九年级数学上册38弧长及扇形的面积展围转解剖圆锥的三把利刃素材新版浙教版.docx
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九年级数学上册38弧长及扇形的面积展围转解剖圆锥的三把利刃素材新版浙教版.docx
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九年级数学上册38弧长及扇形的面积展围转解剖圆锥的三把利刃素材新版浙教版
2019-2020年九年级数学上册3.8弧长及扇形的面积展围转解剖圆锥的三把利刃素材新版浙教版
“展、围、转”三把利刃为我们从不同侧面研究圆锥(柱)提供了可以信赖的有效操作手段,架起立体图形与平面图形相互转化的桥梁.对诠释圆锥——扇形(侧面展开图)、圆柱——矩形(侧面展开图)元素之间的相互关系起到了极为重要的作用.下面结合近年的考题阐释如下.
1、“展”
把一个圆锥(柱)的侧面沿它的一条母线剪开,平铺展开在一个平面上得到的图形称为圆锥(柱)的侧面展开图.
圆锥的侧面展开图是一个扇形,这个扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长,扇形的半径等于圆锥的母线长;圆柱的侧面展开图是矩形,这个矩形的一边长等于圆柱的高,即母线长,另一边长等于底面圆的周长(见图甲).
如果我们在解题时能够抓住“展”之前、后相关元素之间的等量关系,可谓是“天堑变通途”计算时便会游刃有余.
例1、如图1,小丽自己动手做了一顶圆锥形的圣诞帽,母线长是,底面半径是,她想在帽子上缠一根漂亮的丝带,从出发绕帽子侧面一周,至少需要丝带( )
A.B.
C.D.
分析:
将帽子展开得到如图1所示的扇形OAB,其中弧AB的长度就是帽子底面圆的周长,所以2×10=,∴∠AOB=120°,线段AB的长度就是从出发绕帽子侧面一周,至少需要丝带的长.
过点O作OD⊥AB,∵OA=OB,根据等腰三角形的三线合一的性质知∠AOD=60°,在Rt△ADO中,AD=OA·sin60°∴AB=2AD=2OA·sin60°=2×30×=30.故选C.
2、“围”
“围”与“展”是圆锥(柱)与侧面展开图之间逆向转化的两种手段.既可以把扇形围成圆锥侧面也可以把矩形围成圆柱侧面,此时扇形的弧长变成圆锥底面的周长,扇形的半径变成圆锥的母线;矩形的一边长变成圆柱底面的周长,矩形的另一边长等于圆柱的高(或母线长).
例2、已知一个圆柱体侧面展开图为矩形(如图2),
若,,则该圆柱体的体积约
为(取,结果精确到0.1).
分析:
由于本题未告诉怎样去“围”,因而应分类来考虑,①若用边长AB围成圆柱底面圆的周长,此时圆柱体的体积约为×18.28=59.2(cm3)或②若用边长BC围成圆柱底面圆的周长,此时圆柱体的体积约为×6.28=177.5(cm3)
例3、如图3,从一个直径是2的圆形铁皮中剪下一个圆心角为的扇形.
(1)求这个扇形的面积(结果保留).
(2)在剩下的三块余料中,能否从第③块余料中剪出一个圆作为底面与此扇形围成一个圆锥?
请说明理由.
(3)当⊙O的半径为任意值时,
(2)中的结论是否仍然成立?
请说明理由.
析解:
(1)连接,由勾股定理求得:
(2)连接并延长,与弧和交于,
弧的长:
圆锥的底面直径为:
,不能在余料③中剪出一个圆作为底面与此扇形围成圆锥.
(3)由勾股定理求得:
弧的长:
圆锥的底面直径为:
且即无论半径为何值,
不能在余料③中剪出一个圆作为底面与此扇形围成圆锥.
3、“挖”
例4(06年贵阳)、如图2,这是一个由圆柱体材料加工而成的零件,它是以圆柱体的上底面为底面,在其内部“掏取”一个与圆柱体等高的圆锥体而得到的,其底面直径AB=,高BC=,求这个零件的表面积;(结果保留)
图2
分析:
本题是一道与零件的表面的计算有关的实际问题,观察零件表面可知其表面是由圆柱的侧面,圆锥的侧面以及圆组成,分别求出圆锥侧面积,圆柱侧面和圆的面积.然后将三者相加即可.
解:
这个零件的底面积=,
这个零件的侧面积=,
圆锥母线长OB=.
这个零件的内侧面积=,
∴这个零件的表面积为:
.
4、“转”
由于圆柱(锥)可以看作是旋转体,直角三角形绕其中的一条直角边旋转一周可以形成一个圆锥,矩形绕其中的一边旋转一周得到圆柱.不同的旋转轴会形成不同的圆柱(锥).因此,如果碰到圆柱(锥)是由某图形旋转得到,而且没有说明其中的旋转轴的问题时,我们应该分类来考虑.
如图,中,,.将绕所在的直线旋转一周得到一个旋转体,该旋转体的侧面积.(取3.14,结果保留两个有效数字)
如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4.
以直线AB为轴,把△ABC旋转1周,求所得几何体的表面积.
分析:
过点D作CD⊥AB,则以直线AB为轴,把△ABC旋转1周,得到两个底面半径为CD相同的圆锥,其中一个圆锥的母线是AC,另一个圆锥的母线是BC.由面积公式得AC·BC=CD·AB∴CD=2.4,∴所得几何体的表面积为CD·AC+CD·BC=CD(AC+BC)=2.4×7=16.8.
请同学们思考:
本题若改为绕Rt△ABC的一边为轴旋转,所得几何体的表面积,应如何解答呢?
尝试探究:
1、(09年山东省日照市)将直径为60cm的圆形铁皮,做成三个相同的圆锥容器的侧面(不浪费材料,不计接缝处的材料损耗),那么每个圆锥容器的底面半径为()
(A)10cm(B)30cm
(C)40cm(D)300cm
2、(09年杭州市)如图是一个几何体的三视图。
(1)写出这个几何体的名称;
(2)根据所示数据计算这个几何体的表面积;
(3)如果一只蚂蚁要从这个几何体中的点B出发,沿表面爬到AC的中点D,请你求出这个线路的最短路程
3、09黔东南州设矩形ABCD的长与宽的和为2,以AB为轴心旋转一周得到一个几何体,则此几何体的侧面积有()
(A)最小值4π(B)最大值4π
(C)最大值2π(D)最小值2π
2019-2020年九年级数学上册4.7图形的位似练习新版浙教版
第一部分
1、如图,四边形A'B'C'D'是四边形ABCD的位似图形,是位似中心,相似比为1∶2,S四边形A'B'C'D'∶S四边形ABCD=,图中除四边形A'B'C'D',的四边形ABCD外,还可以找到对相似三角形(可用字母表示的),它们是.
2、以点M为位似中心,画出四边形ABCD的位似图形四边形A1B1C1Dl,使得四边形ABCD与四边形A1B1C1Dl的相似比为2∶1.
3、小明要在给定的锐角△ABC中,求作一个正方形DEFG,使D,E落在BC边上,F,G分别落在AC,AB上,他的作法如下:
第一步:
画一个有三个顶点在△ABC两边上的正方形D′E′F′G′(如图);
第二步:
连结B、F′并延长交AC于点F;
第三步:
过F点作FE⊥BC,垂足为点E;第四步:
过F点作FG∥BC交AB于点G;
第五步:
过G点作GD⊥BC,垂足为点D.四边形DEFG即为所求作的正方形.
小明的作法合理吗?
请你给出合理的解释.
4、如图所示,点O是△ABC外的一点,分别在射线OA,OB,OC上取一点A’,B’,C’,使得,连结A’B’,B’C’,C’A’,所得△A’B’C’与△ABC是否相似?
证明你的结论.
第二部分
1.下列说法正确的是…………………………………………………………………()
A.只有位似方法才能把一个图形放大或缩小B.两个相似的图形一定位似
C.两个位似的图形一定相似D.利用位似的方法无法作两个
2.如图,△ABC和△DEF是位似图形,且D是OA的中点,则等于……………()
A.B.C.D.
3.如图,已知△OCD位似和△OAB是位似三角形,则中心是………………………()
A.点AB.点CC.点OD.点B
4.如图,五边形ABCDE和五边形A1B1C1D1E1是位似图形,且PA1=PA,则AB∶A1B1等于()
A.B.C.D.
5.如图,△ABC和△DEF是位似三角形,且AC=2DF,那么OE∶OB=.
6.如图,已知矩形ABCD与矩形EFGH是位似图形,OB∶OF=3∶5,则矩形ABCD的面积∶矩形EFGH的面积=.
7.如图,与是位似图形,且位似比是1∶2,若AB=2cm,则cm,并在图中画出位似中心O.
8.在平面直角坐标系中,已知A(6,3),B(6,0)两点,以坐标原点O为位似中心,相似比为,把线段AB缩小后得到线段A’B’,则A’B’的长度等于____________.
9.以点P为位似中心,将△ABC放大到原来的2倍.
10.正方形网格中有一条简笔画“鱼”,请你以点为位似中心放大,使新图形与原图形的对应线段的比是2∶1(不要求写作法).
参考答案
第一部分
第二步:
连结B、F′并延长交AC于点F;
第三步:
过F点作FE⊥BC,垂足为点E;第四步:
过F点作FG∥BC交AB于点G;
第五步:
过G点作GD⊥BC,垂足为点D.四边形DEFG即为所求作的正方形.
小明的作法合理吗?
请你给出合理的解释.
【解】小明的作法合理.
∵GF∥G′F′,∴.
∵E′F′∥EF, ∴.
同理,
∴四边形DEFG是正方形D′E′F′G′关于位似中心B的位似图形.
∴两个四边形相似,即四边形DEFG是正方形.
4、如图所示,点O是△ABC外的一点,分别在射线OA,OB,OC上取一点A’,B’,C’,使得,连结A’B’,B’C’,C’A’,所得△A’B’C’与△ABC是否相似?
证明你的结论.
【解】△A’B’C’∽△ABC
由已知,∠AOC=∠A/OC/,∴△AOC∽△A/OC/,∴.
同理,.∴,∴△A’B’C’∽△ABC.
第二部分
1.下列说法正确的是…………………………………………………………………()
A.只有位似方法才能把一个图形放大或缩小B.两个相似的图形一定位似
C.两个位似的图形一定相似D.利用位似的方法无法作两个
答案:
C
2.如图,△ABC和△DEF是位似图形,且D是OA的中点,则等于……………()
A.B.C.D.
答案:
A
3.如图,已知△OCD位似和△OAB是位似三角形,则中心是………………………()
A.点AB.点CC.点OD.点B
答案:
C
4.如图,五边形ABCDE和五边形A1B1C1D1E1是位似图形,且PA1=PA,则AB∶A1B1等于()
A.B.C.D.
答案:
B
5.如图,△ABC和△DEF是位似三角形,且AC=2DF,那么OE∶OB=.
答案:
1∶2
6.如图,已知矩形ABCD与矩形EFGH是位似图形,OB∶OF=3∶5,则矩形ABCD的面积∶矩形EFGH的面积=.
答案:
9∶25
7.如图,与是位似图形,且位似比是1∶2,若AB=2cm,则cm,并在图中画出位似中心O.
答案:
4点O位置如图
8.在平面直角坐标系中,已知A(6,3),B(6,0)两点,以坐标原点O为位似中心,相似比为,把线段AB缩小后得到线段A’B’,则A’B’的长度等于____________.
答案:
1
9.以点P为位似中心,将△ABC放大到原来的2倍.
解:
如图.
10.正方形网格中有一条简笔画“鱼”,请你以点为位似中心放大,使新图形与原图形的对应线段的比是2∶1(不要求写作法).
解:
如图.
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