两个方面的信息,分别得到如下两图.甲调查表明:
每个鱼池平均产量直线上升,从第1年1万条鳗鱼上升到第6年2万条.
乙调查表明:
全县鱼池总个数直线下降,由第1年30个减少到第6个10个.请你根据提供的信息说明:
(1)第2年全县鱼池的个数及全县出产的鳗鱼总数;
(2)哪一年的规模(即总产量)
最大?
说明理由.
14.试比较函数y=x200,y=ex,y=lgx的增长差异.
15.某学校为了实现100万元的生源利润目标,准备制定一个激励招生人员的奖励方案:
在生源利润达到5万元时,按生源利润进行奖励,且奖金y随生源利润x的增加而增加,但奖金总数不超过3万元,同时奖金不超过利润的20%.现有三个奖励模型:
y=0.2x,y=log5x,y=1.02x,其中哪个模型符合该校的要求?
16.函数f(x)=1.1x,g(x)=lnx+1,h(x)=x
的图象如下图所示,试分别指出各曲线对应的函数,并比较三个函数的增长差异(以1,e,a,b,c,d为分界点).
1.[答案] C
2.[答案] D[解析] 指数函数增长速度最快,且e>2,因而ex增长最快.
3.[答案] A[解析] y=2×2x=2x+1.
4.[答案] D[解析] 由对数函数图象特征即可得到答案.
5.[答案] A[解析] 由题意,得20×3<72.5<20×4,则他应付邮费为0.80×4=3.20(元).
6.[答案] B[解析] 利润L(x)=20x-C(x)=-
(x-18)2+142,当x=18时,L(x)有最大值.
7.[答案] C[解析] 前5分钟,温度y随x增加而增加,增长速度越来越慢;
5分钟后,温度y随x的变化曲线是直线,即温度匀速增加.故说法②③正确.
8.[答案] D[解析] 小包装平均每元可买饼干
克,大包装平均每元可买饼干
>
克,因此买大包装实惠.卖
3包小包装可盈利2.1元,卖1包大包装可盈利2.2元,因此卖3包小包装比卖1包大包装盈利少.
9.[答案] 甲
10.[答案] (1+p)12-1
11.[答案] y1[解析] 从表格可以看出,三个变量y1,y2,y3都是越来越大,但是增长速度不同,其中变量y1的增长速度最快,画出它们的图象(图略),可知变量y1呈指数函数变化,故填y1.
12.[答案] ax>xn>logax
13.[解析]
(1)由题意,得图1中的直线经过(1,1)和(6,2)两点,从而求得其解析式为y1=0.2x+0.8,图2中的直线经过(1,30)和(6,10)两点.从而求得其解析式为y2=-4x+34.则当x=2时,y1=0.2×2+0.8=1.2,y2=-4×2+34=26,y1×y2=1.2×26=31.2,所以第2年全县有鱼池26个,全县出产的鳗鱼总数为31.2万条.
(2)设当第m年时,出产量为n,那么n=y1·y2=(0.2m+0.8)(-4m+34)=-0.8m2+3.6m+27.2=-0.8(m2-4.5m-34)=-0.8(m-2.25)2+31.25,所以当m=2时,n有最大值为31.2,即当第2年时,鳗鱼养殖业的规模最大,最大产量为31.2万条.
14.[解析] 增长最慢的是y=lgx,由图象(图略)可知随着x的增大,它几乎平行于x轴;当x较小时,y=x200要比y=ex增长得快;当x较大(如x>1000)时,y=ex要比y=x200增长得快.
15.[解析] 借助工具作出函数y=3,y=0.2x,y=log5x,y=1.02x的图象(图略).观察图象可知,在区间[5,100]上,y=0.2x,y=1.02x的图象都有一部分在直线y=3的上方,只有y=log5x的图象始终在y=3和y=0.2x的下方,这说明只有按模型y=log5x进行奖励才符合学校的要求.
16.[解析] 由指数爆炸、对数增长、幂函数增长的差异可得曲线C1对应的函数是f(x)=1.1x,曲线C2对应的函数是h(x)=x
,曲线C3对应的函数是g(x)=lnx+1.
由题图知,当x<1时,f(x)>h(x)>g(x);当1g(x)>h(x);当ef(x)>h(x);
当ah(x)>f(x);当bg(x)>f(x);当cf(x)>g(x);
当x>d时,f(x)>h(x)>g(x).
2
函数模型的应用实例能力强化提升
一、选择题
1.某地区植被被破坏,土地沙漠化越来越严重,最近三年测得沙漠增加值分别为0.2万公顷、0.4万公顷和0.76万公顷,则沙漠增加数y公顷关于年数x的函数关系较为近似的是( )
A.y=0.2x B.y=
(x2+2x)C.y=
D.y=0.2+log16x
2.某工厂生产甲、乙两种成本不同的产品,原来按成本价出售,由于市场销售发生