完整word版初二等腰三角形总复习.docx
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完整word版初二等腰三角形总复习
13.3等腰三角形
13.3.1等腰三角形
1.
(1)已知一个等腰三角形的底为4,腰为7,则该三角形的周长是多少?
(2)已知一个等腰三角形有一条边长度为4,还有一条边长度为7,则该三角形的周长是多少?
(3)已知一个等腰三角形有一条边长度为3,还有一条边长度为7,则该三角形的周长是多少?
2.已知一个等腰三角形的顶角为50°,则它的底角是多少度?
已知一个等腰三角形的底角为50°,则它的顶角是多少度?
已知一个等腰三角形有一个内角为70°,则它的底角是多少度?
3.如图,在△ABC中,AB=AC,D是BC的中点,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,则图中全等三角形共有()
A、2对B、3对
C、4对D、5对
4.等腰三角形一腰上的中线把三角形周长分为12cm和15cm两部分,求它的腰的长.
5.如图,△ABC中,AB=AD=DC,
∠BAD=50°,求∠B、∠C的度数.
6.如图,在等腰三角形ABC中,AB=AC,AD是BC边上的中线,∠ABC的平分线BG,交AD于点E,EF⊥AB,垂足为F.
求证:
EF=ED.
7.△ABC中,∠B=∠C,求证:
AB=AC
8.如图,AD和BC交于点O,AB∥DC,OA=OB,试说明△OCD是等腰三角形.
9如图,已知OC平分∠AOB,CD∥OB,若OD=3cm,则CD等于( )
A.3cmB.4cm
C.1.5cmD.2cm
10.如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,AB的垂直平分线DE交AC于D,交AB于E,下述结论错误的是( )
A.BD平分∠ABC
B.△BCD的周长等于AB+BC
C.AD=BD=BC
D.点D是线段AC的中点
11.下列说法正确的是()
A.两腰相等的三角形是等腰三角形
B.等腰三角形的中线、高、角分线三线合一
C.“等边对等角”和“等角对等边”都是等腰三角形的性质
D.等腰三角形的外角中一定有钝角
12.已知如图,四边形ABCD中,AB=BC,∠A=∠C,求证:
AD=CD.
13.已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为60°,求三角形三个内角的度数.
14.已知:
如图,AB=AC,CE⊥BC,BD⊥BC.过点A的直线DE交BD于D,交CE于E.
求证:
AD=AE.
15.如图,在△ABC中,∠B=90°,M是AC上任意一点(M与A不重合)MD⊥BC,交∠BAC的平分线于点D,求证:
MD=MA.
16.如图,∠AOB是一钢架,且∠AOB=15°,为了使钢架更加坚固,需要其内部添加一些钢管EF、FG、GH,···,添加的钢管长度都与OE相等,则最多能添加这样的钢管根.
17.已知:
BC=DE,∠B=∠E,∠C=∠D,AF⊥CD于点F,求证:
∠1=∠2.
18.已知:
平面坐标系内点A坐标为(1,1),点B在坐标轴上.若△OAB为等腰三角形,则点B的位置有多少种可能?
13.3.2等边三角形
1.已知:
如图,在等边三角形ABC的AC边上取中点D,BC的延长线上取一点E,使CE=CD.求证:
BD=DE.
2.已知:
如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠BAD=
∠BAC,过点D作DE⊥AB,DE恰好是∠ADB的平分线,求证:
CD=
DB.
3.如图,在一场足球比赛中,球员A欲传球给同伴B,对方球员C意图抢断传球,已知球速为16m/s,球员速度为8m/s.当球由A传出的同时,球员C选择与AC垂直的方向出击,恰好在点D处将球成功抢断,则角α=。
(球员反应速度、天气等其他因素均不予考虑)
4.如图,等边三角形ABC内有一点P,PE⊥AB,PF⊥AC,PD⊥BC,垂足分别为E,F,D,且AH⊥BC于H,试用三角形面积公式证明:
PE+PF+PD=AH.
5.如图所示,在等边△ABC中,点D、E分别在边BC、AB上,且BD=AE,AD与CE交于点F,求证:
△ABD≌△CAE
6.下列三角形:
①有两个角等于60°;②有一个角等于60°的等腰三角形;③三个外角(每个顶点处各取一个外角)都相等的三角形;④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形.其中是等边三角形的有( )
A.①②③B.①②④
C.①③D.①②③④
7.如图,等边△ABC中,D、E分别为AB、AC上两点,下列结论:
①若AD=AE,则△ADE是等边三角形;
②若DE∥BC,则△ADE是等边三角形,
其中正确的有( )
A.①B.②
C.①②D.都不对
8.如图,D,E,F分别是等边△ABC各边上的点,且AD=BE=CF,求证:
△DEF是等边三角形.
9.如图,D为等边三角形ABC内一点,将△BDC绕着点C旋转成△AEC,则△CDE是怎样的三角形?
请说明理由.
10.如图,△ABC为等边三角形,
∠BAD=∠CBE=∠ACF.
(1)求∠EDF的度数;
(2)求证:
△DEF为等边三角形.
11.已知,△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,请证明:
AB=2BC.
12.已知△ABC是等边三角形,D、E、F分别是各边上的一点.
(1)若AD=BE=CF.试证明△DEF是等边三角形.
(2)若△DEF是等边三角形,那么AD=BE=CF成立吗?
若成立,请证明;若不成立,请说明原因.
13.如图,等边△ABC与等边△DEC共顶点于C点.求证:
AE=BD.
14.如图,△ABC中,∠C=90°,∠B=15°,AB的垂直平分线与BC交于点D,交AB于E,DB=8,求AC的长.
15.如图,点O是等边△ABC内一点,∠AOB=105°,∠BOC=α.以OC为边作等边△OCD,连接AD.
(1)请证明:
OB=AD.
(2)△AOD能否成为等边三角形?
如能,请求出α的值;如不能,请说明理由.
16.等腰三角形的底角为15°,腰长为2,则该等腰三角形的面积是.
17.如图,点D、E是等边△ABC的边BC、
AC上的点,且CD=AE,AD、BE相交于点P,BQ⊥AD于Q.求证:
BP=2PQ.
18.如图,点C为线段AB上一点,△ACM、△CBN是等边三角形.请你证明:
(1)AN=BM;
(2)DE∥AB;
(3)CF平分∠AFB.
13.3等腰三角形
13.3.1等腰三角形
1.18,15或18,17.
2.65°,80°,70°或55°.
3.B.
4.8cm或10cm.
5.65°,32.5°.
6.证明:
∵AD是BC边上的中线,
∴ED⊥BC(等腰三角形三线合一),
又∵BG是∠ABC的平分线,EF⊥AB,
∴EF=ED(角平分线上的点到角两边的距离相等).
7.证明:
方法一:
如图,作△ABC中BC边上的高线,垂足为D,
在Rt△ADB和Rt△ADC中,
∵
∴Rt△ADB≌Rt△ADC(AAS)
∴AB=AC.
方法二:
如图,作△ABC中∠BAC的角平分线AD,
在△ADB和△ADC中,
∵
∴△ADB≌△ADC(AAS),
∴AB=AC.
方法三:
将△ABC视为△ABC和△ACB两个三角形,
在△ABC和△ACB中,
∵
∴△ABC≌△ACB(ASA),
∴AB=AC.
8.证明:
∵OA=OB,
∴∠A=∠B,
又∵AB∥DC,
∴∠C=∠B,∠D=∠A,
∴∠C=∠D,
∴△OCD是等腰三角形.
9.A.
10.D.
11.D.
12.如图,连接AC,
∵AB=BC,
∴∠BAC=∠BCA,
∵∠BAD=∠BCD,
∴∠BAD∠BAC=∠BCD∠BCA,
即∠DAC=∠DCA,
∴AD=CD(等角对等边).
13.30°,75°,75°或150°,15°,15°
14.如图,过点A作AM⊥EC于点M,过点A作AN⊥BD交DB延长线于点N,
∵AM⊥ECAN⊥BD,
∴∠AMC=∠ANB=90°,
∵∠NBC=∠MCB=90°,∠ABC=∠ACB,
∴∠NBA=∠MCA,
又∵AB=AC,
∴△ABN≌△ACM(AAS),
∴AN=AM,
又∵∠AND=∠AME=90°,∠D=∠E,
∴△ADN≌△AEM(AAS),
∴AD=AE.
15.∵MD⊥BC,且∠B=90°,
∴AB∥MD,
∴∠BAD=∠D,
又∵AD为∠BAC的平分线,
∴∠BAD=∠MAD,
∴∠D=∠MAD,
∴MA=MD.
16.5.
17.如图,分别延长AB、AE交CD延长线于点M、N,
∵∠ABC=∠AED,∠BCD=∠EDC,
∴∠MBC=∠NED,∠BCM=∠EDN(同补角相等),
又∵BC=DE,
∴△BCM≌△EDN(ASA),
∴∠M=∠N,
∴AM=AN,
∴△AMN为等腰三角形,
又∵AF⊥CD,
∴∠1=∠2(等腰三角形三线合一).
18.8.
13.3.2等边三角形
1.证明:
∵D是等边三角形ABC的AC边上的中点,
∴BD平分∠ABC(等腰三角形三线合一),
∴∠CBD=
∠ABC=30°,
又∵CE=CD,
∴∠CDE=∠E,
又∵∠BCD=∠CDE+∠E=2∠E,
∴∠E=30°=∠CBD,
∴BD=DE(等角对等边).
2.证明:
∵∠BAD=
∠BAC,DE⊥AB,DC⊥AC,
∴DC=DE(垂直平分线上的点到角两边的距离相等),
∴在△ADE和△BDE中,
∵
∴△ADE≌△BDE(ASA),
∴∠B=∠DAE=∠CAD,
∴∠B=30°,
∴DE=
DB,
又∵CD=DE,
∴CD=
DB.
3.30°.
4.证明:
如图,连接PA,PB,PC,
则S△ABC=S△PAB+S△PBC+S△PAC,
∴S△ABC=S△PAB+S△PBC+S△PAC=
PE×AB+
PD×BC+
PF×AC,
又∵AB=BC=AC,
∴S△ABC=
(PE+PF+PD)×BC,
又∵S△ABC=
AH×BC,
∴PE+PF+PD=AH.
5.证明:
在△ABD和△CAE中,
∵
∴△ABD≌△CAE(SAS).
6.D.
7.C.
8.证明:
∵△ABC是等边三角形,且AD=BE=CF,
∴AF=BD=CE,
在△ADF、△BED和△CFE中,
∵
∴△ADF≌△BED≌△CFE(SAS),
∴DF=ED=FE,
∴△DEF是等边三角形.
9.△CDE是等边三角形
证明:
∵△AEC由△BDC绕着点C旋转而成,
∴△AEC≌△BDC,
∴CD=CE,
∴△CDE是等腰三角形,
又∵∠BCD=∠ACE,
∴∠BCD+∠ACD=∠ACE+∠ACD,即∠ACB=∠ECD,
∴∠ECD=60°,
∴△CDE是等边三角形.
10.⑴∵ΔABC是等边三角形,
∴∠ABC=60°,
∵∠BAD=∠CBE,
∴∠EDF=∠BAD+∠ABD=∠CBE+∠ABD=∠ABC=60°.
⑵∵ΔABC是等边三角形,
∴∠ACB=60°,
∵∠CBE=∠ACF,
∴∠FED=∠CBE+∠ECB=∠ACF+∠ECB=60°,
又∵∠EDF=60°,
∴∠FED=∠EDF=∠DFE=60°,
∴ΔDEF是等边三角形.
11.如图,延长BC至点D,使CB=DC,连接AD,
∵∠ACB=∠ACD=90°,CB=DC,
∴△ABC≌△ADC(SAS),
∴∠B=∠D,
∵∠A=30°,
∴∠B=∠D=∠BAD=60°,
∴△ABD为等边三角形,
∴AB=BD=BC+CD=2BC.
12.
(1)∵△ABC为等边三角形 ,
∴∠A=∠B=∠C,AB=AC=BC ,
又∵AD=BE=CF ,
∴CD=AE=BF ,
∴△ADE≌△BEF≌△CFD(SAS),
∴DE=DF=EF ,
∴△DEF为等边三角形;
(2)∵△ABC、△DEF是等边三角形,
∴∠A=∠B=∠C=60°,∠DEF=∠EDF=∠DFE=60°,
又∵∠AED+∠ADE=120°,∠ADE+∠CDF=120°,
∴∠AED=∠CDF,
同理可证∠AED=∠BFE,
∴∠AED=∠CDF=∠BFE,
又∵∠A=∠B=∠C,DE=FD=EF ,
∴△ADE≌△CFD≌△BEF(AAS),
∴AD=CF=BE.
13.∵△ABC、△DEC为等边三角形,
∴BC=AC,DC=EC,∠ACB=∠BCD+∠ACD=60°,∠DCE=∠ACE+∠ACD=60°,
∴∠BCD=∠ACE,
∴△AEC≌△BDC(SAS),
∴AE=BD.
14.4.
15.
(1)∵△ABC、△OCD为等边三角形,
∴BC=AC,CD=CO,∠ACB=∠BCO+∠ACO=60°,∠DCO=∠ACD+∠ACO=60°,
∴∠BCO=∠ACD,
∴△ADC≌△BOC(SAS),
∴OB=DA.
(2)不能,设△AOD是等边三角形
由题意得
∵AD=OD=AODC=OC=ODOB=AD
∴AO=OB=OC
∴∠AOB=120º这与已知∠AOB=105º矛盾,所以△AOD不能成为等边三角形.
16.1.
17.证明:
∵△ABC是等边三角形,
∴AB=AC,∠BAC=∠C=60°,
又∵在△ABE和△CAD中,AB=CA,∠BAE=∠C,AE=CD,
∴△ABE≌△CAD(SAS),
∴∠ABE=∠CAD,
又∵∠BAC=∠BAD+∠CAD=60°,
∴∠BPQ=∠ABE+∠BAD=60°,
又∵BQ⊥AD,
∴在Rt△BPQ中,∠QBP=30°,
∴BP=2PQ.
18.
(1)∵△ACM、△CBN是等边三角形,
∴CM=CA,CN=CB,∠MCA=∠NCB=60°,
∴∠MCA+∠MCN=∠NCB+∠MCN,
∴∠MCB=∠ACN,
又∵在△BCM和△NCA中,CB=CN,∠BCM=∠NCA,CM=CA,
∴△BCM≌△NCA(SAS),
∴AN=BM;
(2)∵△ACM、△CBN是等边三角形,
∴CM=CA,∠MCA=∠NCB=60°,
∴∠MCN=60°,
又∵在△ACD和△MEC中,∠CAD=∠CME,AC=MC,∠ACD=∠MCE,
∴△ACD≌△MCE(ASA),
∴CD=EC,
又∵∠MCN=60°,
∴△DCE为等边三角形,
∴∠EDC=60°,
∴∠EDC=∠ACD=60°,
∴DE∥AB;
(3)如图,过点C作CP⊥AF于点P,过点C作CQ⊥BF于点Q,
∵在△CAP和△CMQ中,
∠CAD=∠CME,∠CPA=∠CQM=90°,AC=MC,
∴△CAP≌△CMQ(AAS),
∴CP=CQ,CF为∠AFB的角平分线,
∴CF平分∠AFB.
13.3.2等边三角形
1.已知:
如图,在等边三角形ABC的AC边上取中点D,BC的延长线上取一点E,使CE=CD.求证:
BD=DE.
2.已知:
如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠BAD=
∠BAC,过点D作DE⊥AB,DE恰好是∠ADB的平分线,求证:
CD=
DB.
3.如图,在一场足球比赛中,球员A欲传球给同伴B,对方球员C意图抢断传球,已知球速为16m/s,球员速度为8m/s.当球由A传出的同时,球员C选择与AC垂直的方向出击,恰好在点D处将球成功抢断,则角α=。
(球员反应速度、天气等其他因素均不予考虑)
4.如图,等边三角形ABC内有一点P,PE⊥AB,PF⊥AC,PD⊥BC,垂足分别为E,F,D,且AH⊥BC于H,试用三角形面积公式证明:
PE+PF+PD=AH.
5.如图所示,在等边△ABC中,点D、E分别在边BC、AB上,且BD=AE,AD与CE交于点F,求证:
△ABD≌△CAE
6.下列三角形:
①有两个角等于60°;②有一个角等于60°的等腰三角形;③三个外角(每个顶点处各取一个外角)都相等的三角形;④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形.其中是等边三角形的有( )
A.①②③B.①②④
C.①③D.①②③④
7.如图,等边△ABC中,D、E分别为AB、AC上两点,下列结论:
①若AD=AE,则△ADE是等边三角形;
②若DE∥BC,则△ADE是等边三角形,
其中正确的有( )
A.①B.②
C.①②D.都不对
8.如图,D,E,F分别是等边△ABC各边上的点,且AD=BE=CF,求证:
△DEF是等边三角形.
9.如图,D为等边三角形ABC内一点,将△BDC绕着点C旋转成△AEC,则△CDE是怎样的三角形?
请说明理由.
10.如图,△ABC为等边三角形,
∠BAD=∠CBE=∠ACF.
(1)求∠EDF的度数;
(2)求证:
△DEF为等边三角形.
11.已知,△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,请证明:
AB=2BC.
12.已知△ABC是等边三角形,D、E、F分别是各边上的一点.
(1)若AD=BE=CF.试证明△DEF是等边三角形.
(2)若△DEF是等边三角形,那么AD=BE=CF成立吗?
若成立,请证明;若不成立,请说明原因.
13.如图,等边△ABC与等边△DEC共顶点于C点.求证:
AE=BD.
14.如图,△ABC中,∠C=90°,∠B=15°,AB的垂直平分线与BC交于点D,交AB于E,DB=8,求AC的长.
15.如图,点O是等边△ABC内一点,∠AOB=105°,∠BOC=α.以OC为边作等边△OCD,连接AD.
(1)请证明:
OB=AD.
(2)△AOD能否成为等边三角形?
如能,请求出α的值;如不能,请说明理由.
16.等腰三角形的底角为15°,腰长为2,则该等腰三角形的面积是.
17.如图,点D、E是等边△ABC的边BC、
AC上的点,且CD=AE,AD、BE相交于点P,BQ⊥AD于Q.求证:
BP=2PQ.
18.如图,点C为线段AB上一点,△ACM、△CBN是等边三角形.请你证明:
(1)AN=BM;
(2)DE∥AB;
(3)CF平分∠AFB.
13.3等腰三角形
13.3.1等腰三角形
1.18,15或18,17.
2.65°,80°,70°或55°.
3.B.
4.8cm或10cm.
5.65°,32.5°.
6.证明:
∵AD是BC边上的中线,
∴ED⊥BC(等腰三角形三线合一),
又∵BG是∠ABC的平分线,EF⊥AB,
∴EF=ED(角平分线上的点到角两边的距离相等).
7.证明:
方法一:
如图,作△ABC中BC边上的高线,垂足为D,
在Rt△ADB和Rt△ADC中,
∵
∴Rt△ADB≌Rt△ADC(AAS)
∴AB=AC.
方法二:
如图,作△ABC中∠BAC的角平分线AD,
在△ADB和△ADC中,
∵
∴△ADB≌△ADC(AAS),
∴AB=AC.
方法三:
将△ABC视为△ABC和△ACB两个三角形,
在△ABC和△ACB中,
∵
∴△ABC≌△ACB(ASA),
∴AB=AC.
8.证明:
∵OA=OB,
∴∠A=∠B,
又∵AB∥DC,
∴∠C=∠B,∠D=∠A,
∴∠C=∠D,
∴△OCD是等腰三角形.
9.A.
10.D.
11.D.
12.如图,连接AC,
∵AB=BC,
∴∠BAC=∠BCA,
∵∠BAD=∠BCD,
∴∠BAD∠BAC=∠BCD∠BCA,
即∠DAC=∠DCA,
∴AD=CD(等角对等边).
13.30°,75°,75°或150°,15°,15°
14.如图,过点A作AM⊥EC于点M,过点A作AN⊥BD交DB延长线于点N,
∵AM⊥ECAN⊥BD,
∴∠AMC=∠ANB=90°,
∵∠NBC=∠MCB=90°,∠ABC=∠ACB,
∴∠NBA=∠MCA,
又∵AB=AC,
∴△ABN≌△ACM(AAS),
∴AN=AM,
又∵∠AND=∠AME=90°,∠D=∠E,
∴△ADN≌△AEM(AAS),
∴AD=AE.
15.∵MD⊥BC,且∠B=90°,
∴AB∥MD,
∴∠BAD=∠D,
又∵AD为∠BAC的平分线,
∴∠BAD=∠MAD,
∴∠D=∠MAD,
∴MA=MD.
16.5.
17.如图,分别延长AB、AE交CD延长线于点M、N,
∵∠ABC=∠AED,∠BCD=∠EDC,
∴∠MBC=∠NED,∠BCM=∠EDN(同补角相等),
又∵BC=DE,
∴△BCM≌△EDN(ASA),
∴∠M=∠N,
∴AM=AN,
∴△AMN为等腰三角形,
又∵AF⊥CD,
∴∠1=∠2(等腰三角形三线合一).
18.8.
13.3.2等边三角形
1.证明:
∵D是等边三角形ABC的AC边上的中点,
∴BD平分∠ABC(等腰三角形三线合一),
∴∠CBD=
∠ABC=30°,
又∵CE=CD,
∴∠CDE=∠E,
又∵∠BCD=∠CDE+∠E=2∠E,
∴∠E=30°=∠CBD,
∴BD=DE(等角对等边).
2.证明:
∵∠BAD=
∠BAC,DE⊥AB,DC⊥AC,
∴DC=DE(垂直平分线上的点到角两边的距离相等),
∴在△ADE和△BDE中,
∵
∴△ADE≌△BDE(ASA),
∴∠B=∠DAE=∠CAD,
∴∠B=30°,
∴DE=
DB,
又∵CD=DE,
∴CD=
DB.
3.30°.
4.证明:
如图,连接PA,PB,PC,
则S△ABC=S△PAB+S△PBC+S△PAC,
∴S△ABC=S△PAB+S△PBC+S△PAC=
PE×AB+
PD×BC+
PF×AC,
又∵AB=BC=AC,
∴S△ABC=
(PE+PF+PD)×BC,
又∵S△ABC=
AH×BC,
∴PE+PF+PD=AH.
5.证明:
在△ABD和△CAE中,
∵
∴△ABD≌△CAE(SAS).
6.D.
7.C.
8.证明:
∵△ABC是等边三角形,且AD=BE=CF,
∴AF=BD=CE,
在△ADF、△BED和△CFE中,
∵
∴△ADF≌△BED≌△CFE(SAS),
∴DF=ED=FE,
∴△DEF是等边三角形.
9.△CDE是等边三角形
证明:
∵△AEC由△BDC绕着点C旋转而成,
∴△AEC≌△BDC,
∴CD=CE,
∴△CDE是等腰三角形,
又∵∠BCD=∠ACE,
∴∠BCD+∠ACD=∠ACE+∠ACD,即∠ACB=∠ECD,
∴∠ECD=60°,
∴△CDE是等边三角形.
10.⑴∵ΔABC是等边三角形,
∴∠ABC=60°,
∵∠BAD=∠CBE,
∴∠EDF=∠BAD+∠ABD=∠CBE+∠ABD=∠ABC=60°.
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