高中数学人教A版选修22第二章推理与证明测试题含详解.docx
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高中数学人教A版选修22第二章推理与证明测试题含详解
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第二章测试
(时间:
120分钟,满分:
150分)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.若实数a,b满足b>a>0,且a+b=1,则下列四个数最大的是( )
A.a2+b2 B.2ab
C.D.a
答案 A
2.下面用“三段论”形式写出的演练推理:
因为指数函数y=ax(a>0,且a≠1)在(0,+∞)上是增函数,y=()x是指数函数,所以y=()x在(0,+∞)上是增函数.
该结论显然是错误的,其原因是( )
A.大前提错误B.小前提错误
C.推理形式错误D.以上都可能
解析 大前提是:
指数函数y=ax(a>0,且a≠1)在(0,+∞)上是增函数,这是错误的.
答案 A
3.已知c>1,a=-,b=-,则正确的结论是( )
A.a>bB.a
C.a=bD.a,b大小不定
解析 a=-=,b=-=,∵+>+,∴a 答案 B 4.下面使用类比推理正确的是( ) A.“若a·3=b·3,则a=b”类比推出“若a·0=b·0,则a=b” B.“(a+b)·c=ac+bc”类比推出“(a·b)·c=ac·bc” C.“(a+b)·c=ac+bc”类比推出“=+(c≠0)” D.“(ab)n=anbn”类比推出“(a+b)n=an+bn” 解析 由类比出的结果应正确知选C. 答案 C 5.函数y=ax2+1的图像与直线y=x相切,则a=( ) A.B. C.D.1 解析 ∵y=ax2+1,∴y′=2ax,设切点为(x0,y0),则⇒a=. 答案 B 6.已知f(x)=sin(x+1)-cos(x+1),则f (1)+f (2)+f(3)+…+f(2011)=( ) A.2B. C.-D.0 解析 f(x)=2[sin(x+1)-cos(x+1)]=2sinx,∴周期T=6,且f (1)+f (2)+…+f(6)=2(++0--+0)=0,∴f(2011)=f(6×335+1)=f (1)=2sin=. 答案 B 7.用数学归纳法证明1+++…+ A.2k-1B.2k+1 C.2k-1D.2k 解析 当n=k+1时,左边=1+++…++++…+,所以增加的项数为(2k+1-1)-2k+1=2k+1-2k=2k. 答案 D 8.若数列{an}是等比数列,则数列{an+an+1}( ) A.一定是等比数列 B.一定是等差数列 C.可能是等比数列也可能是等差数列 D.一定不是等比数列 解析 设等比数列{an}的公比为q,则 an+an+1=an(1+q). ∴当q≠-1时,{an+an+1}一定是等比数列; 当q=-1时,an+an+1=0,此时为等差数列. 答案 C 9.已知数列{an},{bn}的通项公式分别为: an=an+2,bn=bn+1(a,b是常数,且a>b),那么两个数列中序号与数值均相同的项的个数是( ) A.0个B.1个 C.2个D.无穷多个 解析 假设存在相同的项是第n项,即an+2=bn+1,∴(a-b)n=-1(a>b,n∈N*),矛盾. 答案 A 10.由①正方形的对角线相等;②平行四边形的对角线相等;③正方形是平行四边形,根据“三段论”推理出一个结论,则这个结论是( ) A.平行四边形的对角线相等 B.正方形的对角线相等 C.正方形是平行四边形 D.以上都不是 解析 大前提②,小前提③,结论①. 答案 B 11.观察下表: 1 2 3 4……第一行 2345……第二行 3456……第三行 4567……第四行 ⋮⋮⋮⋮ ⋮⋮⋮⋮ 第一列第二列第三列第四列 根据数表所反映的规律,第n行第n列交叉点上的数应为( ) A.2n-1 B.2n+1 C.n2-1D.n2 解析 观察数表可知,第n行第n列交叉点上的数依次为1,3,5,7,…,2n-1. 答案 A 12.对于任意的两个实数对(a,b)和(c,d),规定: (a,b)=(c,d)当且仅当a=c,b=d;运算“⊗”为: (a,b)⊗(c,d)=(ac-bd,bc+ad);运算“⊕”为: (a,b)⊕(c,d)=(a+c,b+d).设p,q∈R,若(1,2)⊗(p,q)=(5,0),则(1,2)⊕(p,q)等于( ) A.(4,0)B.(2,0) C.(0,2)D.(0,-4) 解析 由(1,2)⊗(p,q)=(5,0),得 ⇒ 所以(1,2)⊕(p,q)=(1,2)⊕(1,-2)=(2,0). 答案 B 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上) 13.已知a>0,b>0,m=lg,n=lg,则m,n的大小关系是________. 解析 ab>0⇒>0⇒a+b+2>a+b⇒(+)2>()2⇒+>⇒>⇒lg>lg. 答案 m>n 14.从1=12,2+3+4=32,3+4+5+6+7=52中,可得到一般规律为________. 解析 等式左边从n项起共有(2n-1)项相加,右边为(2n-1)2,∴n+(n+1)+(n+2)+…+(3n-2)=(2n-1)2. 答案 n+(n+1)+(n+2)+…+(3n-2)=(2n-1)2 15.若数列{an}是等差数列,则有数列 {bn}也是等差数列.类比上述性质,相应地,若数列{cn}为等比数列,且cn>0(n∈N*),则dn=________时,{dn}也是等比数列. 答案 16.对于平面几何中的命题“如果两个角的两边分别对应垂直,那么这两个角相等或互补”,在立体几何中,类比上述命题,可以得到命题: “_______________________________________”. 答案 如果两个二面角的两个半平面分别对应垂直,那么这两个二面角相等或互补 三、解答题(本大题共6个小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(10分)已知0 +≥9. 证法1 (分析法) 要证+≥9, ∵00, ∴只需证1-a+4a≥9a(1-a), 即证1+3a≥9a(1-a), 即证9a2-6a+1≥0, 即证(3a-1)2≥0, 上式显然成立. ∴原命题成立. 证法2 (综合法) ∵(3a-1)2≥0, 即9a2-6a+1≥0, ∴1+3a≥9a(1-a). ∵0 ∴≥9, 即≥9, 即+≥9. 证法3 (反证法) 假设+<9, 即+-9<0, 即<0, 即<0, 即<0, 而00, ∴(3a-1)2<0,与(3a-1)2≥0相矛盾, ∴原命题成立. 18.(12分)下列推理是否正确? 若不正确,指出错误之处. (1)求证: 四边形的内角和等于360°. 证明: 设四边形ABCD是矩形,则它的四个角都是直角,有∠A+∠B+∠C+∠D=90°+90°+90°+90°=360°,所以四边形的内角和为360°. (2)已知和都是无理数,试证: +也是无理数. 证明: 依题设和都是无理数,而无理数与无理数之和是无理数,所以+必是无理数. (3)已知实数m满足不等式(2m+1)(m+2)<0,用反证法证明: 关于x的方程x2+2x+5-m2=0无实数. 证明: 假设方程x2+2x+5-m2=0有实根.由已知实数m满足不等式(2m+1)(m+2)<0,解得-2 解 (1)犯了偷换论题的错误,在证明过程中,把论题中的四边形改为矩形. (2)使用的论据是“无理数与无理数的和是无理数”,这个论据是假的,因为两个无理数的和不一定是无理数,因此原题的真实性仍无法判定. (3)利用反证法进行证明时,要把假设作为条件进行推理,得出矛盾,本题在证明过程中并没有用到假设的结论,也没有推出矛盾,所以不是反证法. 19.(12分)已知数列{an}和{bn}是公比不相等的两个等比数列,cn=an+bn. 求证: 数列{cn}不是等比数列. 证明 假设{cn}是等比数列,则c1,c2,c3成等比数列.设{an},{bn}的公比分别为p和q,且p≠q,则a2=a1p,a3=a1p2,b2=b1q,b3=b1q2. ∵c1,c2,c3成等比数列, ∴c22=c1·c3, 即(a2+b2)2=(a1+b1)(a3+b3). ∴(a1p+b1q)2=(a1+b1)(a1p2+b1q2). ∴2a1b1pq=a1b1p2+a1b1q2. ∴2pq=p2+q2,∴(p-q)2=0. ∴p=q与已知p≠q矛盾. ∴数列{cn}不是等比数列. 20.(12分)证明: 若a>0,则-≥a+-2. 证明 ∵a>0,要证-≥a+-2, 只需证+2≥a++, 只需证(+2)2≥(a++)2, 即证a2++4+4≥a2++4+2(a+), 即证≥(a+), 即证a2+≥(a2++2), 即证a2+≥2, 即证(a-)2≥0, 该不等式显然成立. ∴-≥a+-2. 21.(12分)如右图,DC⊥平面ABC,EB∥DC,AC=BC=EB=2DC=2,∠ACB=120°,P,Q分别为AE,AB的中点. (1)证明: PQ∥平面ACD; (2)求AD与平面ABE所成角的正弦值. 解 (1)证明: ∵P,Q分别为AE,AB的中点, ∴PQ∥EB,又DC∥EB. ∴PQ∥DC,而PQ⊄平面ACD, DC⊂平面ACD,∴PQ∥平面ACD. (2)如图,连接CQ,DP, ∵Q为AB的中点,且AC=BC, ∴CQ⊥AB. ∵DC⊥平面ABC,EB∥DC,∴EB⊥平面ABC. ∴CQ⊥EB,故CQ⊥平面ABE. 由 (1)知,PQ∥DC,又PQ=EB=DC, ∴四边形CQPD为平行四边形. ∴DP⊥平面ABE. 故∠DAP为AD与平面ABE所成角. 在Rt△DAP中,AD=,DP=1, ∴sin∠DAP=. 因此AD与平面ABE所成角的正弦值为. 22.(12分)已知f(x)=(x≠-,a>0),且f (1)=log162,f(-2)=1. (1)求函数f(x)的表达式; (2)已知数列{xn}的项满足xn=(1-f (1))(1-f (2))…(1-f(n)),试求x1,x2,x3,x4; (3)猜想{xn}的通项公式,并用数学归纳法证明. 解 (1)把f (1)=log162=,f(-2)=1,代入函数表达式得 即 解得(舍去a=-<0), ∴f(x)=(x≠-1). (2)x1=1-f (1)=1-=, x2=(1-f (1))(1-f (2)) =×(1-)=, x3=(1-f(3))=×(1-)=, x4=×(1-)=. (3)由 (2)知,x1=,x2==,x3=,x4==,…,由此可以猜想xn=. 证明: ①当n=1时,∵x1=,而=,∴猜想成立. ②假设当n=k(k∈N*)时,xn=成立, 即xk=,则n=k+1时, xk+1=(1-f (1))(1-f (2))…(1-f(k))· (1-f(k+1)) =xk·(1-f(k+1)) =·[1-] =· =·=. ∴当n=k+1时,猜想也成立,根据①②可知,对一切n∈N*,猜想xn=都成立.
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- 高中 学人 选修 22 第二 推理 证明 测试 详解