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实际问题与一元一次方程
3.4 实际问题与一元一次方程
第1课时 和差倍分问题
01 教学目标
能够找出实际问题中的已知数和未知数,分析它们之间的数量关系,列一元一次方程解决和差倍分问题.
02 预习反馈
出青林场今年植树2800棵,比去年植树的2倍还多400棵,去年植树多少棵?
(1)这个题目中的已知量是今年植树棵树,未知量是去年植树棵树;
(2)这个题目中的等量关系是今年植树棵树=2×去年植树棵树+400棵;
(3)列出方程解答这个问题.
解:
设去年植树x棵.根据题意,得
2800=2x+400.
解得x=1200.
答:
去年植树1200棵.
03 例题讲解
例 清池中学少年宫为鼓励阳光少年自尊自爱,勤奋学习,准备对五名表现相当优秀的阳光少年进行奖励.通过了解,好乐多超市每支钢笔的价格比每本笔记本高8元,用124元恰好可以买到3支钢笔和2本笔记本.每支钢笔和每本笔记本的价格各是多少元?
【分析】 设每支钢笔的价格为x元,则每本笔记本的价格为(x-8)元.根据用124元恰好可以买到3支钢笔和2本笔记本,列一元一次方程求解.
【解答】 设每支钢笔的价格为x元,则每本笔记本的价格为(x-8)元.根据题意,得
3x+2(x-8)=124.解得x=28.
则x-8=20(元).
答:
每支钢笔的价格为28元,每本笔记本的价格为20元.
【点拨】 用“各分量之和等于总量”列一元一次方程.
【跟踪训练】 为促进教育均衡发展,A市实行“阳光分班”,某校七年级一班共有新生45人,其中男生比女生多3人,求该班男生、女生各有多少人.
解:
设女生有x人,根据题意,得
x+x+3=45.
解得x=21.
则x+3=24.
答:
该班男生有24人,女生有21人.
04 巩固训练
1.某市对城区主干道进行绿化,计划把某一段公路的一侧全部栽上桂花树,要求路的两端各栽一棵,并且每两棵树的间隔相等,如果每隔5米栽1棵,那么树苗缺21棵;如果每隔6米栽1棵,那么树苗正好用完,设原有树苗x棵,则根据题意列出方程正确的是(A)
A.5(x+21-1)=6(x-1)B.5(x+21)=6(x-1)
C.5(x+21-1)=6xD.5(x+21)=6x
【点拨】 用表示同一个量的两个不同的式子相等列一元一次方程.
2.把300个苹果按4∶5∶6分给幼儿园的小、中、大三个班.小班、中班、大班各分得多少个苹果?
解:
设一份为x个苹果,则小班、中班、大班分别为4x、5x、6x.
根据题意,得4x+5x+6x=300.
解方程,得x=20.
则4x=80,5x=100,6x=120.
答:
小班、中班、大班各分得80、100、120个苹果.
05 课堂小结
用一元一次方程解决实际问题的基本过程如下:
这一过程一般包括设、列、解、检、答等步骤,即设未知数,列方程,解方程,检验所得结果,确定答案,正确分析问题中的相等关系是列方程的基础.
第2课时 数字问题
01 教学目标
能够列一元一次方程解决数字问题.
02 预习反馈
1.数的表示方法:
一个三位数,一般可设百位数字为a,十位数字是b,个位数字为c(其中a、b、c均为1~9之间的整数),则这个三位数表示为:
100a+10b+c.
2.数字问题中常见数的表示:
两个连续整数之间的关系,较大的比较小的大1;偶数用2n表示,与之相邻的偶数用2n+2或2n-2表示;奇数用2n+1或2n-1表示.
03 例题讲解
例 一个两位数,个位上的数字是1,把这个两位数的数字对调后,得到的新数比原两位数小18,求原两位数.
【分析】 设原两位数的十位数字为x,则原两位数可以表示为10x+1,十字数字与个位数字对调后得到的新两位数为10+x.根据等量关系“原两位数-新两位数=18”即可列方程求解.
【解答】 设原两位数的十位数字为x,由题意,得
10x+1-(10+x)=18.
解得x=3.
答:
原两位数为31.
【跟踪训练】 一个三位数,十位上的数字比个位上的数字大3,且比百位上的数字小1,三个数字的和的50倍比这个三位数小2,求这个三位数.
解:
设十位上数字为x,则个位数字为x-3,百位数字为x+1,这个三位数为100(x+1)+10x+x-3.根据题意,得
50(x+x-3+x+1)=100(x+1)+10x+x-3-2.
解得x=5.
则这个三位数为:
100×6+10×5+5-3=652.
04 巩固训练
一个两位数,个位上的数字比十位上的数字大5,且个位上的数字与十位上的数字的和比这个两位数的大6,求这个两位数.
解:
设十位上的数字为x,则个位上的数字为(x+5).
根据题意,得
x+x+5=[10x+(x+5)]+6.
解得x=4.
则个位上的数字为:
x+5=9.
答:
这个两位数为49.
05 课堂小结
通过本节课的学习,你有哪些收获?
第3课时 行程问题
01 教学目标
利用路程、时间、速度之间关系,能借助画示意图列一元一次方程解决行程问题.
02 预习反馈
甲、乙两人,同时出发,相对而行,距离是50km,甲每小时走3km,乙每小时走2km,问他俩几小时可以相遇?
【分析与解答】 甲、乙相遇时,他们共行的路程为50__km.
从路程角度分析:
甲行走的路程+乙行走的路程=50__km.
从时间角度分析:
甲行走的时间=乙行走的时间.
如果设甲、乙x个小时可以相遇,此时相等关系:
甲行走的路程+乙行走的路程=50__km.
即甲行走的速度×甲行走的时间+乙行走的速度×乙行走的时间=50__km.
则可得方程:
3x+2x=50.
解得x=10.
所以他俩10小时可以相遇.
03 名校讲坛
例 有一所中学组织学生到校外参加义务植树活动.一部分学生骑自行车先走,速度为9千米/时;40分钟后其余同学坐汽车出发,速度为45千米/时,结果他们同时到达目的地.目的地距学校多少千米?
【分析】 设目的地离学校x千米.路程、速度、时间之间的关系如下表:
路程/千米
速度/(千米/时)
时间/时
骑自行车
x
9
乘汽车
x
45
根据题目中的等量关系“骑自行车所用时间-乘汽车所用时间=40分钟”列方程求解.
【解答】 设目的地离学校x千米.根据题意,得
-=.解得x=.
答:
目的地距学校千米.
【点拨】 行程问题常见关系式如下:
(1)路程=速度×时间;
(2)相遇问题:
全路程=甲走的路程+乙走的路程;
(3)追及问题:
同地不同时出发:
前者走的路程=追者走的路程;同时不同地出发:
前者走的路程+两地距离=追者走的路程.
(4)航行问题:
顺水速度=静水速度+水流速度;
逆水速度=静水速度-水流速度.
【跟踪训练】 一队学生去校外进行训练,他们以5千米/时的速度行进,走了18分钟的时候,学校要将一个紧急通知传给队长,通讯员从学校出发,骑自行车以14千米/时的速度按原路追上去,通讯员需多少时间可以追上学生队伍?
解:
设通讯员需x小时可以追上学生队伍.由题意,得
5×+5x=14x,解得x=.
答:
通讯员需小时可以追上学生队伍.
04 巩固训练
1.一列火车长150m,以15m/s的速度通过600m的隧道,从火车进入隧道口算起,到这列火车完全通过隧道所需时间是(C)
A.30sB.40sC.50sD.60s
2.一架飞机在两个城市间飞行,无风时每小时飞行552公里,在一次往返飞行中,飞机顺风飞行用了5.5小时,逆风飞行用了6小时,求这次飞行的风速.
解:
设这次飞行的风速为x公里每小时,依题意,得
5.5(552+x)=6(552-x).
解得x=24.
答:
这次飞行的风速为24公里每小时.
3.某体育场的环形跑道长400米,甲、乙两人在跑道上练习跑步,甲平均每分钟跑250米,乙平均每分钟跑290米,现在两人同时从同地同向出发,经过多长时间两人才能再次相遇?
解:
设经过x分钟后两人再次相遇.
则甲跑的路程为250x米,乙跑的路程为290x米.
由题意,得
290x-250x=400.
解得x=10.
答:
经过10分钟后两人再次相遇.
05 课堂小结
解决行程问题的关键是什么?
如何找出等量关系?
第4课时 产品配套问题
01 教学目标
会用一元一次方程解决产品配套问题.
02 预习反馈
阅读教材P100例1,完成下列内容.
某服装厂有工人54人,每人每天可加工上衣8件或裤子10条,应怎样分配人数,才能使每天生产的上衣和裤子配套?
设x人做上衣,则做裤子的人数为(54-x)人,根据题意,可列方程为8x=10(54-x),解得x=30.
03 例题讲解
例 (教材P100例1)某车间有22名工人,每人每天可以生产1200个螺钉或2000个螺母.1个螺钉需要配2个螺母,为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套,应安排生产螺钉和螺母的工人各多少名?
分析:
每天生产的螺母数量是螺钉数量的2倍时,它们刚好配套.
解:
设应安排x名工人生产螺钉,(22-x)名工人生产螺母.
根据螺母数量应是螺钉数量的2倍,列出方程
2000(22-x)=2×1200x.
解方程,得5(22-x)=6x.
110-5x=6x.
11x=110.
x=10.
22-x=12.
答:
应安排10名工人生产螺钉,12名工人生产螺母.
【点拨】 解决有关配套问题的应用题时,关键是明确配套的物品之间的数量关系,它是列方程的依据.若m个A与n个B配套,则A的个数∶B的个数=m∶n.
【跟踪训练】 一张方桌由一个桌面和四条桌腿组成,如果1立方米木料可制作方桌的桌面50个或制作桌腿300条,现有5立方米木料,请你设计一下,用多少木料做桌面,用多少木料做桌腿,恰好配成方桌多少张?
解:
设用x立方米木料做桌面,那么桌腿用木料(5-x)立方米,根据题意,得
4×50x=300(5-x).解得x=3.
所以5-x=2,50x=150.
答:
用3立方米木料做桌面,用2立方米木料做桌腿,恰好配成方桌150张.
04 巩固训练
1.某土建工程共需动用15台挖运机械,每台机械每小时能挖土8m3或者运土4m3,为了使挖出的土能及时运走,安排了x台机械运土,则x应满足方程(A)
A.4x=8(15-x)B.8x=4(15-x)
C.15-4x=8xD.8x-4x=15
2.东方红机械厂加工车间有90名工人,平均每人每天加工大齿轮20个或小齿轮15个,已知2个大齿轮与3个小齿轮配成一套,问一天最多可以生产多少套这样成套的产品?
解:
设安排x名工人加工大齿轮.由题意,得
×20x=15(90-x).解得x=30.
则90-x=60.
故需要安排30人加工大齿轮,60人加工小齿轮,才能使每天加工的大小齿轮刚好配套.
60×15÷3=300(套).
答:
一天最多可以生产300套这样成套的产品.
05 课堂小结
本节课主要学习了配套问题,配套问题通常从配套后各量间的倍、分关系寻找相等关系,建立方程.
第5课时 工程问题
01 教学目标
会用一元一次方程解决工程问题.
02 预习反馈
阅读教材P100例2,完成下列内容.
某中学的学生自己动手整修操场,如果让初二学生单独工作,需要6小时完成;如果让初三学生单独工作,需要4小时完成.现在由初二、初三学生一起工作x小时,完成了任务.
根据题意,初二学生的工作效率是,初三学生的工作效率是,可列方程为(+)x=1,解得x=.
03 例题讲解
例 (教材P100例2)整理一批图书,由一个人做要40h完成,现计划由一部分人先做4h,然后增加2人与他们一起做8h,完成这项工作,假设这些人的工作效率相同,具体应先安排多少人工作?
分析:
如果把总工作量设为1,则人均效率(一个人1h完成的工作量)为,x人先做4h完成的工作量为,增加2人后再做8h完成的工作量为,这两个工作量之和应等于总工作量.
解:
设安排x人先做4h.
根据先后两个时段的工作量之和应等于总工作,列出方程
+=1.
解方程,得
4x+8(x+2)=40.
4x+8x+16=40.
12x=24.
x=2.
答:
应安排2人先做4h.
【点拨】
(1)在工程问题中,通常把全部工作量简单地表示为1.如果一件工作需要n小时完成,那么平均每小时完成的工作量就是.
(2)工作量=人均效率×人数×时间.
(3)各阶段工作量的和=总工作量,各人完成的工作量的和=完成的工作总量.
【跟踪训练】 一件工作,甲单独做15小时完成,乙单独做10小时完成,甲先单独做9小时,后因甲有其他任务调离,余下的任务由乙单独完成,那么乙还要多少小时完成?
解:
设乙还要x小时完成,根据题意,得
+=1,解得x=4.
答:
余下的任务由乙单独完成,那么乙还要4小时完成.
04 巩固训练
1.维修一段管道,师傅单独维修需4小时完成,徒弟单独维修需6小时完成.如果徒弟先修30分钟,再与师傅一块维修,还需多少时间完成?
解:
还需x小时才能完成.根据题意,得
×++=1,
解得x=2.2.
答:
还需要2.2小时完成.
2.同时点燃两支高度相同的蜡烛,第一支4小时后燃尽,第二支3小时后燃尽,若它们以各自的速度燃烧,则点燃几小时后,第一支蜡烛燃烧剩下部分的高度是第二支燃烧剩下部分的高度的2倍?
解:
设点燃x小时后,第一支蜡烛燃烧剩下部分的高度是第二支燃烧剩下部分的高度的2倍.
根据题意,得1-x=2(1-x).
解得x=.
答:
点燃小时后,第一支蜡烛燃烧剩下部分的高度是第二支燃烧剩下部分的高度的2倍.
05 课堂小结
本节课主要学习了工程问题,工程问题通常把总工作量看作1列方程.
第6课时 销售问题
01 教学目标
理解商品销售中所涉及的进价、原价、售价、利润及利润率等概念,能利用一元一次方程解决商品销售中的一些实际问题.
02 预习反馈
阅读教材P102探究1,完成下列内容.
1.商品原价200元,九折出售,卖价是180元.
2.商品进价是30元,售价是50元,则利润是20元.
3.某商品原来每件零售价是a元,现在每件降价10%,降价后每件零售价是a(1-10%)元.
4.某种品牌的彩电降价20%以后,每台售价为a元,则该品牌彩电每台原价应是元.
5.某商品按定价的八折出售,售价是14.8元,则原定价是18.5元.
03 例题讲解
例 (教材P102探究1)一商店在某一时间以每件60元的价格卖出两件衣服,其中一件盈利25%,另一件亏损25%,卖这两件衣服总的是盈利还是亏损,或是不盈不亏?
【分析】两件衣服共卖了120(60×2)元,是盈是亏要看这家商店买进这两件衣服时花了多少钱.如果进价大于售价就亏损,反之就盈利.
【解答】 设盈利25%的那件衣服的进价是x元,它的商品利润就是0.25x元.根据进价与利润的和等于售价,列出方程
x+0.25x=60.
解得x=48.
设另一件衣服的进价为y元,它的商品利润是-0.25y元,列出方程
y-0.25y=60.
解得y=80.
两件衣服的进价是x+y=128元,而两件衣服的售价是60+60=120元.进价大于售价,由此可知卖,这两件衣服总共亏损8元.
【点拨】 销售问题中常用的关系式如下:
1.利润=售价-进价.
2.售价=标价×.
3.利润率=利润÷成本×100%.
4.利润=成本×利润率.
【跟踪训练】 某种商品每件的进价为250元,按标价的九折销售时,盈利15.2%,这种商品每件的标价是多少元?
解:
设标价为x元,则
0.9x-250=250×15.2%,解得x=320.
答:
标价为320元.
04 巩固训练
1.一件标价为300元的棉袄,按七折销售仍可获利20元.设这件棉袄的成本价为x元,根据题意,下面所列方程正确的是(B)
A.300×7-x=20B.300×0.7-x=20
C.300×0.7=x-20D.300×7=x-20
2.一件服装标价200元,若以6折销售,仍可获利20%,则这件服装的进价是(A)
A.100元B.105元C.108元D.118元
3.某商场销售的一款空调每台的标价是3270元,在一次促销活动中,按标价的八折销售,仍可盈利9%.
(1)求这款空调每台的进价;(利润率==)
(2)在这次促销活动中,商场销售了这款空调共100台,问盈利多少元?
解:
(1)设这款空调每台的进价为x元,根据题意,得
3270×0.8-x=9%x,解得x=2400.
答:
这款空调每台的进价为2400元.
(2)100×2400×9%=21600(元).
答:
盈利21600元.
05 课堂小结
1.谈谈本节课学到了哪些知识?
学后有何感受?
2.商品销售中的基本等量关系有哪些?
第7课时 球赛积分问题
01 教学目标
通过探索球赛积分与胜、负场之间的数量关系,进一步体会方程是解决实际问题的数学模型,能利用一元一次方程球赛积分这类实际问题.
02 例题讲解
例 (教材P103探究2)某次篮球联赛的积分榜如下:
队名
比赛场次
胜场
负场
积分
前进
14
10
4
24
东方
14
10
4
24
光明
14
9
5
23
蓝天
14
9
5
23
雄鹰
14
7
7
21
远大
14
7
7
21
卫星
14
4
10
18
钢铁
14
0
14
14
(1)用式子表示总积分与胜、负场数之间的数量关系;
(2)某队的胜场总积分能等于它的负场总积分吗?
分析:
观察积分榜,从最下面一行数据可以看出:
负一场积1分.
设胜一场积x分,从表中其他任何一行可以列方程,求出x的值.例如,从第一行得方程
10x+1×4=24.
由此得x=2.
用积分榜中其他行可以验证,得出结论:
负一场积1分,胜一场积2分.
【解答】
(1)如果一个队胜m场,则负(14-m)场,胜场积分为2m,负场积分为14-m,总积分为2m+(14-m)=m+14.
(2)设一个队胜x场,则负(14-x)场.如果这个队的胜场总积分等于负场总积分,则得方程
2x=14-x.
由此得x=.
x(所胜的场数)的值必须是整数,所以x=不符合实际,由此可以判定没有哪个队的胜场总积分等于负场总积分.
【点拨】 球赛积分问题:
总积分=胜场数×胜1场的积分+负场数×负1场的积分+平场数×平1场的积分.
用方程解决实际问题时,不仅要注意解方程的过程是否正确,还要注意方程的解是否符合问题中的实际意义.
【跟踪训练】 某项球类比赛,每场比赛必须分出胜负,其中胜1场得2分,负1场得1分.某队在全部16场比赛中得到25分,求这个队胜、负场数分别是多少.
解:
设这个队胜x场,则负(16-x)场,根据题意,得
2x+1×(16-x)=25,解得x=9.
则16-x=7.
答:
这个队胜9场,负7场.
03 巩固训练
1.中超联赛中,甲足球队在联赛30场比赛中除输给乙足球队外,其他场次全部保持不败,取得了67个积分的骄人成绩,已知胜一场得3分,平一场得1分,负一场得0分,设甲足球队一共胜了x场,则可列方程为(A)
A.3x+(29-x)=67B.x+3(29-x)=67C.3x+(30-x)=67D.x+3(30-x)=67
2.一张数学试卷有20道选择题,规定答对一道得5分,不做或做错一道扣1分,结果某学生得了76分,则他做对的题数为16道.
3.爷爷与孙子下12盘棋(未出现和棋)后,得分相同,爷爷赢一盘记1分,孙子赢一盘记3分,两人各赢了多少盘?
解:
设爷爷一共赢了x盘象棋,则孙子赢了(12-x)盘象棋.由题意,得
x=(12-x)×3.
解得x=9.则12-9=3(盘).
答:
爷爷赢了9盘,孙子赢了3盘.
04 课堂小结
本节课主要学习了球赛积分表问题,其中的基本相等关系是总分等于胜、负、平场数乘以它们的单场积分的和.
第8课时 分段计费问题
01 教学目标
会从实际问题中抽象出数学模型,会用一元一次方程解决分段计费的实际问题.
02 例题讲解
例 (教材P104探究3)下表中有两种移动电话计费方式.
月使用费/元
主叫限定时间/min
主叫超时费/(元/min)
被叫
方式一
58
150
0.25
免费
方式二
88
350
0.19
免费
考虑下列问题:
(1)设一个月内用移动电话主叫为tmin(t是正整数).根据上表,列表说明:
当t在不同时间范围内取值时,按方式一和方式二如何计费;
(2)观察你的列表,你能从中发现如何根据主叫时间选择省钱的计费方式吗?
通过计算验证你的看法.
【解答】
(1)当t在不同时间范围内取值时,方式一和方式二的计费如下表:
主叫时间t/min
方式一计费/元
方式二计费/元
t小于150
58
88
t=150
58
88
t大于150
且小于350
58+0.25(t-150)
88
t=350
58+0.25(350-150)=108
88
t大于350
58+0.25(t-150)
88+0.19(t-350)
(2)观察
(1)中的表,可以发现:
主叫时间超出限定时间越长,计费越多,并且随着主叫时间的变化,按哪种方式的计费少也会变化,下面比较不同时间范围内方式一和方式二的计费情况.
①当t小于或等于150时,按方式一的计费少.
②当t从150增加到350时,按方式一的计费由58元增加到108元,而按方式二的计费一直是88元,因此,当t大于150并且小于350时,可能在某主叫时间按方式一和方式二的计费相等,列方程
58+0.25(t-150)=88,
解得t=270.
因此,如果主叫时间恰是270min,按两种方式的计费相等,都是88元;如果主叫时间大于150min且小于270min,按方式一的计费少于按方式二的计费(88元);如果主叫时间大于270min且小于350min,按方式一的计费多于按方式二的计费(88元).
③当t=350时,按方式二的计费少;
④当t大于350时,可以看出,按方式一的计费为108元加上超过350min部分的超时费[0.25(t-350)],按方式二的计费为88元加上超过350min部分的超时费[0.19(t-350)],按方式二的计费少.
综合:
当t小于270时,选择方案一省钱;
当t等于270时,选择两种方案一样;
当t大于270时,选择方案二省钱.
【跟踪训练】 某市出租车收费标准为:
行程不超过3km收起步价10元,超过3km的收费标准如下表.
路程(千米)
收费(元)
4
10+1.4
5
10+2.8
6
10+4.2
7
10+5.6
…
…
(1)若某人在该市乘坐出租车x(x>3)km,他应该支付的车费是多少元?
(2)若乘客支付的车费为31元,则他
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