直线与圆的方程复习讲义.docx
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直线与圆的方程复习讲义
一.直线与方程考点
1.直线的倾斜角
2.斜率公式
3.直线方程的五种形式
4.两条直线的位置关系
5.几种距离
6.直线系方程
二.圆与方程考点
1.圆的定义
2.圆的标准方程
3.圆的一般方程
4.确定圆的方程的方法和步骤
5.点与圆的位置关系
6.判断直线与圆的位置关系常用的两种方法
7.圆与圆的位置关系
三.直线与方程考法
题型一 直线的倾斜角与斜率
例1 经过P(0,-1)作直线l,若直线l与连接A(1,-2),B(2,1)的线段总有公共点,则直线l的斜率k和倾斜角α的取值范围分别为________,________.
思维点拨 注意倾斜角是锐角还是钝角.
答案 [-1,1] [0,]∪[,π)
解析 如图所示,结合图形:
为使l与线段AB总有公共点,则kPA≤k≤kPB,而kPB>0,kPA<0,故k<0时,倾斜角α为钝角,k=0时,α=0,k>0时,α为锐角.
又kPA==-1,
kPB==1,∴-1≤k≤1.
又当0≤k≤1时,0≤α≤;
当-1≤k<0时,≤α<π.
故倾斜角α的取值范围为α∈[0,]∪[,π).
思维升华 直线倾斜角的范围是[0,π),而这个区间不是正切函数的单调区间,因此根据斜率求倾斜角的范围时,要分与两种情况讨论.由正切函数图象可以看出,当α∈时,斜率k∈[0,+∞);当α=时,斜率不存在;当α∈时,斜率k∈(-∞,0).
(1)若直线l与直线y=1,x=7分别交于点P,Q,且线段PQ的中点坐标为(1,-1),则直线l的斜率为( )
A.B.-C.-D.
(2)直线xcosα+y+2=0的倾斜角的范围是( )
A.∪ B.∪
C. D.
答案
(1)B
(2)B
解析
(1)依题意,设点P(a,1),Q(7,b),
则有,解得a=-5,b=-3,
从而可知直线l的斜率为=-.
(2)由xcosα+y+2=0得直线斜率k=-cosα.
∵-1≤cosα≤1,∴-≤k≤.
设直线的倾斜角为θ,则-≤tanθ≤.
结合正切函数在∪上的图象可知,
0≤θ≤或≤θ<π.
题型二 求直线的方程
例2 根据所给条件求直线的方程:
(1)直线过点(-4,0),倾斜角的正弦值为;
(2)直线过点(-3,4),且在两坐标轴上的截距之和为12;
(3)直线过点(5,10),且到原点的距离为5.
解
(1)由题设知,该直线的斜率存在,故可采用点斜式.
设倾斜角为α,则sinα=(0<α<π),
从而cosα=±,则k=tanα=±.
故所求直线方程为y=±(x+4).
即x+3y+4=0或x-3y+4=0.
(2)由题设知截距不为0,设直线方程为+=1,
又直线过点(-3,4),
从而+=1,解得a=-4或a=9.
故所求直线方程为4x-y+16=0或x+3y-9=0.
(3)当斜率不存在时,所求直线方程为x-5=0;
当斜率存在时,设其为k,
则所求直线方程为y-10=k(x-5),
即kx-y+(10-5k)=0.
由点线距离公式,得=5,解得k=.
故所求直线方程为3x-4y+25=0.
综上知,所求直线方程为x-5=0或3x-4y+25=0.
思维升华 在求直线方程时,应先选择适当的直线方程的形式,并注意各种形式的适用条件.用斜截式及点斜式时,直线的斜率必须存在,而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线,截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线.故在解题时,若采用截距式,应注意分类讨论,判断截距是否为零;若采用点斜式,应先考虑斜率不存在的情况.
已知点A(3,4),求满足下列条件的直线方程:
(1)经过点A且在两坐标轴上截距相等;
(2)经过点A且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形.
解
(1)设直线在x,y轴上的截距均为a.
①若a=0,即直线过点(0,0)及(3,4).
∴直线的方程为y=x,即4x-3y=0.
②若a≠0,设所求直线的方程为+=1,
又点(3,4)在直线上,∴+=1,∴a=7.
∴直线的方程为x+y-7=0.
综合①②可知所求直线的方程为4x-3y=0或x+y-7=0.
(2)由题意可知,所求直线的斜率为±1.
又过点(3,4),由点斜式得y-4=±(x-3).
所求直线的方程为x-y+1=0或x+y-7=0.
题型三 直线方程的综合应用
例3 已知直线l过点P(3,2),且与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点,如图所示,求△ABO的面积的最小值及此时直线l的方程.
思维点拨 先设出AB所在的直线方程,再求出A,B两点的坐标,表示出△ABO的面积,然后利用相关的数学知识求最值.
解 方法一 设直线方程为+=1(a>0,b>0),
点P(3,2)代入得+=1≥2,得ab≥24,
从而S△AOB=ab≥12,当且仅当=时等号成立,这时k=-=-,从而所求直线方程为2x+3y-12=0.
方法二 依题意知,直线l的斜率k存在且k<0.
则直线l的方程为y-2=k(x-3)(k<0),
且有A,B(0,2-3k),
∴S△ABO=(2-3k)
=
≥
=×(12+12)=12.
当且仅当-9k=,即k=-时,等号成立.
即△ABO的面积的最小值为12.
故所求直线的方程为2x+3y-12=0.
思维升华 直线方程综合问题的两大类型及解法
(1)与函数相结合的问题:
解决这类问题,一般是利用直线方程中的x,y的关系,将问题转化为关于x(或y)的函数,借助函数的性质解决.
(2)与方程、不等式相结合的问题:
一般是利用方程、不等式的有关知识(如方程解的个数、根的存在性问题,不等式的性质、基本不等式等)来解决.
已知直线l:
kx-y+1+2k=0(k∈R).
(1)证明:
直线l过定点;
(2)若直线不经过第四象限,求k的取值范围;
(3)若直线l交x轴负半轴于A,交y轴正半轴于B,△AOB的面积为S(O为坐标原点),求S的最小值并求此时直线l的方程.
(1)证明 直线l的方程是k(x+2)+(1-y)=0,
令解得
∴无论k取何值,直线总经过定点(-2,1).
(2)解 由方程知,当k≠0时直线在x轴上的截距为-,在y轴上的截距为1+2k,要使直线不经过第四象限,则必须有解之得k>0;
当k=0时,直线为y=1,符合题意,故k≥0.
(3)解 由l的方程,得A,B(0,1+2k).
依题意得
解得k>0.
∵S=·|OA|·|OB|=··|1+2k|
=·=
≥×(2×2+4)=4,
“=”成立的条件是k>0且4k=,即k=,
∴Smin=4,此时直线l的方程为x-2y+4=0.
求直线方程忽视零截距致误
典例:
(12分)设直线l的方程为(a+1)x+y+2-a=0(a∈R).
(1)若l在两坐标轴上截距相等,求l的方程;
(2)若l不经过第二象限,求实数a的取值范围.
易错分析 本题易错点求直线方程时,漏掉直线过原点的情况.
规范解答
解
(1)当直线过原点时,该直线在x轴和y轴上的截距为零,∴a=2,方程即为3x+y=0.[2分]
当直线不经过原点时,截距存在且均不为0.
∴=a-2,即a+1=1.[4分]
∴a=0,方程即为x+y+2=0.[6分]
(2)将l的方程化为y=-(a+1)x+a-2,
∴或∴a≤-1.[10分]
综上可知a的取值范围是a≤-1.[12分]
温馨提醒
(1)在求与截距有关的直线方程时,注意对直线的截距是否为零进行分类讨论,防止忽视截距为零的情形,导致产生漏解.
(2)常见的与截距问题有关的易误点有:
“截距互为相反数”;“一截距是另一截距的几倍”等,解决此类问题时,要先考虑零截距情形,注意分类讨论思想的运用.
方法与技巧
直线的倾斜角和斜率的关系:
(1)任何直线都存在倾斜角,但并不是任意直线都存在斜率.
(2)直线的倾斜角α和斜率k之间的对应关系:
α
0°
0°<α<90°
90°
90°<α<180°
k
0
k>0
不存在
k<0
失误与防范
与直线方程的适用条件、截距、斜率有关问题的注意点
(1)明确直线方程各种形式的适用条件
点斜式、斜截式方程适用于不垂直于x轴的直线;两点式方程不能表示垂直于x、y轴的直线;截距式方程不能表示垂直于坐标轴和过原点的直线.
(2)截距不是距离,距离是非负值,而截距可正可负,可为零,在与截距有关的问题中,要注意讨论截距是否为零.
(3)求直线方程时,若不能断定直线是否具有斜率时,应注意分类讨论,即应对斜率是否存在加以讨论.
A组 专项基础训练
(时间:
45分钟)
1.若方程(2m2+m-3)x+(m2-m)y-4m+1=0表示一条直线,则参数m满足的条件是( )
A.m≠- B.m≠0
C.m≠0且m≠1 D.m≠1
答案 D
解析 由 解得m=1,
故m≠1时方程表示一条直线.
2.直线xsin+ycos=0的倾斜角α是( )
A.- B.
C. D.
答案 D
解析 ∵tanα=-=-tan=tanπ,
∵α∈[0,π),∴α=π.
3.直线x+(a2+1)y+1=0的倾斜角的取值范围是( )
A. B.
C.∪ D.∪
答案 B
解析 ∵直线的斜率k=-,∴-1≤k<0,则倾斜角的范围是.
4.两条直线l1:
-=1和l2:
-=1在同一直角坐标系中的图象可以是( )
答案 A
解析 化为截距式+=1,+=1.
假定l1,判断a,b,确定l2的位置,知A项符合.
5.已知直线PQ的斜率为-,将直线绕点P顺时针旋转60°所得的直线的斜率为( )
A.B.-C.0D.1+
答案 A
解析 直线PQ的斜率为-,则直线PQ的倾斜角为120°,所求直线的倾斜角为60°,tan60°=.
6.若直线l的斜率为k,倾斜角为α,而α∈∪,则k的取值范围是__________.
答案 [-,0)∪
解析 当≤α<时,≤tanα<1,
∴≤k<1.
当≤α<π时,-≤tanα<0.
∴k∈∪[-,0).
7.直线l:
ax+(a+1)y+2=0的倾斜角大于45°,则a的取值范围是________________.
答案 (-∞,-)∪(0,+∞)
解析 当a=-1时,直线l的倾斜角为90°,符合要求;
当a≠-1时,直线l的斜率为-,只要->1或-<0即可,
解得-10.
综上可知,实数a的取值范围是(-∞,-)∪(0,+∞).
8.若ab>0,且A(a,0)、B(0,b)、C(-2,-2)三点共线,则ab的最小值为________.
答案 16
解析 根据A(a,0)、B(0,b)确定直线的方程为+=1,又C(-2,-2)在该直线上,故+=1,
所以-2(a+b)=ab.又ab>0,故a<0,b<0.
根据基本不等式ab=-2(a+b)≥4,从而≤0(舍去)或≥4,故ab≥16,当且仅当a=b=-4时取等号.即ab的最小值为16.
9.已知直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为3,分别求满足下列条件的直线l的方程:
(1)过定点A(-3,4);
(2)斜率为.
解
(1)设直线l的方程是y=k(x+3)+4,它在x轴,y轴上的截距分别是--3,3k+4,
由已知,得(3k+4)=±6,
解得k1=-或k2=-.
故直线l的方程为2x+3y-6=0或8x+3y+12=0.
(2)设直线l在y轴上的截距为b,则直线l的方程是
y=x+b,它在x轴上的截距是-6b,
由已知,得|-6b·b|=6,∴b=±1.
∴直线l的方程为x-6y+6=0或x-6y-6=0.
10.如图,射线OA、OB分别与x轴正半轴成45°和30°角,过点P(1,0)作直线AB分别交OA、OB于A、B两点,当AB的中点C恰好落在直线y=x上时,求直线AB的方程.
解 由题意可得kOA=tan45°=1,kOB=tan(180°-30°)=-,
所以直线lOA:
y=x,lOB:
y=-x.
设A(m,m),B(-n,n),
所以AB的中点C,
由点C在y=x上,且A、P、B三点共线得
解得m=,所以A(,).
又P(1,0),所以kAB=kAP==,
所以lAB:
y=(x-1),
即直线AB的方程为(3+)x-2y-3-=0.
B组 专项能力提升
(时间:
15分钟)
11.若直线ax+by=ab(a>0,b>0)过点(1,1),则该直线在x轴,y轴上的截距之和的最小值为( )
A.1 B.2
C.4 D.8
答案 C
解析 ∵直线ax+by=ab(a>0,b>0)过点(1,1),
∴a+b=ab,即+=1,
∴a+b=(a+b)=2++≥2+2=4,
当且仅当a=b=2时上式等号成立.
∴直线在x轴,y轴上的截距之和的最小值为4.
12.过点P(-2,3)且与两坐标轴围成的三角形面积为12的直线共有( )
A.1条 B.2条
C.3条 D.4条
答案 C
解析 设过点P(-2,3)且与两坐标轴围成的三角形面积为12的直线的斜率为k,则有直线的方程为y-3=k(x+2),即kx-y+2k+3=0,它与坐标轴的交点分别为M(0,2k+3)、N.
再由12=|OM|·|ON|=|2k+3|×|-2-|,可得|4k++12|=24,即4k++12=24,或4k++12=-24.解得k=或k=或k=,
故满足条件的直线有3条.
13.若直线l1:
y=k(x-6)与直线l2关于点(3,1)对称,则直线l2恒过定点________.
答案 (0,2)
解析 直线l1:
y=k(x-6)恒过定点(6,0),定点关于点(3,1)对称的点为(0,2).又直线l1:
y=k(x-6)与直线l2关于点(3,1)对称,故直线l2恒过定点(0,2).
14.已知A(3,0),B(0,4),直线AB上一动点P(x,y),则xy的最大值是________.
答案 3
解析 直线AB的方程为+=1,
设P(x,y),则x=3-y,
∴xy=3y-y2=(-y2+4y)
=[-(y-2)2+4]≤3.
即当P点坐标为时,xy取最大值3.
15.设点A(-1,0),B(1,0),直线2x+y-b=0与线段AB相交,则b的取值范围是________.
答案 [-2,2]
解析 b为直线y=-2x+b在y轴上的截距,
如图,当直线y=-2x+b过点A(-1,0)和点B(1,0)时b分别取得最小值和最大值.
∴b的取值范围是[-2,2].
题型一 两条直线的平行与垂直
例1 已知两条直线l1:
ax-by+4=0和l2:
(a-1)x+y+b=0,求满足下列条件的a,b的值.
(1)l1⊥l2,且l1过点(-3,-1);
(2)l1∥l2,且坐标原点到这两条直线的距离相等.
思维点拨 本题考查两直线平行或垂直成立的充要条件,解题易错点在于忽略斜率不存在的情况.
解
(1)方法一 由已知可得l2的斜率存在,∴k2=1-a.
若k2=0,则1-a=0,a=1.
∵l1⊥l2,直线l1的斜率k1必不存在,即b=0.
又∵l1过点(-3,-1),∴-3a+4=0,即a=(矛盾).
∴此种情况不存在,∴k2≠0.
即k1,k2都存在,∵k2=1-a,k1=,l1⊥l2,
∴k1k2=-1,即(1-a)=-1.①
又∵l1过点(-3,-1),∴-3a+b+4=0.②
由①②联立,解得a=2,b=2.
方法二 由于l1⊥l2,所以a(a-1)+(-b)·1=0.
即b=a2-a.①
又因为l1过点(-3,-1).
所以-3a+b+4=0.②
联立①②可得
经验证,符合题意.
故a=2,b=2.
(2)∵l2的斜率存在,l1∥l2,∴直线l1的斜率存在,
k1=k2,即=1-a.③
又∵坐标原点到这两条直线的距离相等,且l1∥l2,
∴l1,l2在y轴上的截距互为相反数,即=b.④
联立③④,解得或
∴a=2,b=-2或a=,b=2.
思维升华
(1)当直线方程中存在字母参数时,不仅要考虑到斜率存在的一般情况,也要考虑到斜率不存在的特殊情况.同时还要注意x、y的系数不能同时为零这一隐含条件.
(2)在判断两直线平行、垂直时,也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论.
已知两直线l1:
x+ysinα-1=0和l2:
2x·sinα+y+1=0,求α的值,使得:
(1)l1∥l2;
(2)l1⊥l2.
解
(1)方法一 当sinα=0时,直线l1的斜率不存在,l2的斜率为0,显然l1不平行于l2.
当sinα≠0时,k1=-,k2=-2sinα.
要使l1∥l2,需-=-2sinα,
即sinα=±.
所以α=kπ±,k∈Z,此时两直线的斜率相等.
故当α=kπ±,k∈Z时,l1∥l2.
方法二 由A1B2-A2B1=0,得2sin2α-1=0,
所以sinα=±.所以α=kπ±,k∈Z.
又B1C2-B2C1≠0,所以1+sinα≠0,即sinα≠-1.
故当α=kπ±,k∈Z时,l1∥l2.
(2)因为A1A2+B1B2=0是l1⊥l2的充要条件,
所以2sinα+sinα=0,即sinα=0,所以α=kπ,k∈Z.
故当α=kπ,k∈Z时,l1⊥l2.
题型二 两直线相交
例2 求经过直线l1:
3x+2y-1=0和l2:
5x+2y+1=0的交点,且垂直于直线l3:
3x-5y+6=0的直线l的方程.
思维点拨 可先求出l1与l2的交点,再用点斜式;也可利用直线系方程求解.
解 方法一 先解方程组
得l1,l2的交点坐标为(-1,2),
再由l3的斜率求出l的斜率为-,
于是由直线的点斜式方程求出l:
y-2=-(x+1),即5x+3y-1=0.
方法二 由于l⊥l3,故l是直线系5x+3y+C=0中的一条,
而l过l1,l2的交点(-1,2),
故5×(-1)+3×2+C=0,由此求出C=-1,
故l的方程为5x+3y-1=0.
方法三 由于l过l1,l2的交点,故l是直线系3x+2y-1+λ(5x+2y+1)=0中的一条,
将其整理,得(3+5λ)x+(2+2λ)y+(-1+λ)=0.
其斜率为-=-,解得λ=,
代入直线系方程得l的方程为5x+3y-1=0.
思维升华
(1)两直线交点的求法
求两直线的交点坐标,就是解由两直线方程组成的方程组,以方程组的解为坐标的点即为交点.
(2)常见的三大直线系方程
①与直线Ax+By+C=0平行的直线系方程是
Ax+By+m=0(m∈R且m≠C).
②与直线Ax+By+C=0垂直的直线系方程是
Bx-Ay+m=0(m∈R).
③过直线l1:
A1x+B1y+C1=0与l2:
A2x+B2y+C2=0的交点的直线系方程为A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(λ∈R),但不包括l2.
如图,设一直线过点(-1,1),它被两平行直线l1:
x+2y-1=0,l2:
x+2y-3=0所截的线段的中点在直线l3:
x-y-1=0上,求其方程.
解 与l1、l2平行且距离相等的直线方程为x+2y-2=0.
设所求直线方程为(x+2y-2)+λ(x-y-1)=0,
即(1+λ)x+(2-λ)y-2-λ=0.又直线过(-1,1),
∴(1+λ)(-1)+(2-λ)·1-2-λ=0.
解得λ=-.∴所求直线方程为2x+7y-5=0.
题型三 距离公式的应用
例3 正方形的中心为点C(-1,0),一条边所在的直线方程是x+3y-5=0,求其他三边所在直线的方程.
思维点拨 中心C到各边的距离相等.
解 点C到直线x+3y-5=0的距离
d==.
设与x+3y-5=0平行的一边所在直线的方程是x+3y+m=0(m≠-5),
则点C到直线x+3y+m=0的距离
d==,
解得m=-5(舍去)或m=7,
所以与x+3y-5=0平行的边所在直线的方程是x+3y+7=0.
设与x+3y-5=0垂直的边所在直线的方程是3x-y+n=0,
则点C到直线3x-y+n=0的距离
d==,
解得n=-3或n=9,
所以与x+3y-5=0垂直的两边所在直线的方程分别是3x-y-3=0和3x-y+9=0.
思维升华 正方形的四条边两两平行和垂直,设平行直线系和垂直直线系可以较方便地解决,解题时要结合图形进行有效取舍.本题的解法可以推广到求平行四边形和矩形各边所在直线的方程.
运用点到直线的距离公式时,需把直线方程化为一般式;运用两平行线的距离公式时,需先把两平行线方程中x,y的系数化为相同的形式.
已知点P(2,-1).
(1)求过P点且与原点距离为2的直线l的方程;
(2)求过P点且与原点距离最大的直线l的方程,并求出最大距离.
(3)是否存在过P点且与原点距离为6的直线?
若存在,求出方程;若不存在,请说明理由.
解
(1)过P点的直线l与原点距离为2,而P点坐标为(2,-1),可见,过P(2,-1)垂直于x轴的直线满足条件.
此时l的斜率不存在,其方程为x=2.
若斜率存在,设l的方程为y+1=k(x-2),
即kx-y-2k-1=0.
由已知,得=2,解之得k=.
此时l的方程为3x-4y-10=0.
综上,可得直线l的方程为x=2或3x-4y-10=0.
(2)作图可证过P点与原点O距离最大的直线是过P点且与PO垂直的直线,
由l⊥OP,得klkOP=-1.
所以kl=-=2.
由直线方程的点斜式得y+1=2(x-2),
即2x-y-5=0,
即直线2x-y-5=0是过P点且与原点O距离最大的直线,最大距离为=.
(3)由
(2)可知,过P点不存在到原点距离超过的直线,因此不存在过P点且与原点距离为6的直线.
题型四 对称问题
例4 已知直线l:
2x-3y+1=0,点A(-1,-2).求:
(1)点A关于直线l的对称点A′的坐标;
(2)直线m:
3x-2y-6=0关于直线l的对称直线m′的方程;
(3)直线l关于点A(-1,-2)对称的直线l′的方程.
思维点拨 解决对称问题,不管是轴对称还是中心对称,一般都要转化为点之间的对称问题.
解
(1)设A′(x,y),
再由已知
解得∴A′(-,).
(2)在直线m上取一点,如M(2,0),
则M(2,0)关于直线l的对称点必在m′上.
设对称点为M′(a,b),则
解得M′(,).
设m与l的交点为N,则由
得N(4,3).
又∵m′经过点N(4,3),
∴由两点式得直线方程为9x-46y+102=0.
(3)设P(x,y)为l′上任意一点,
则P(x,y)关于点A(-1,-2)的对称点为P′(-2-x,-4-y),
∵P′在直线l上,∴2(-2-x)-3(-4-y)+1=0,
即2x-3y-9=0.
思维升华
(1)解决点关于直线对称问题要把握两点,点M与点N关于直线l对称,则线段MN的中点在直线l上,直线l与直线MN垂直.
(2)如果是直线或点关于点成中心对称问题,则只需运用中点公式就可解决问题.
(3)若直线l1、l2关于直线l对称,则有如下性质:
①若直线l1与l2相交,则交点在直线l上;②若点B在直线l1上,则其关于直线l的对称点B′在直线l2上.
(2013·湖南)在等腰直角三角形ABC中,AB=AC=4,点P是边AB上异于A,B的一点,光线从点P出发,经BC,CA发射后又回到原点P
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