华东师大版九年级上册第22章《一元二次方程》单元强化训练卷Word格式文档下载.docx
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24.解方程:
x2﹣2x﹣3=0.
八.根的判别式
25.若关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣m=0有两个不相等的实数根,则实数m的取值范围是 .
26.若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m=0有两个相等的实数根,则实数m的值为 .
九.根与系数的关系
27.关于x的方程(x﹣1)(x+2)=p2(p为常数)的根的情况,下列结论中正确的是( )
A.两个正根B.两个负根
C.一个正根,一个负根D.无实数根
28.设方程x2﹣3x+2=0的两根分别是x1,x2,则x1+x2的值为( )
A.3B.﹣
C.
D.﹣2
29.已知x1,x2是方程x2﹣3x﹣2=0的两根,则x12+x22的值为( )
A.5B.10C.11D.13
30.若x1,x2是方程x2﹣4x﹣2020=0的两个实数根,则代数式x12﹣2x1+2x2的值等于 .
31.方程x2+2x﹣3=0的两根为x1、x2,则x1•x2的值为 .
32.已知关于x的一元二次方程x2﹣4mx+3m2=0(m>0)的一个根比另一个根大2,则m的值为 .
33.已知x1,x2是一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的两根,则
= .
34.已知关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣2k+8=0有两个实数根x1,x2.
(1)求k的取值范围;
(2)若x13x2+x1x23=24,求k的值.
35.已知关于x的一元二次方程mx2﹣2mx+(m﹣1)=0.
(1)若方程的一个根是x=2,求m的值及另一个根;
(2)当m>1时方程有实数根吗?
请说明理由.
36.已知:
关于x的一元二次方程x2+mx=3(m为常数).
(1)证明:
无论m为何值,该方程都有两个不相等的实数根;
(2)若方程有一个根为2,求方程的另一个根.
十.由实际问题抽象出一元二次方程
37.如图,学校课外生物小组的试验园地的形状是长35米、宽20米的矩形.为便于管理,要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道,使种植面积为600平方米,则小道的宽为多少米?
若设小道的宽为x米,则根据题意,列方程为( )
A.35×
20﹣35x﹣20x+2x2=600
B.35×
20﹣35x﹣2×
20x=600
C.(35﹣2x)(20﹣x)=600
D.(35﹣x)(20﹣2x)=600
38.国家统计局统计数据显示,我国快递业务收入逐年增加.2017年至2019年我国快递业务收入由5000亿元增加到7500亿元.设我国2017年至2019年快递业务收入的年平均增长率为x,则可列方程为( )
A.5000(1+2x)=7500
B.5000×
2(1+x)=7500
C.5000(1+x)2=7500
D.5000+5000(1+x)+5000(1+x)2=7500
39.某厂家2020年1~5月份的口罩产量统计如图所示.设从2月份到4月份,该厂家口罩产量的平均月增长率为x,根据题意可得方程( )
A.180(1﹣x)2=461B.180(1+x)2=461
C.368(1﹣x)2=442D.368(1+x)2=442
40.如图,把一块长为40cm,宽为30cm的矩形硬纸板的四角剪去四个相同小正方形,然后把纸板的四边沿虚线折起,并用胶带粘好,即可做成一个无盖纸盒.若该无盖纸盒的底面积为600cm2,设剪去小正方形的边长为xcm,则可列方程为( )
A.(30﹣2x)(40﹣x)=600B.(30﹣x)(40﹣x)=600
C.(30﹣x)(40﹣2x)=600D.(30﹣2x)(40﹣2x)=600
41.1275年,我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中提出这样一个问题:
直田积八百六十四步,只云阔不及长一十二步.问阔及长各几步.意思是:
矩形面积864平方步,宽比长少12步,问宽和长各几步.若设长为x步,则可列方程为 .
十一.一元二次方程的应用
42.某年级举办篮球友谊赛,参赛的每两个队之间都要比赛一场,共要比赛36场,则参加此次比赛的球队数是( )
A.6B.7C.8D.9
43.目前以5G等为代表的战略性新兴产业蓬勃发展.某市2019年底有5G用户2万户,计划到2021年底全市5G用户数累计达到8.72万户.设全市5G用户数年平均增长率为x,则x值为( )
A.20%B.30%C.40%D.50%
44.有一人患了流感,经过两轮传染后,共有121人患了流感,每轮传染中平均每人传染了 个人.
45.如图是一张长12cm,宽10cm的矩形铁皮,将其剪去两个全等的正方形和两个全等的矩形,剩余部分(阴影部分)可制成底面积是24cm2的有盖的长方体铁盒.则剪去的正方形的边长为 cm.
46.某口罩生产厂生产的口罩1月份平均日产量为20000个,1月底因突然爆发新冠肺炎疫情,市场对口罩需求量大增,为满足市场需求,工厂决定从2月份起扩大产能,3月份平均日产量达到24200个.
(1)求口罩日产量的月平均增长率;
(2)按照这个增长率,预计4月份平均日产量为多少?
47.去年某商店“十一黄金周”进行促销活动期间,前六天的总营业额为450万元,第七天的营业额是前六天总营业额的12%.
(1)求该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额;
(2)去年,该商店7月份的营业额为350万元,8、9月份营业额的月增长率相同,“十一黄金周”这七天的总营业额与9月份的营业额相等.求该商店去年8、9月份营业额的月增长率.
十二.高次方程
48.将关于x的一元二次方程x2﹣px+q=0变形为x2=px﹣q,就可以将x2表示为关于x的一次多项式,从而达到“降次”的目的,又如x3=x•x2=x(px﹣q)=…,我们将这种方法称为“降次法”,通过这种方法可以化简次数较高的代数式.根据“降次法”,已知:
x2﹣x﹣1=0,且x>0,则x4﹣2x3+3x的值为( )
A.1﹣
B.3﹣
C.1+
D.3+
十三.无理方程
49.“通过等价变换,化陌生为熟悉,化未知为已知”是数学学习中解决问题的基本思维方式,例如:
解方程x﹣
=0,就可以利用该思维方式,设
=y,将原方程转化为:
y2﹣y=0这个熟悉的关于y的一元二次方程,解出y,再求x,这种方法又叫“换元法”.请你用这种思维方式和换元法解决下面的问题.
已知实数x,y满足
,求x2+y2的值.
50.阅读下列“问题”与“提示”后,将解方程的过程补充完整,求出x的值.
【问题】解方程:
x2+2x+4
﹣5=0.
【提示】可以用“换元法”解方程.
解:
设
=t(t≥0),则有x2+2x=t2
原方程可化为:
t2+4t﹣5=0
【续解】
参考答案
1.解:
依题意得:
m﹣2=2,
解得m=4.
故答案是:
4.
2.解:
把方程2(x2﹣1)+1=3x(x﹣1)转化为一般形式得:
x2﹣3x+1=0,二次项系数,一次项系数和常数项分别是1,﹣3,1.
故选:
A.
3.解:
∵a是方程x2﹣x﹣5=0的一个实根,
∴a2﹣a﹣5=0,即a2=a+5,
∴原式=(a+5﹣a)×
=5×
3
=15.
故答案为15.
4.解:
把x=0代入(a﹣1)x2﹣2x+a2﹣1=0得a2﹣1=0,解得a=±
1,
∵a﹣1≠0,
∴a=﹣1.
故答案为﹣1.
5.解:
∵关于x的方程x2+ax﹣2=0有一个根是1,
∴把x=1代入方程得:
1+a﹣2=0,
解得:
a=1,
故答案为:
1.
6.解:
把x=2+
代入方程得(2+
)2﹣4(2+
)+m=0,
解得m=1.
故答案为1.
7.解:
∵2(n≠0)是关于x的一元二次方程x2+mx+2n=0的一个根,
∴4+2m+2n=0,
∴n+m=﹣2,
﹣2.
8.解:
由题意可知:
m2﹣3m﹣2=0,
∴原式=4(m2﹣3m)+2
=4×
2+2
=10,
10.
9.解:
∵x=a是方程x2+2x﹣2=0的其中一根
∴a2+2a﹣2=0,
∴a2+2a=2,
∴2a2+4a﹣1=2(a2+2a)﹣1=2×
2﹣1=3.
故答案为3.
四.解一元二次方程-直接开平方法
10.解:
解方程ax2=b得:
x2=
,
∵关于x的一元二次方程ax2=b(ab>0)的两个根分别是x1=m+1与x2=2m﹣4,
∴(m+1)2=
,(2m﹣4)2=
∴b=a(m+1)2,b=a(﹣2m+4)2,
∴m+1=﹣2m+4,
m=1,
方程的两根为±
2,
即4=
b=4a,
∴
=
=4,
11.解:
将(x+m+2)2+b=0变形为[(x+2)+m]2+b=0,
∵(x+m)2+b=0的解为x1=3,x2=﹣1,
∴方程[(x+2)+m]2+b=0的解为x+2=3或x+2=﹣1,
所以x1=1,x2=﹣3.
故答案为x1=1,x2=﹣3.
12.解:
(x+1)2=9,
x+1=±
3,
x1=2,x2=﹣4.
13.解:
∵(x+2)★5=0,
∴(x+2)2﹣52=0,
∴(x+2)2=52,
∴x+2=±
5,
∴x1=3,x2=﹣7.
14.解:
(x﹣2)2=8﹣m,
当8﹣m≥0时,原方程有实数解,
取m=8,则(x﹣2)2=0,此时x1=x2=2.
五.解一元二次方程-配方法
15.解:
A、x2﹣2x﹣99=0化为(x﹣1)2=100,故本选项正确;
B、x2+8x+9=0化为(x+4)2=7,故本选项错误;
C、2x2﹣7x﹣4=0化为(x﹣
,故本选项正确;
D、3x2﹣4x﹣2=0化为(x﹣
B.
16.解:
∵2x2﹣6x=﹣1,
∴x2﹣3x=﹣
则x2﹣3x+
=﹣
+
,即(x﹣
∴h=﹣
,k=
D.
17.解:
∵x2+4x﹣4=0,
∴x2+4x=4,
则x2+4x+4=4+4,即(x+2)2=8,
∴m=2,n=8,
18.解:
x2﹣6x=1,
x2﹣6x+9=1+9,
9.
19.解:
方程x2+4x﹣7=0,
移项得:
x2+4x=7,
配方得:
x2+4x+4=11,即(x+2)2=11,
则k=11,
11.
20.解:
x2+4x=5,
x2+4x+4=9,
(x+2)2=9.
故答案为(x+2)2=9.
六.解一元二次方程-公式法
21.解:
∵a=1,b=1,c=﹣1,
∴△=12﹣4×
1×
(﹣1)=5>0,
∴x=
∴x1=
,x2=
;
七.解一元二次方程-因式分解法
22.解:
∵x2﹣2x=0,
∴x(x﹣2)=0,
∴x=0或x﹣2=0,
解得x1=0,x2=2.
23.解:
2x2﹣5x+3=0,
(2x﹣3)(x﹣1)=0,
∴2x﹣3=0或x﹣1=0,
x1=
,x2=1;
24.解:
原方程可以变形为(x﹣3)(x+1)=0
x﹣3=0,x+1=0
∴x1=3,x2=﹣1.
25.解:
由已知得:
△=b2﹣4ac=(﹣4)2﹣4×
(﹣m)=16+4m>0,
m>﹣4.
26.解:
∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+m=0有两个相等的实数根,
∴△=0,
∴(﹣2)2﹣4m=0,
∴m=1,
27.解:
∵关于x的方程(x﹣1)(x+2)=p2(p为常数),
∴x2+x﹣2﹣p2=0,
∴△=1+8+4p2=9+4p2>0,
∴方程有两个不相等的实数根,
根据根与系数的关系,方程的两个根的积为﹣2﹣p2<0,
∴一个正根,一个负根,
C.
28.解:
由x2﹣3x+2=0可知,其二次项系数a=1,一次项系数b=﹣3,
由根与系数的关系:
x1+x2=﹣
=3.
29.解:
根据题意得x1+x2=3,x1x2=﹣2,
所以x12+x22=(x1+x2)2﹣2x1x2=32﹣2×
(﹣2)=13.
30.解:
∵x1,x2是方程x2﹣4x﹣2020=0的两个实数根,
∴x1+x2=4,x12﹣4x1﹣2020=0,即x12﹣4x1=2020,
则原式=x12﹣4x1+2x1+2x2
=x12﹣4x1+2(x1+x2)
=2020+2×
4
=2020+8
=2028,
2028.
31.解:
∵方程x2+2x﹣3=0的两根为x1、x2,
∴x1•x2=
=﹣3.
﹣3.
32.解:
设方程的两根分别为t,t+2,
根据题意得t+t+2=4m,t(t+2)=3m2,
把t=2m﹣1代入t(t+2)=3m2得(2m﹣1)(2m+1)=3m2,
整理得m2﹣1=0,解得m=1或m=﹣1(舍去),
所以m的值为1.
33.解:
∵x1,x2是一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的两根,
∴x1x2=﹣1,
则
=﹣1,
﹣1.
34.解:
(1)由题意可知,△=(﹣4)2﹣4×
(﹣2k+8)≥0,
整理得:
16+8k﹣32≥0,
k≥2,
∴k的取值范围是:
k≥2.
(2)由题意得:
由韦达定理可知:
x1+x2=4,x1x2=﹣2k+8,
故有:
(﹣2k+8)[42﹣2(﹣2k+8)]=24,
k2﹣4k+3=0,
k1=3,k2=1,
又由
(1)中可知k≥2,
∴k的值为k=3.
k=3.
35.解:
(1)把x=2代入方程mx2﹣2mx+(m﹣1)=0得4m﹣4m+m﹣1=0,解得m=1,
此时方程为x2﹣2x=0,解得x1=2,x2=0,即方程的另一个根为0;
(2)方程有两个不相等的实数根,理由如下:
△=4m2﹣4m(m﹣1)=4m
∵m>1,
∴△>0,
∴方程有两个不相等的实数根.
36.
(1)证明:
x2+mx﹣3=0,
∵a=1,b=m,c=﹣3
∴△=b2﹣4ac=m2﹣4×
(﹣3)=m2+12,
∵m2≥0,
∴m2+12>0,
∴无论m为何值,该方程都有两个不相等的实数根;
(2)设方程的另一个根为x1,
则2•x1=
=﹣3,
∴x1=﹣
∴方程的另一个根为﹣
.
37.解:
依题意,得:
(35﹣2x)(20﹣x)=600.
38.解:
设我国2017年至2019年快递业务收入的年平均增长率为x,
由题意得:
5000(1+x)2=7500,
39.解:
从2月份到4月份,该厂家口罩产量的平均月增长率为x,根据题意可得方程:
180(1+x)2=461,
40.解:
设剪去小正方形的边长是xcm,则纸盒底面的长为(40﹣2x)cm,宽为(30﹣2x)cm,
根据题意得:
(30﹣2x)(40﹣2x)=600.
41.解:
∵长为x步,宽比长少12步,
∴宽为(x﹣12)步.
x(x﹣12)=864.
42.解:
设参加此次比赛的球队数为x队,根据题意得:
x(x﹣1)=36,
化简,得x2﹣x﹣72=0,
解得x1=9,x2=﹣8(舍去),
∴参加此次比赛的球队数是9队.
43.解:
设全市5G用户数年平均增长率为x,则2020年底全市5G用户数为2(1+x)万户,2021年底全市5G用户数为2(1+x)2万户,
2+2(1+x)+2(1+x)2=8.72,
整理,得:
x2+3x﹣1.36=0,
x1=0.4=40%,x2=﹣3.4(不合题意,舍去).
44.解:
设每轮传染中平均每人传染了x人.
依题意,得1+x+x(1+x)=121,
即(1+x)2=121,
解方程,得x1=10,x2=﹣12(舍去).
答:
每轮传染中平均每人传染了10人.
45.解:
设底面长为acm,宽为bcm,正方形的边长为xcm,根据题意得:
解得a=10﹣2x,b=6﹣x,
代入ab=24中,得:
(10﹣2x)(6﹣x)=24,
x2﹣11x+18=0,
解得x=2或x=9(舍去),
答;
剪去的正方形的边长为2cm.
2.
46.解:
(1)设口罩日产量的月平均增长率为x,根据题意,得
20000(1+x)2=24200
解得x1=﹣2.1(舍去),x2=0.1=10%,
口罩日产量的月平均增长率为10%.
(2)24200(1+0.1)=26620(个).
预计4月份平均日产量为26620个.
47.解:
(1)450+450×
12%=504(万元).
该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额为504万元.
(2)设该商店去年8、9月份营业额的月增长率为x,
350(1+x)2=504,
x1=0.2=20%,x2=﹣2.2(不合题意,舍去).
该商店去年8、9月份营业额的月增长率为20%.
48.解:
∵x2﹣x﹣1=0,
∴x2=x+1,
∴x3=x•x2=x(x+1)=x2+x=x+1+x=2x+1,
x4=x•x3=x(2x+1)=2x2+x=2(x+1)+x=3x+2,
∴x4﹣2x3+3x=3x+2﹣2(2x+1)+3x
=3x+2﹣4x﹣2+3x
=2x,
解方程x2﹣x﹣1=0得x1=
∵x>0,
∴x4﹣2x3+3x=2×
=1+
49.解:
令xy=a,x+y=b,则原方程组可化为:
,整理得:
②﹣①得:
11a2=275,
a2=25,代入②可得:
b=4,
∴方程组的解为:
或
x2+y2=(x+y)2﹣2xy=b2﹣2a,
当a=5时,x2+y2=6,
当a=﹣5时,x2+y2=26,
因此x2+y2的值为6或26.
50.解:
(t+5)(t﹣1)=0,
t+5=0或t﹣1=0,
∴t1=﹣5,t2=1,
当t=﹣5时,
=﹣5,此方程无解;
当t=1时,
=1,则x2+2x=1,配方得(x+1)2=2,解得x1=﹣1+
,x2=﹣1﹣
经检验,原方程的解为x1=﹣1+
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- 一元二次方程 华东师大版九年级上册 第22章一元二次方程单元强化训练卷 华东师大 九年级 上册 22 一元 二次方程 单元 强化 训练