最新北师大版七年级数学上册《51认识一元一次方程》学案.docx
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最新北师大版七年级数学上册《51认识一元一次方程》学案
最新北师大版七年级数学上册《5.1认识一元一次方程》学案
学习目标、重点、难点
【学习目标】
1、了解方程、一元一次方程的定义.
2、会列简单方程解决实际问题.
3、掌握等式的基本性质,会利用等式的基本性质解简单的一元一次方程.
【重点难点】
1、根据题意寻找和、差、倍、分问题的相等关系.
2、根据题意列出一元一次方程.
知识概览图
新课导引
巍巍古寺在山林,不知寺内几多僧,三百六十四只碗,看看周尽不差争,三人共食一碗饭,四人共吃一碗羹.
根据诗中叙述的内容你能运用小学学过的有关知识,直接列出算式,求出寺内有多少僧人吗?
学完本节课你就会用一种全新的方法解决这个问题.
教材精华
知识点1方程的概念
方程:
含有未知数的等式叫做方程.
说明:
方程必须满足的两个条件:
一是等式,二是含有未知数.二者缺一不可.例如:
2x-5=21,
x-1=x2,2x-3y=5都是方程.其中x,y是未知数.
使方程左右两边的值相等的未知数的值,叫方程的解.
一元一次方程:
在一个方程中,只含有一个未知数(元),并且未知数的指数是1(次),这样的方程叫做一元一次方程.
说明:
一元一次方程必须满足两个条件:
一是只有一个未知数,二是未知数的次数是1,二者缺一不可.
知识点2根据题意列方程
根据题意列方程的一般步骤:
(1)设未知数,看题目中求的是什么,一般求什么就设什么为x(设其他量也可以);
(2)分析已知量和未知量的关系,找出相等关系;
(3)把相等关系的左、右两边的量用含x(未知数)的代数式表示出来(列方程).
知识点3等式的基本性质
等式基本性质1:
等式两边同时加上(或减去)同一个代数式,所得结果仍是等式.
等式基本性质2:
等式两边同时乘同一个数(或除以同一个不为0的数),所得结果仍是等式.
注意:
(1)运用性质1时,一定要注意等式两边同时加上(或减去)同一个数或同一个代数式,才能保证所得结果仍是等式,这里要特别注意“同时”和“同一个”.
(2)运用性质2时,除了要注意等式两边同时乘(或除以)同一个数,才能保证所得结果仍是等式以外,还必须注意等式两边都不能除以0,因为0不能做除数.
知识点4利用等式的基本性质解一元一次方程
利用等式的基本性质解一元一次方程,就是利用等式的性质把方程ax+b=0(a≠0)进行变形,最后化为x=-
的形式,它一般先运用性质1,将ax+b=0变形为ax=-b,然后运用性质2,将ax=-b变形为x=-
即可.
课堂检测
基本概念题
1、下列各式是方程的是,其中是一元一次方程的是.
(1)3x-2=7;
(2)4+8=12;(3)3-x;(4)2m-3n=0;(5)3x2-2x-1=0;(6)x+2≠3.
2、小明买4个笔记本和3支圆珠笔一共用了4.7元,已知笔记本每本0.8元,圆珠笔每支多少元(只列方程)?
3、利用等式性质解方程:
(1)
x=3;
(2)5x-7=8;(3)3x-4=x.
基础知识应用题
4、若
a2x-1和
ax+2是同类项,则x=.
综合应用题
5、已知关于x的方程3a-x=
+3的解是x=4,求a2-2a的值.
探索创新题
6、对于有理数a,b,c,d,规定—种运算
=ad-bc,如
1×(-2)-0×2=-2.若
,求x的值.
体验中考
方程4x-1=3的解是()
A.x=-1B.x=1C.x=-2D.x=2
学后反思
附:
课堂检测及体验中考答案
课堂检测
1、解析:
方程是含有未知数的等式,
(2)虽然是等式,但其中不含未知数,(3)含未知数,但不是等式,(6)表示不等关系,故
(2)(3)(6)不符合方程的概念.(4)含有两个未知数,不是一元一次方程,(5)未知数x的指数是2,不是一元一次方程.
答案:
(1)(4)(5);
(1)
方法
(1)判断一个式子是不是方程必须看两点:
一是等式,二是含有未知数,二者缺一不可;
(2)判定一个方程是不是一元一次方程,要看方程是否只含一个未知数并且未知数的指数是1(次).
2、分析:
本题的等量关系是:
买笔记本的钱+买圆珠笔的钱=总钱数.
解:
设圆珠笔每支x元,由题意得0.8×4+3x=4.7.
点拨列方程的关键是根据题意找出题中所给的(或隐含的)等量关系,依据等量关系列出方程.
3、分析:
(1)可直接用等式的性质2,两边同乘2.
(2)、(3)要先用等式的性质1,再用性质2.
解:
(1)等式两边都乘2,得x=6.
(2)等式两边都加上7,得5x=15,等式两边都除以5,得x=3.
(3)等式两边都减去x,得2x-4=0,等式两边都加上4,得2x=4,
等式两边都除以2,得x=2.
4、分析:
因为两个代数式是同类项,根据同类项的定义可知,相同字母的指数相同,
可得2x-1=x+2.再运用等式性质可求x的值.
解:
因为
a2x-1与
ax+2是同类项,所以2x-1=x+2.
两边同时减去x,得x-1=2.两边同时加上1,得x=3.
答案:
3
5、分析:
由方程的解的意义可知,x=4必使方程左右两边相等,可把x=4代入方程3a-x=
+3,得到关于a的方程,再解方程求出a.
解:
把x=4代入方程3a-x=
+3,得3a-4=
+3,即3a-4=5,解得a=3.当a=3时,a2-2a=32-2×3=3.
6、分析:
根据题中所给的运算列出方程.
解:
根据新运算,得
=0×5-(-4)×(3-x)=12-4x,
所以12-4x=8.方程两边都减去12,得12-4x-12=8-12,即-4x=-4.
方程两边都除以-4,得x=1.
点拨理解新运算的法则是解本题的关键.
体验中考
解析:
由等式性质得4x=3+1,所以4x=4,所以x=1,故选B.答案:
B
5.2解方程
学习目标、重点、难点
【学习目标】
1.能运用等式性质解一元一次方程.
2.理解移项的概念.
3.能根据解方程的基本步骤,灵活、准确地解一元一次方程.
4.初步体会运用换元法进行转化的数学思想.
【重点难点】
1.正确掌握移项的方法求方程的解.
2.灵活掌握和运用解一元一次方程的基本程序.
3.解方程时如何去括号.(①不漏乘括号外的因数②注意括号外为负因数时,去括号后各项的符号都要改变。
)
知识概览图
新课导引
如图5—2—1所示,天平的两个盘内分别盛有51g和45g的盐,问应该从盘A内拿出多少盐放到盘B内,才能使天平平衡?
快来学习本节吧!
学了本节你一定会解答的!
教材精华
知识点1移项
方程中的任何一项,都可以在改变符号后,从方程的一边移到另一边,这种变形叫移项.
说明:
(1)移项的依据是等式的基本性质1,
(2)移项是将方程中的某项从方程的一边移到另一边,而不是方程左边或右边的某些项交换位置,(3)移项时要变号,不变号不能移项.
知识点2解一元一次方程的一般步骤
解一元一次方程的一般步骤:
变形名称
具体做法
变形依据
去分母
在方程两边同乘各分母的最小公倍数
等式基本性质2
去括号
先去小括号,再去中括号,最后去大括号
去括号法则,分配律
移项
把含有未知数的项都移到方程的一边,其他项都移到方程的另一边(记住移项要变号)
等式基本性质1
合并同类项
把方程化成ax=b(a≠0)的形式
合并同类项法则
未知数的系数化为1
在方程两边都除以未知数的系数a,得到方程的解x=
等式基本性质2
课堂检测
基本概念题
1、下列解方程的过程中,移项错误的是()
A.方程2x+6=-3变形为2x=-3+6
B.方程2x-6=-3变形为2x=-3+6
C.方程3x=4-z变形为3x+x=4
D.方程4-x=3x变形为x+3x=4
2、解方程:
-(x-5)=
.
基础知识应用题
3、解方程:
综合应用题
4、已知
的倒数与
互为相反数,求-a2-1的值.
探索创新题
5、若方程
与关于x的方程
的解相同,求a的值.
体验中考
关于x的方程4x-3m=2的解是x=m,则m的值是.
学后反思
附:
课堂检测及体验中考答案
课堂检测
1、解析:
通过移项验证变形是否正确.答案:
A
点拨移项是把方程中的项改变符号后,从方程的一边移到另一边,而A中的6从左边移到右边未变号.
2、分析:
方程两边同乘6,约去分母,再去括号.
解:
去分母得2(2x+1)-6(x-5)=9.去括号,得4x+2-6x+30=9.
移项得4x-6x=9-2-30.合并同类项,得-2x=-23.
系数化为1,得x=
.
技巧解一元一次方程的一般步骤为:
去分母,去括号,移项,全并同类项,未知数的系数化为1,但在解题时要根据方程的特点灵活运用求解步骤.
3、分析:
原方程的分母是小数,可以先用分数基本性质把它们都化成整数,原方程就是
(0.17-0.2x)=1,所以可把
的分子、分母都乘10,把
的分子、分母都乘100.
解:
原方程可以化成
.去分母,得30x+140x=21+119.
合并同类项,得170x=140.系数化为1,得x=
.
警示利用分数基本性质把分子、分母同时扩大相同的倍数,把分母化成整数,与方程两边同乘分母的最小公倍数去分母容易混淆.
4、分析:
由互为相反数的两个数的和为0,可得方程,求得a,再代入-a2-1求值.
解:
由题意,得
,去分母,得a+2a-9=0,
移项得a+2a=9.合并同类项,得3a=9.系数化为1,得a=3.
所以-a2-1=-32-1=-10.
点拨做题时要认真审题,正确理解倒数、相反数的概念与性质,然后列出方程.
5、分析:
因为两个方程的解相同,即第一个方程的解也是第二个方程的解.只要先求出第一个方程的解,代入第二个方程,便可求得a的值.
解:
由第一个方程得2(1-2x)+4(x+1)=12-3(2x+1),
化简得2-4x+4x+4=12-6x-3,6x=3,所以x=
.
把x=
代入第二个方程,得到以a为未知数的方程:
;即
.解这个方程得a=6.
提示解出第一个方程后,第二个方程中的x便为已知数,再解以a为未知数方程.
体验中考
解析:
由方程的解的定义可知,4m-3m=2,所以m=2.答案:
2
5.3我变胖了
学习目标、重点、难点
【学习目标】
1.通过分析图形问题中的数量关系,运用方程解决问题.进一步体会运用方程解决问题的关键是抓住等量关系,并认识方程的重要性.
2.通过对“变化中的不变量”的分析,提高分析问题、解决问题的能力.
【重点难点】
寻找面体积问题中的等量关系。
知识概览图
相关分式—形积变化问题
新课导引
图5—4—1是一筒状的地膜示意图,其内圆半径和外圆半径分别为r=10厘米和R=20厘米,高h=50厘米.如果地膜的厚度是0.005厘米,你能计算出这些地膜的总长度是多少吗?
教材精华
知识点1相关公式
长方体体积=长×宽×高.
圆柱体积=πr2h(h为圆柱的高,r为底面半径).
长方形周长=2×(长+宽),长方形面积=长×宽.
知识点2形积变化问题
对于这类问题,虽然形状、面积和体积都可能发生变化,但应用题中仍然含有一个相等关系,要通过分析题意和题目中的数量关系,把这个能够表示应用题全部含义的等量关系找出来,然后根据这个等量关系列出方程.此类问题常见的有以下几种情况:
(1)形状发生了变化,而体积没变.此时,等量关系为变化前后体积相等.
(2)形状、面积发生了变化,而周长没变.此时,等量关系为变化前后周长相等.
(3)形状、体积不同,但根据题意能找出体积之间的关系,把这个关系作为等量关系.
课堂检测
基本概念题
1、用5.2米长的铁丝围成一个长方形,使得长比宽多0.6米,围成的长方形的长为多少米?
设长方形的宽为x米,可列方程为()
A.x+(x+0.6)=5.2B.x+(x-0.6)=5.2
C.2[x+(x+0.6)]=5.2D.2[x+(x-0.6)]=5.2
综合应用题
2、用两根等长的铁丝分别围成一个正方形和一个圆,已知正方形边长比圆的半径长2(π-2)m,求两根等长铁丝的长度,并通过计算比较说明谁的面积大.
探索创新题
3、如图5-4-2所示,地面上钉着用一根彩绳围成的直角三角形,如果将直角三角形锐角顶点的一个钉子去掉,并将这根彩绳钉成一个长方形,则所钉成的长方形的长、宽各是多少?
面积是多少?
体验中考
古尔邦节,6位朋友均匀地围坐在圆桌旁共度佳节.如图5—4—3,圆桌半径为60cm,每人离圆桌的距离均为10cm,现又来了两名客人,每人向后挪动了相同的距离,再左右调整位置,使8人都坐下,并且8人之间的距离与原来6人之间的距离(即在圆周上两人之间的圆弧的长)相等.设每人向后挪动的距离为x,根据题意,可列方程()
A.
B.
C.2π(60+10)×6=2π(60+x)×8
D.2π(60-x)×8=2π(60+x)×6
学后反思
附:
课堂检测及体验中考答案
课堂检测
1、解析:
依据长方形周长公式就可得答案.答案:
C
2、分析:
此题的等量关系为:
正方形周长=圆周长.
解:
设圆的半径为rm,则正方形边长为[r+2(π-2)]m.由题意得2πr=4(r+2π-4),
即r=4.故圆周长是8πm,圆面积是16πm2,正方形面积是4π2m2.
因为16π>4π·π,所以圆的面积更大.
答:
铁丝长为8πm,圆的面积大.
规律周长相等的圆和正方形,圆的面积大.
3、分析:
由于直角三角形有两个锐角,所以此题应分两种情况讨论:
去掉顶点A的钉子围成一个长方形,此时BC是长方形的一条边,或去掉顶点B的钉子围成一个长方形,此时AC是长方形的一条边.我们可以把AC或BC分别看做长方形的长,把宽设为x,在图形变化过程中,彩绳的长度保持不变,即等量关系为:
三角形的周长=长方形的周长.
解:
设长方形的宽为x当去掉顶点A的钉子时,6+8+10=6×2+2x,解得x=6,
所以长方形的长为6,宽为6,S1=6×6=36.
当去掉顶点B的钉子时,6+8+10=8×2+2x,解得x=4,
所以长方形的长为8,宽为4,S2=8×4=32.
答:
所钉成的长方形的长为6,宽为6,面积为36;或长为8,宽为4,面积为32.
体验中考
解析:
根据挪动前6人之间的距离与挪动后8人之间的距离相等,可列方程为:
.答案:
A
5.5打折销售
学习目标、重点、难点
【学习目标】
1.能列出一元一次方程解决打折销售问题.
2.了解用一元一次方程解决实际问题的一般步骤.
3.进一步经历运用方程解决实际问题的过程,培养逻辑思维能力.
【重点难点】
1.用列方程的方法解决打折销售问题.
2.准确理解打折销售问题中的利润(利润率)、成本、销售价之间的关系.
知识概览图
打折销售问题中的基本概念—用一元一次方程解决实际问题的一般步骤
新课导引
育英中学暑假期间组织该校的三好学生到北京旅游.甲旅行社说:
“带队老师买一张全票,学生可享受半价的优惠.”乙旅行社说:
“包括带队教师在内,全部六折优惠.”若全程票价是240元,你能根据学校的学生数选择一家比较便宜的旅行社吗?
当学生数为多少时,两家旅行社的收费相同?
教材精华
知识点1与打折销售有关的概念及公式
与打折销售有关的概念:
成本价:
即进价,商店进货时的价格.标价:
在商店出售时所标明的价格.售价:
商品出售时的实际价格.利润率:
商品的利润与成本价的比值.
与打折销售有关的公式:
①利润=售价-成本价(进价);②利润率=
×100%;③售价;成本价+利润=成本价×(1+利润率);④售价=标价×打折数.
注意:
(1)在解决实际问题时,要认真审题,如不打折时,售价=标价;打折时,售价=标价×打折数;
(2)在以上公式中,只要知道其中的两个量,便能求出另一个量.
知识点2用一元一次方程解决实际问题的一般步骤
(1)审:
审题,分析题中已知什么、求什么,明确各数量之间的关系;
(2)找:
找出能够表示应用题全部含义的一个等量关系;
(3)设:
设未知数(一般求什么,就设什么为x);
(4)列:
根据这个等量关系列出需要的代数式,从而列出方程,
(5)解:
解所列出的方程,求出未知数的值;
(6)检:
检验所求解是否符合题意;
(7)答:
写出答案(包括单位).
课堂检测
基础知识应用题
1、某商品标价1375元,打8折售出,仍可获利10%,则该商品的进价是元;
(2)某种晶牌电脑的进价为5000元,按物价局定价的9折销售,获利760元,则此电脑的定价为元.
综合应用题
2、超市某种商品的标价是2200元,在“五一”促销活动中,该商品打八折销售,结果仍获利10%,求此商品的进价.
探索创新题
3、某书店一天内销售两种书,甲种书共卖得1560元,为了发展农业,乙种书举行送书下乡活动,共卖得1350元,若按甲﹑乙两种书的成本分别计算,甲种书盈利25%,乙种书亏本10%,试问该书店这一天共盈利(或亏本)多少元?
体验中考
由于电子技术的飞速发展,计算机的成本不断降低,若每隔3年计算机的价格降低
,现价为2400元的某款计算机,3年前的价格为.
学后反思
附:
课堂检测及体验中考答案
课堂检测
1、分析:
凡获利,均是在进价的基础上获利,有如下关系:
打折后售价=进价+利润=进价×(1+利润率).
解:
(1)设进价为x元,由题意得1375×0.8=(1+10%)x,解得x=1000.
(2)设定价为x元,由题意得0.9x=5000+760,解得x=6400.
答案:
(1)1000
(2)6400
点拨利润=售价-进价.
2、分析:
商品的实际售价-进价=利润,利润=进价×利润率,因而商品的实际售价-进价=进价×利润率.
解:
设此商品的进价是x元.
由题意得2200×80%-x=10%·x,解得x=1600.
答:
该商品的进价是1600元.
方法明确“进价”“打折”“标价”等概念的实际意义是解题的关键.
3、分析:
本题可利用公式:
总销售额-总成本=盈利(或亏本)来做.关键是求出甲、乙两种书的成本.甲种书的成本为
元;乙种书的成本为
元.
解:
设该书店这一天盈利x元.根据题意,得
1560+1350=x+
.解得x=162.
因为结果为正数,所以这一天盈利.
答:
该书店这一天共盈利162元.
体验中考
解析:
设3年前的价格为x元,则x(1-
)=2400,∴x=3600.
答案:
3600元
5.6“希望工程”义演
学习目标、重点、难点
【学习目标】
1.通过分析有关和、差、倍、分问题中已知数与未知数之间的等量关系,列出一元一次方程解应用题.
2.巩固用一元一次方程解决实际问题的步骤,并能验证解的合理性.
3.借助表格分析复杂问题中的数量关系,从而建立方程解决实际问题,培养分析问题、解决问题的能力,进一步体会方程模型的作用.
【重点难点】
1.学会用一元一次方程解决有多个未知量的实际问题.
2.分析等量关系,正确选择适当的未知量设元,列出方程.
知识概览图
列方程解应用题的步骤—如何找等量关系—解的合理性
新课导引
希望中学七年级一班40名同学参加了学校组织的绿化荒山活动,其中男生每人种3棵树,女生每人种2棵树,一共种了104棵树,你能求出该班男生、女生各多少人吗?
教材精华
知识点1如何找相等关系
学会寻找等量关系是列方程的关键.在本节所涉及的和、差、倍、分问题中,要善于利用“总量等于各个分量之和”来确定等量关系,列出方程.
知识点2解的合理性
列方程解应用题所求出的解不同于一般的一元一次方程的解,它必须要符合题目的实际情况,否则就不是应用题的解.
课堂检测
基础知识应用题
1、某书店将定价为10元和8元的两种畅销书共60本按定价售出后,将所得的书款546元全部捐献给了“希望工程”.问:
定价为10元和8元的书各卖了多少本?
2、某工厂安排600名工人生产A,B型机器共69台,已知7名工人能生产一台A型机器,10名工人能生产一台B型机器.
(1)生产A型机器和B型机器的工人各有多少名?
(2)如果人数不变,能生产这两种机器共70台吗?
综合应用题
3、沿着一条公路栽树,第一棵栽在路的始端,以后每隔50米栽一棵,要求路的末端栽一棵,这样只缺少21棵树;如果每隔55米栽一棵,要求在路的末端栽一棵,这样只缺少1棵树.求树的棵数和这条公路的长度.
4、甲、乙、丙三个粮仓共存粮食80吨,已知甲、乙两仓存粮数之比是1:
2,乙、丙两仓存粮数之比是1∶2.5,求甲、乙、丙三仓各存粮多少吨?
体验中考
小悦买书需用48元钱,付款时恰好用了1元和5元的纸币共12张.设所用的1元纸币为x张,根据题意,下面所列方程正确的是()
A.x+5(12-x)=48B.x+5(x-12)=48
C.x+12(x-5)=48D.5x+(12-x)=48
学后反思
附:
课堂检测及体验中考答案
课堂检测
1、分析:
本题存在的等量关系是:
10元的畅销书的本数+8元的畅销书的本数=60本,10元畅销书所得书款+8元恬销书所得书款=546元.
解:
设定价为10元的书卖了x本,则定价为8元的书卖了(60-x)本.由题意,得10x+8(60-x)=546,解得x=33.
60-x=60-33=27.
答:
定价为10元和8元的书分别卖了33本和27本.
规律列方程解应用题的关键是要从问题中找出等量关系,每一个等量关系表示成等式后,要搞清楚它的左边是什么,右边是什么,然后恰当设未知数,把等式左边和右边的各个量用舍有已知数和未知数的代数式表示.
2、分析:
本题的数量关系是:
生产A,B型机器共69台.
解:
(1)设生产A型机器的工人有x名,则生产B型机器的工人有(600-x)名.
根据题意得
=69.解得x=210.
600-210=390.
所以生产A型机器的工人有210名,生产B型机器的工人有390名.
(2)设生产A型机器的工人有y名,则生产B型机器的工人有(600-y)名.
根据题意,得
=70.解得y=233
.
因为人数不可能是分数,所以y=233
不符合题意.
故本题无解,也就是说,如果人数不变,不能生产这两种机器共70台.
点拨解这类问题,应充分挖掘和利用题中的等量关系,并要注意解的合理性.
3、分析:
本题有三个量:
路长、树的棵数和相邻两棵树之间的距离,于是就有了一个等量关系式:
相邻两棵树之间的距离×(棵数-1)=路长.
解:
设有树x棵,则当每隔50米栽一棵树时,需(x+21)棵树,当每隔55米栽一棵树时,需(x+1)棵树,由题意得方程50(x+21-1)=55(x+1-1).
解这个方程得x=200.
把x=200代入50(x+21-1)得50(200+21-1)=11000
答:
有树200棵,这条公路长11000米.
4、分析:
由题意知:
甲仓存粮数∶乙仓存粮数=1∶2,乙仓存粮数:
丙仓存粮数=1∶2.5,为了研究问题方便通常把两个比例式统一起来,将1∶2.5两项同乘2,得2∶5,于是有甲仓存粮数∶乙仓存粮数:
丙仓存粮数=1∶2∶5.本题的等量关系是:
甲仓存粮数+乙仓存粮数+丙仓存粮数=总存粮数.本题适合用间接设未知数的
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